普通高等学校招生全国统一考试真题新高考全国Ⅱ卷数学试题解析版docx文档格式.docx
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A.26%
B.34%
C.42%
D.50%
【答案】
【分析】
由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终
结果.
【详解】
由题意可得，5■占地球表面积的百分比约为:
]6400
2/产（1—cos。
）=1-cosa=」6400+36000~042=42%'
4"
-2-2~°
C.
5.正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为（3
A.20+12右B.28a/2C.哥D.竺也
33
【答案】D
【分析】由四棱台几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.
【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
因为该四棱台上下底面边长分别为2,4,侧棱长为2,所以该棱台的高力=#2一（2号回2=72,
下底面面积月=16,上底面面积禹=4,所以该棱台的体积V=|A（51+52+75X）=|xV2x（16+4+V64）=yV2.
D.
6,某物理量的测量结果服从正态分布N（10,b2）,下列结论中不正确的是（）
A.b越小，该物理量在一次测量中在（9.9,10.1）的概率越大
B.。
越小,该物理量在一次测量中大于10概率为0.5
C.b越小,该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D.b越小,该物理量在一次测量中落在（9.9,10.2）与落在（10,10.3）的概率相等
【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.
【详解】对于A,S为数据的方差，所以b越小,数据在日=10附近越集中，所以测量结果落在（9.9,10.1）内的概率越大，故A正确；
对于B,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5,故B正确；
对于C,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；
对于D,因为该物理量一次测量结果落在（9.9,10.0）的概率与落在（10.2,10.3）的概率不同，所以一次测量结果落在（9.9,10.2）的概率与落在（10,10.3）的概率不同，故D错误.
7.已知«
=log52,Z2=log83,c=|,则下列判断正确的是（）
A.c<
b<
aB.b<
a<
cC.a<
c<
bD.
c
【答案】C
【分析】对数函数的单调性可比较。
、力与c的大小关系，由此可得出结论.
【详解】a=log52<
log5a/5=^-=log82a/2<
log83=b,即a<
b.
8.已知函数f⑴的定义域为R,f（x+2）为偶函数，y（2x+l）为奇函数，则（）
A."
=。
B.f（-1）=0
C./
（2）=0
/（4）=0
【分析】推导出函数/'
（X）是以4为周期的周期函数，由已知条件得出/
（1）=0,结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数/'
（工+2）为偶函数，则/（2+x）=/（2-x）,可得/（x+3）=/（l-x）,因为函数/'
（2"
1）为奇函数，则/（1-2x）=-/（2x+1）,所以,f（l-x）=-f（x+l）,所/（^+3）=-/（x+l）=/（x-l）,即f（x）=f（x+4）,
故函数y。
）是以4为周期的周期函数，
因为函数尸（x）=f（2x+l）为奇函数，则F（0）=/⑴=0,
故/（-i）=-/（i）=o,其它三个选项未知.
二、选择题：
本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列统计量中，能度量样本x15x2,离散程度的是（）
A.样本xt,x2,---,x„的标准差B.样本xi,x2,---,xn的中位数
C.样本xl,x,,---,xn的极差D.样本知易,…，％的平均数
【答案】AC
【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度,哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.
【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；
由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；
由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；
由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；
AC.
10.如图，在正方体中，。
为底面的中心，々为所在棱的中点，虬N为正方体的顶点.则
满足MNLOP的是（）
【答案】BC
【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线切V构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.
【详解】设正方体的棱长为2,对于A,如图
（1）所示，连接AC,则枷//AC,故ZPOC（或其补角）为异面直线好,"
所成的角,在直角三角形OPC,OC=42,CP=1,故tan/FOC=
故MN±
OP不成立，故A错误.
对于B,如图
（2）所示，取AT的中点为Q,连接PQ,OQ，则OQLNT,PQLMN,由正方体SBQW-MLDT可得做上平面AMXT,而OQ<
=平面AMXT,
故SNLOQ，而SNCMN=N,故平面SN7M,
又MNu平面SATO,OQ±
MN，而OQ^PQ=Q,
所以MV_L平面QPQ,而POu平面。
P0故MN±
OP,故B正确.
对于C,如图（3）,连接BZ）,则BD//MN,由B的判断可得OPYBD,故OPLMN，故C正确.
对于D,如图（4）,取AZ）的中点Q,AB的中点K,连接AC,PQ,OQ,PK,OK,则AC//MN,
因为DP=PC，故PQ//AC,故PQ//MN,
所以ZQPO或其补角为异面直线PO,MN所成的角，
因为正方体的棱长为2,故==OQ=y]AO2+AQ2=V1+2=V3,
PO=Jpk2+OK，=-x/4+1=$,QO~<
PQ-+OP2,故ZQPO不是直角，故PO,"
不垂直，故D错误.
BC.
11.已知直线l:
ax+by-r^0与圆C:
x2+y2=r2,点A（a£
）,则下列说法正确的
是（）
A.若点/在圆。
上，则直线/与圆。
相切B.若点，在圆。
内，则直线/与圆。
相离
C.若点，在圆。
外,则直线/与圆。
相离D,若点］在直线/上，则直线/与圆。
相切
【答案】ABD
【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为。
2+〃,产的大小关系,结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.
【详解】圆心C（o,o）到直线/的距离6?
=
若点A（a^）在圆。
上，则疽+垢=己所以d=：
=时,yja+b'
则直线/与圆。
相切，故A正确；
尸2若点A（M）在圆。
内，则a2+b2<
r\所以d=>
|r|,
7CT+b
相离，故B正确;
若点A（a,b）在圆。
外，则cr+b2>
r,所以d=：
<
|「|,
眼+Z?
相交，故C错误;
若点A（Q凿）在直线1上，则疽+〃_,2=。
即+。
2=己
所以d=
Ja1+屏
kl，直线/与圆。
相切，故d正确.
ABD.
12.设正整数〃=%•2°
+%•2ak_}-2k1+ak-2k,其中e{0,1}，记
&
＞（〃）=%+%+•••+%.贝lj（）
A.&
）（2刀）=69（”）
a＞（2w+3）=＜»
（n）+1
C.ft）（8〃+5）=ft＞（4〃+3）D.＜y（2"
-l）=〃
【答案】ACD
【分析】利用口（时的定义可判断ACD选项的正误,利用特殊值法可判断B选项的正误.
【详解】对于A选
项，60（〃）=%+q+•••+%,2n=%•2】+。
］•2~+—卜t/j.|-2*+uk•,
所以，a＞（2n）=a0+al+---+ak=（»
（〃），A选项正确；
对于B选项，取〃=2,2n+3=7=1-2°
+1-21+1-22,.'
.&
»
（7）=3,
而2=0.2。
+1.2】,则矶2）=1,即顷7/
（2）+1,B选项错误;
对于C选
项，Sn+5=a0-23+a}-24+■■■+ak-2k+3+5^1-2°
+1-22+a0-23+ac24+■■■+ak-2k+3,以，+5）=2+%+q+■•.+a*,
4n+3=a0-22+^-2"
+---+ak-2k+2+3=1-2°
+1-21+a0-22+ac23+---+ak-2k+2,所以，a）（4"
+3）=2+%+%+...+&
因此，a＞（8〃+5）=69（4〃+3）,C选项正确；
对于D选项，2"
-1=2°
+2】+...+2"
T,故®
-1）=〃，D选项正确.
ACD.
三、填空题：
本题共4小题,每小题5分，共20分.
22
13.已知双曲线二-％=1（。
〉0,力〉0）的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为ab
【答案】y=±
a/3x
【分析】由双曲线离心率公式可得4=3,再由渐近线方程即可得解.
a
【详解】因为双曲线方-纭=1（。
〉0,力〉0）的离心率为2,
所以e=官=北季=2,所以与=3,ya-va2a-
所以该双曲线的渐近线方程为^=±
*x=±
Vix.a
故答案为：
y=±
J§
x.
【点睛】本题考查了双曲线离心率的应用及渐近线的求解，考查了运算求解能力，
属于基础题.
14,写出一个同时具有下列性质①②③的函数/（%）：
.
①/（x[x2）=/（%1）/（x2）；
②当xe（0,+oo）Ht,/，（x）>
0；
③f'
（x）是奇函数.
【答案】f⑴=犷（答案不唯一）均满足）
【分析】根据藉函数的性质可得所求的/W.
【详解】取/（%）=%4,则/（%,%2）=（%!
%2）4=X*%2=/（-^1）/（^2）>
满足①，
广3）=*,*>
o时有r（x）>
o,满足②，
广3）=4]3的定义域为R,
又r（-X）=-4x3=-f'
（x）,故f\x）是奇函数，满足③.
/W=%4（答案不唯一）均满足）
15.已知向量。
+方+U=0,同=1,|牛14=2,a-b+bc+ca=•
o
【分析】由已知可得（方+方+4）2=0,展开化简后可得结果.
【详解】由已知可得
（o+5+c）=a+1^+c+2（a-b+b-c+c-a^=9+2（a-b+b-c+c-a^=Q,
因此,d'
b-^b'
C-^C'
U—――.
-，
16.已知函数/（%）=|^-1|,%!
<
0,%2>
0,函数f（x）的图象在点A（^,/（xj）和点
B（x2,/（x2））的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M,0两点，则取值范围是
（0,1）
【分析】结合导数的几何意义可得耳+工2=0,结合直线方程及两点间距离公式可得
\AM\=Jl+e如.|^|,\BN\=后余.|易|，化简即可得解.
【详解】由题意”》=『一1=.'
则f'
x=,'
11[ex-l,x>
0[ex,x>
所以点A（jq,l-eA1）和点3（地苛-1）,虹=~ex,,kBN=K,
所以—e*|•K=-l,xl+x2=0,
所以AW:
y-l+e*=—ex'
（x-X]）,M（0,e"
K—ex'
+1）,所以|AM|=+（e，1xj=Jl+e?
占•国，
同理|BN\=y/l+e^-\x2\,
八（0,1）.
尬jI叔I电+e2：
.闵一/l+e2X|Jl+e2'
，所勺剧V|序萨.|对Vl+e2x2V1+/，，故答案为:
（0,1）【点睛】关键点点睛:
解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件也+》2=0,消去一个变量后，运算即可得解.
四、解答题：
本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.记S"
是公差不为0的等差数列｛%｝的前n项和，若=$5，角。
4=^4.
（1）求数列｛%｝的通项公式％;
（2）求使sn>
an成立的力的最小值.
（1）=2«
-6;
（2）7.
（1）由题意首先求得。
3的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列
的通项公式；
（2）首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】⑴由等差数列的性质可得：
$5=5%,则：
a3=5a3,.-.a3=O,
设等差数列的公差为从而有：
a2a4=（a3-d）（a3+d）=-d2,
S4=q+%+%+。
4=（%—2d）+（%—d）+%+（%—d）=—2d,
从而：
-d2=-2d,由于公差不为零，故：
d-2,
数列的通项公式为：
an=a?
t+（n-3）d=2n-6.
⑵由数列的通项公式可得：
％=2-6=-4,则：
=〃x（-4）+竺或x2=〃2—5〃，
则不等式S”>
%即：
n2—5n>
2«
-6,整理可得：
（"
-1）（"
-6）>
0,
"
<
1或〃>
6,又八为正整数，故〃的最小值为7.
【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
18.在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,b=a+l,c=a+2..
（1）若2sinC=3sinA,求△ABC的面积；
（2）是否存在正整数。
，使得△ABC为钝角三角形?
若存在，求出a的值;
若不存在,说明理由.
（1）空L；
（2）存在，且a=2.
（1）由正弦定理可得出2c=3a,结合已知条件求出。
的值，进一步可求得D、c的值,利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sinB,再利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）分析可知，角。
为钝角，由cosC<
0结合三角形三边关系可求得整数。
（1）因为2sinC=3sinA,则2c=2（a+2）=3a,则。
=4,故毛=5,c=6,
+方221.——
cosC==一，所以，C为锐角，则sinC=a/1^
lab8
因此，Ssc=»
sinC=Lx4x5x^I=^I；
△MC2284
（2）显然c>
b>
a,若△ABC为钝角三角形，则C为钝角,
2.72_2
由余弦定理可得=
/+（。
+1）2_（。
+2）2=。
2—2。
_3<
2a（a+1）2。
（。
+1）
解得—1<
a<
3，贝！
J0<
3,
由三角形三边关系可得。
+。
+1>
。
+2,可得。
>
1,,/aeZ,故a=2.
19.在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若
AD=2,QD=QA=y/5,QC=3.
Q
（1）证明：
平面QAD±
平面ABCD；
（2）求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.
2
（1）证明见解析；
（2）j.
（1）取AZ）的中点为。
，连接QO,CO,可证QOL平面ABC。
从而得到面
QADL面ABCZ）.
（2）在平面ABCDfy,过。
作O77/CD,交于：
T,则OT±
AD，建如图所示的空间坐标系，求出平面SD、平面30）的法向量后可求二面角的余弦值.
，连接QO,CO.
因为QA=QD,OA=OD,则AZ）,
而AD=2,QA=s/5，故QO=^/5^T=2.
在正方形ABCD中，因为AD=2,故£
0=1,故。
=后，
因为QC=3,故g=*“2,故aqoc为直角三角形且QOLOC,
因为QCnA£
=。
，故Q。
上平面ABCD,
因为09u平面04£
故平面QADL平面ABCD.
（2）在平面ABCD内，过。
作O77/CD,交于『，则0T1AD,
结合
（1）中QO±
平面ABC。
，故可建如图所示的空间坐标系.
则D（0,l,0），2（0,0,2）,B（2-l,0）,故应=（一2,1,2）,庞=（一2,2,0）.
设平面的法向量n=（x,y,z）,
n-BQ=Qn•BD=0
即<
—2x+y+2z—0
—2x+2y—0
，取x=1，贝I]y=1,z=|,
故"
=
而平面04D的法向量为福=（1,0,0）,故c°
sS，"
）=「？
=a.1X
2二面角B-QD-A的平面角为锐角，故其余弦值为亏.
20.已知椭圆。
的方程为与+%=1（。
〉力〉0）,右焦点为F（很,0）,且离心率为ab
a/6
V
（1）求椭圆。
的方程；
（2）设M,N是椭圆。
上的两点，直线枷与曲线x2+/=Z?
2（x>
0）相切.证明:
必&
0
三点共线的充要条件是\MN\=g.
（1）—+/=1;
（2）证明见解析.
3'
（1）由离心率公式可得a=B进而可得所，即可得解；
（2）必要性：
由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证|枷|=右；
充分性：
设直线MN-.y=kx+b\kb<
Q）,由直线与圆相切得b2=k2+l,联立直线与
椭圆方程结合弦长公式可得=进而可得*=±
1,即可得解.
（1）由题意，椭圆半焦距c=VI且e=f=还，所以a=后,a3
又Z，2=«
2-C2=1,所以椭圆方程为土+,=1；
3'
（2）由
（1）得，曲线为/+_/=13〉0）,
当直线的斜率不存在时，直线MN:
x=l,不合题意；
当直线切V的斜率存在时，设M（xl,yi）,N（x2,y2）,必要性:
=1,解得*=±
1,
若泌N,夕三点共线，可设直线MN:
y=k（x-凤即奴-y-J灰=0,由直线与曲线%2+/=1（%>
0）相切可得
'
W+i
联立，
（x-扼）
%2可得4x2一6a/2x+3=0，所以玉+工2=—^―,工1•=官
LT+y=1一
所以\MN\=Jl+l.+互）2—4工1-花=右，
所以必要性成立；
充分性：
设直线MN:
y=kx+b,（kb<
0）即kx-y+b=O,
\b\
由直线MN与曲线.x2+v2=l（.x>
0）相切可得=1，所以b-=k2+l,y/k-+l
y=kx+b
必，可得（1+3序）F+6灿x+3必—3=0,f-
所以X]+x2=——,%!
-x2
XId/C
6kb
1+3妒
3b--3
化简得3（号-1）=0,所以比=±
所以
=1
…扼f=0
或，
k=—l
所以直线MN:
-y=x-a/2或y=—x+yf2,
所以直线MN过点F（日）,M,N,夕三点共线，充分性成立;
所以泌乩夕三点共线的充要条件是|"
|=由.
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.
21.一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设，表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P（X=，•）=>
（，•=0,1,2,3）.
（1）已知Po=0.4,Pi=0.3成2=0.2必=0.1,求E（X）；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，°
是关于x的方程:
p0+p}x+p2x-+p3x3=x的一个最小正实根，求证：
当E（X）<
1时，P=1,当
E（X）>
1时，p<
l；
（3）根据你的理解说明
（2）问结论的实际含义.
（1）1；
（2）见解析；
（3）见解析.
分析】
（1）利用公式计算可得E（X）.
（2）利用导数讨论函数的单调性，结合/
（1）=0及极值点的范围
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