浙江省届初三数学中考总复习第13讲《一次函数及其图象》名师讲练含答案.docx
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浙江省届初三数学中考总复习第13讲《一次函数及其图象》名师讲练含答案
第13讲 一次函数及其图象
1．一次函数与正比例函数的概念
考试内容
考试
要求
一次函数
一般地，如果（k、b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数．
b
正比例函数
特别地，当时，y＝kx＋b变为（k是常数，k≠0），这时y叫做x的正比例函数．
2.一次函数的图象
考试内容
考试
要求
一次函数的图象
一次函数y＝kx＋b的图象是经过点（0，____________________）和（____________________，0）的一条____________________．
特别地，正比例函数y＝kx的图象是经过点（0，）和（1，）的一条．
b
直线y＝kx＋b与y＝kx之间的关系
直线y＝kx＋b可以看成是由直线y＝kx平移得到，b＞0，向平移个单位；b＜0，向平移个单位．
c
3.一次函数y＝kx＋b的性质
考试内容
考试
要求
k、b符号
图象形状
经过的象限
函数的性质
c
k>0，b>0
____________________
y随x的增大而
_________________．
k>0，b<0
____________________
k<0，b>0
____________________
y随x的增大而
_________________．
k<0，b<0
____________________
易错点
一次函数图象不经过第二象限是指图象经过第一、三、四象限或第一、三象限．
4.确定一次函数的解析式
考试内容
考试
要求
常用方法
待定系数法．
b
常见类型
①已知两点坐标确定解析式；②已知两对函数对应值确定解析式；③通过平移规律确定函数解析式．
5.一次函数与方程、不等式的关系
考试内容
考试
要求
一次函数与一次方程
一元一次方程kx＋b＝0的根就是一次函数y＝kx＋b（k、b是常数，k≠0）的图象与轴交点的坐标．
c
一次函数与一元一次不等式
一元一次不等式kx＋b＞0（或kx＋b＜0）（k≠0）的解集可以看作一次函数y＝kx＋b取值（或值）时自变量x的取值范围．
一次函数与方程组
两直线的交点坐标是两个一次函数解析式y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2所组成的关于x、y的方程组的解．
b
6.一次函数的实际应用
考试内容
考试
要求
建模思想
将实际问题转化为数学问题，即数学建模．要做到这种转化，首先要分清哪个量是自变量，哪个量是函数；其次建立函数与自变量之间的关系，要注意自变量的取值范围.
c
实际问题中一次函数的应用
在实际问题中，可以根据自变量的取值求函数，或者由函数求自变量的值．由于自变量的取值范围一般受到限制，所以可以根据一次函数的性质求出函数在某个范围的最值．
考试内容
考试
要求
基本
方法
1.待定系数法，是求一次函数解析式的常用方法，一般是先设待求的函数关系式（其中含有未知常数），再根据条件列出方程或方程组，通过解方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求函数解析式的方法．
2．利用函数图象解决实际问题时，要注意仔细分析图象中各点的含义，尤其是图象与图象或坐标轴的交点，要善于运用数形结合思想从图象中获取有用的信息．
c
1．（2017·温州）已知点（－1，y1），（4，y2）在一次函数y＝3x－2的图象上，则y1，y2，0的大小关系是（ ）
A．0＜y1＜y2B．y1＜0＜y2C．y1＜y2＜0D．y2＜0＜y1
2．（2017·绍兴）某市规定了每月用水18立方米以内（含18立方米）和用水18立方米以上两种不同的收费标准，该市的用户每月应交水费y（元）是用水量x（立方米）的函数，其图象如图所示．
（1）若某月用水量为18立方米，则应交水费多少元？
（2）求当x＞18时，y关于x的函数表达式，若小敏家某月交水费81元，则这个月用水量为多少立方米？
【问题】如图，直线AB分别交x，y轴于点A，B.
（1）若点A（－1，0），写出一条直线AB的解析式；
（2）若点A（－2，0），B（0，1），请你尽可能多的写出关于直线AB的信息．
【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理一次函数概念以及图象与性质．
类型一 一次函数的图象和性质
一次函数y＝2x＋6.
（1）图象经过第________象限；
（2）图象与x轴的交点坐标为________，与y轴的交点坐标为________．
（3）当－1＜x≤1时，y的取值范围是________；
（4）当点A（－5，y1）和B（－2，y2）都在图象上，则y1与y2的关系是________；
（5）图象与两坐标轴围成的三角形面积是________．
【解后感悟】一次函数的图象与性质问题，数形结合思想是解题的关键．
如图，已知直线l1：
y＝－2x＋4与x，y轴分别交于点N，C，与直线l2：
y＝kx＋b（k≠0）交于点M，直线l2与x轴的交点为A（－2，0），
（1）若点M的横坐标为1，则△AMN的面积是________；
（2）若点M在第一象限，则k的取值范围是____________．
【解后感悟】两条直线的相交问题，利用数形结合和图象的运动来解决．
1．
（1）（2017·海南模拟）一次函数y＝mx＋n与y＝mnx（mn≠0），在同一平面直角坐标系的图象是（ ）
（2）（2017·南京模拟）关于直线l：
y＝kx＋k（k≠0），下列说法正确的是____________________．
①点（0，k）在直线l上；②直线l经过定点（－1，0）；③当k＞0时，y随x的增大而增大；④直线l经过第一、二、三象限；⑤直线l经过第一、二、三象限，则k＞0.
类型二 一次函数的解析式
（1）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数表达式是____________．
（2）一次函数y＝2x＋b与两坐标轴围成三角形的面积为4，则b＝________．
（3）已知一次函数图象交x轴于点（－2，0），与y轴的交点到原点的距离为5，则该一次函数解析式为___________________________________________________________．
（4）在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象过点P（1，1），与x轴交于点A，与y轴交于点B，且tan∠ABO＝3，那么点A的坐标是__________．
【解后感悟】待定系数法求一次函数解析式是本题的关键；注意数形结合、分类讨论思想运用．
已知直线l：
y＝2x－1
（1）将直线l向上平移5个单位长度后再向左平移3个单位后所得的直线解析式为____________；
（2）将直线l与直线m关于x轴对称，则直线m的解析式为____________；
（3）将直线l绕原点顺时针旋转90°得到直线n，则直线n的解析式为______________．
【解后感悟】
（1）求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化；
（2）根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点求解；（3）根据点（a，b）绕原点顺时针旋转90°得到的点的坐标是（b，－a），得到它们绕原点顺时针旋转90°以后对应点的坐标，然后根据待定系数法求解．
2．
（1）（2017·温州模拟）根据下表中一次函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为____________________.
x
－2
0
1
y
3
p
0
（2）（2017·南京市江宁区模拟）把一次函数y＝kx＋1的图象向上平移1个单位，再向右平移3个单位后所得直线正好经过点（5，3），则该一次函数表达式为____________________．
（3）（2017·绍兴模拟）把直线y＝－x＋3向上平移m个单位后，与直线y＝2x＋4的交点在第一象限，则m的取值范围是____________________．
（4）（2017·苏州模拟）如图，A（0，1），M（3，2），N（4，4）．动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，且过点P的直线l：
y＝－x＋b也随之移动，设移动时间为t秒．
①当t＝3时，求l的解析式；
②若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；
③直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．
类型三 一次函数
与一次方程（组）及一元一次不等式（组）
（1）已知一次函数y＝ax＋b中，x和y的部分对应值如表：
x
－2
－1
0
1.5
2
3
y
6
4
2
－1
－2
－4
那么方程ax＋b＝0的解是________；不等式ax＋b＞2的解集是________．
（2）如图，直线y＝x＋b与直线y＝kx＋6交于点P（3，5），则关于x的不等式x＋b＞kx＋6的解集是________．
【解后感悟】
（1）此题主要理解一次函数与一元一次方程关系，关键是正确求出一次函数关系式；
（2）从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝x＋b的值大于y＝kx＋6的值的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝x＋b在直线y＝kx＋6上方部分所有的点的横坐标所构成的集合．解决此类问题一般方法为画出图象，仔细观察图象，根据图象写出方程（组）解、不等式解集．注意不等式解集交点（公共点）处函数值相等，所以解集要么在交点左侧要么在交点右侧．注意数形结合思想的运用．
3．
（1）（2017·菏泽）如图，函数y1＝－2x与y2＝ax＋3的图象相交于点A（m，2），则关于x的不等式－2x＞ax＋3的解集是（ ）
A．x＞2B．x＜2C．x＞－1D．x＜－1
（2）（2017·潍坊模拟）如图，已知函数y＝ax＋b与函数y＝kx－3的图象交于点P（4，－6），则不等式ax＋b≤kx－3＜0的解集是____________________．
第
（2）题图
（3）（2017·潍坊模拟）如图，直线y＝kx＋b经过A（2，1），B（－1，－2）两点，则不等式x>kx＋b>－2的解集为____________________．
第（3）题图
（4）（2015·武汉）已知一次函数y＝kx＋3的图象经过点（1，4）．求这个一次函数的解析式，并求关于x的不等式kx＋3≤6的解集．
类型四 一次函数的应用
（2016·南京）如图中的折线ABC表示某汽车的耗油量y（单位：
L/km）与速度x（单位：
km/h）之间的函数关系（30≤x≤120），已知线段BC表示的函数关系中，该汽车的速度每增加1km/h，耗油量增加0.002L/km.
（1）当速度为50km/h、100km/h时，该汽车的耗油量分别为 L/km、 L/km.
（2）求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式．
（3）速度是多少时，该汽车的耗油量最低？
最低是多少？
【解后感悟】正确求出两线段的解析式是解好本题的关键，因为系数为小数，计算要格外细心，容易出错；另外，此题中求最值的方法：
两图象的交点，方程组的解；同时还有机地把函数和方程结合起来，是数学解题方法之一，应该熟练掌握．
4．（2017·宁波模拟）某种汽车油箱加满油并开始行驶，油箱中的剩余油量y（升）与行驶的里程x（km）之间的关系为一次函数，如图：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）加满一箱油汽车可行驶多少千米？
【阅读理解题】
在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形．例如，图中的一次函数的图象与x，y轴分别交于点A，B，则△OAB为此函数的坐标三角形．
（1）求函数y＝－x＋3的坐标三角形的三条边长；
（2）若函数y＝－x＋b（b为常数）的坐标三角形周长为16，求此三角形面积．
【方法与对策】解本题的关键是理解坐标三角形，利用一次函数图象与坐标轴的交点进行求解；由于b的不确定性，导致图象的位置不同，解题就需要分类讨论：
b＞0和b＜0两种情况．该题型是中考命题趋势．
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