数值计算方法与算法习题答案.docx
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数值计算方法与算法习题答案
数值计算方法与算法习题答案
【篇一：
《数值计算方法》试题与答案】
1．设x0相对误差为2%
，x4的相对误差。
解：
由自变量的误差对函数值引起误差的公式：
?
（f（x））?
?
（f（x））f（x）?
x
f（x）
f（x）?
（x）得
（1
）f（x）?
?
?
?
（x）?
12?
（x）?
1
2*2%?
1%；
（2）f（x）?
x4
时
?
（x4）?
xx4
（x4
）?
（x）?
4?
（x）?
4*2%?
8%
2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）x?
?
12.1；
（2）x?
?
12.10；（3）x
?
?
12.100。
解：
由教材p9关于?
x?
?
a1a2?
am.b1b2?
bn
?
型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：
3，4，5
3．用十进制四位浮点数计算
（1）31.97+2.456+0.1352；
（2）31.97+（2.456+0.1352）
哪个较精确？
解：
（1）31.97+2.456+0.1352?
fl（fl（0.3197?
102
?
0.2456?
101
）?
0.1352）=fl（0.3443?
102
?
0.1352）
=0.3457?
102
（2）31.97+（2.456+0.1352）
?
fl（0.3197?
102
?
fl（0.2456?
101
））=fl（0.3197?
102
?
0.2591?
101
）=0.3456?
102
易见31.97+2.456+0.1352=0.345612?
102，故
（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？
2
解：
设该正方形的边长为x，面积为f（x）?
x2
，由?
（f（x））?
?
（f（x））f（x）?
x
f（x）
f（x）?
（x）
解得?
（x）?
?
（f（x））f（x）?
（f（x））x2
（f（x））
xf（x）
=
x?
2x
?
?
2
=0.5%
5．下面计算y的公式哪个算得准确些？
为什么？
（1）已知x?
?
1，（a）y?
11?
x
2x21?
2x?
1?
x
，（b）y?
（1?
2x）（1?
x）；
（2）已知x?
?
1，（a
）y?
，（b
）y?
（3）已知x?
?
1，（a）y?
2sin2x1?
cos2x
x，（b）y?
x
；
（4）（a
）y?
9（b
）y?
解：
当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。
（1）（a）中两个相近数相减，而（b）中避免了这种情况。
故（b）算得准确些。
（2）（b）中两个相近数相减，而（a）中避免了这种情况。
故（a）算得准确些。
（3）（a）中sin2x使得误差增大，而（b）中避免了这种情况发生。
故（b）算得准确些。
（4）（a）中两个相近数相减，而（b）中避免了这种情况。
故（b）算得准确些。
6．用消元法求解线性代数方程组
?
x15
?
1?
1015x2?
10?
x1?
x2
?
2假定使用十进制三位浮点数计算，问结果是否可靠？
解：
使用十进制三位浮点数计算该方程则方程组变为
?
?
?
0.100?
101x16161?
0.100?
10x2?
0.100?
10?
?
?
?
（1）
?
?
0.100?
101x?
0.100?
101x1
12?
0.200?
10?
?
?
?
?
（2）
（1）（-2）得1
0.10?
10.6110x2?
?
61
，即x2?
1
0.10?
1
，把x2的值代入
（1）得x1?
0
0.；
把xx12的值代入
（2）得1?
0.100?
10
3
解?
?
?
x1?
0.100?
101x2?
0.000?
10不满足
（2）式，解?
?
x1?
0.100?
101
?
?
1?
10
不满足（1?
?
x2?
0.100?
1
）式，故在十进制三位浮点数解该方程用消元法计算结果不可靠。
7．计算函数f（x）?
x3
?
3x2
?
3x?
1和g（x）?
（（x?
3）x?
3）x?
1在x?
2.19处的函数值（采用十进制三位浮点数计算）。
哪个结果较正确？
解：
f（2.19）?
0.480?
101
?
0.219?
101
?
3?
0.480?
101
?
0.657?
101
?
1
?
0.105?
102?
0.144?
102?
0.657?
101?
1=0.167?
101
g（2.19）?
（（?
0.81）?
0.219?
101
?
3）?
0.219?
101
?
1
?
0.123?
101?
0.219?
101?
1=0.169?
101
即f（x）?
0.167?
101
，g（x）?
0.169?
101
而当x?
2.19时x3?
3x2?
3x?
1的精确值为1.6852，故g（x）的算法较正确。
8．按照公式计算下面的和值（取十进制三位浮点数计算）：
6
（1）?
11
1
13i；
（2）?
i?
63
i。
i?
解：
（1）?
6
1?
1?
11?
111
i?
1
3i332?
3334?
35?
36=0.333?
0.111?
0.037?
0.012?
0.004?
0.001
?
0.489
1
（2）?
1?
11?
111?
1
?
63
6?
54?
3?
2=0.001?
0.004?
0.012?
0.037?
0.111ii
333333?
0.333
?
0.489
9．已知三角形面积s?
12absinc，其中0?
c?
?
2
。
证明：
?
（s）?
?
（a）?
?
（b）?
?
（c）。
证
明
：
由
自
变量的误差对函数值的影响公式：
n
?
（f（x1,x2,?
xi?
f（x1,x2,?
xn）
n））?
?
xi?
1
f（x,xx?
（xi）。
得
12,?
n）?
xi
?
（s（a,b,c））?
a?
s（a,b,c）b?
s（a,b,c）c?
s（s（a,b,c）?
a?
（a）?
s（a,b,c）?
b?
（b）?
a,b,c）
s（a,b,c）?
c
?
（c）
?
（s）?
aabsinc?
bsinc?
?
（a）?
babsinc?
asinc?
?
（b）?
cabsinc
?
abcosc?
?
（c）
4
=?
（a）?
?
（b）?
c
tgc
?
（c）
?
?
（a）?
?
（b）?
?
（c）
（当0?
c?
?
2
时，c?
tgc），命题得证。
习题二1．找出下列方程在x?
0附近的含根区间。
5
（1）x?
cosx?
0；
（2）3x?
cosx?
0；（3）sin（x）?
e
?
x
?
0；
（4）x2?
e?
x?
0；解：
（1）设f（x）?
x?
cosx，则f（0）1?
，f（?
1）?
-0.4597，
由f（x）的连续性知在x?
?
?
1,0?
内，f（x）=0有根。
同题
（1）的方法可得：
（2），（3），（4）的零点附近的含根区间分别为?
0,1?
；?
?
0,?
?
?
2?
?
；?
0,1?
2．用二分法求方程xsinx?
1?
0在?
0,2?
内的根的近似值并分析误差。
解
：
令
f（x?
）xs?
ix，n则有f（0）?
?
1?
0，f
（2）?
0.8186?
0，
f（x）?
sinx?
xcosx?
0，x?
?
0,2?
所以函数f（x）在?
0，2?
上严格单调增且有唯一实根x?
。
本题中求根使得误差不超过10?
4，则由误差估计式
|?
?
xb?
ak|?
2k?
1，所需迭代次数k满足2?
0
2
k?
1
?
10?
4，即取k?
13.28便可，因此取k?
14。
用二分法计算结果列表如下：
【篇二：
数值计算方法期末复习答案终结版】
**e（x）?
x?
xxx1．误差：
设为准确值的一个近似值，称为近似值x的绝对误差，简称误差。
2．有效数字：
有效数字是近似值的一种表示方法，它既能表示近似值的大小，又能表示其**1
精确程度。
如果近似值x的误差限是?
10?
n，则称x准确到小数点后n位，
2
并从第一个不是零的数字到这一位的所有数字均称为有效数字。
3.算法：
是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。
计算一个数学问题，需要预先设计好由已知数据计算问题结果的运算顺序，这就是算法。
?
?
n?
?
4.向量范数：
设对任意向量x?
r，按一定的规则有一实数与之对应，记为||x||，若||x||满足
?
?
?
（1）||x||?
0，且||x||?
0当且仅当x?
0；
?
?
（2）对任意实数?
，都有||?
x||?
|?
|||x||；?
?
?
?
?
?
?
（3）对任意x,y?
rn，都有||x?
y||?
||x||?
||y||?
?
则称||x||为向量x的范数。
5.插值法：
给出函数f（x）的一些样点值，选定一个便于计算的函数形式，如多项式、分段
线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数?
（x）作为f（x）的近似的方法。
**xxx6相对误差：
设为准确值的一个近似值，称绝对误差与准确值之比为近似值的相对误
e（x*）差，记为er（x），即er（x）?
x
*
*
7.矩阵范数：
对任意n阶方阵a，按一定的规则有一实数与之对应，记为||a||。
若||a||满足
（1）||a||?
0，且||a||?
0当且仅当a?
0；
（2）对任意实数?
，都有||?
a||?
|?
|||a||；
（3）对任意两个n阶方阵a,b,都有||a?
b||?
||a||?
||b||；（4）||ab||?
||a||||b||称||a||为矩阵a的范数。
?
?
n||ax||
8．算子范数：
设a为n阶方阵，||?
||是r中的向量范数，则||a||?
max是一种矩
||x||x?
0
阵范数，称其为由向量范数||?
||诱导出的矩阵范数，也称算子范数。
?
9.矩阵范数与向量范数的相容性：
对任意n维向量x，都有
||ax||?
||a||||x||
这一性质称为矩阵范数与向量范数的相容性。
10.1?
范数，?
?
范数和2?
范数：
n
?
（1）1?
范数||x1|?
|?
xi||
i?
1
?
||?
（2）?
?
范数||x?
1?
i?
n
maxxi{|
|}
?
|（3）2?
范数
||x2|?
二、简答题
1．高斯消元法的思想是：
先逐次消去变量，将方程组化成同解的上三角形方程组，此过程称为消元过程。
然后按方程相反顺序求解上三角形方程组，得到原方程组的解，此过程称为回代过程。
2.迭代法的基本思想是：
构造一串收敛到解的序列，即建立一种从已有近似解计算新的近似解得规则，由不同的计算规则得到不同的迭代法。
3.雅可比（jacobi）迭代法的计算过程（算法）：
?
?
（1）输入a?
（aij），b?
（b1,?
bn），维数n，x（0）?
（x1（0）,x2（0）,?
xn（0）），?
，最大容许迭代次数n。
（2）置k?
1
（0）
（3）对i?
1,2,?
nxi?
（bi?
?
ax/ijj）a
j?
1
j?
in
ii
（4）若x?
x（0）?
?
，输出x停机；否则转5。
（5）k?
n，置k?
1?
k,xi?
xi（0）（i?
1,2,?
n），转3，否则，输出失败信息，停机。
4.插值多项式的误差估计：
（p102）
f（n?
1）（?
）f（n?
1）（?
）由rn（x）?
?
n?
1（x）?
（x?
x0）
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