等差数列及其前n项和.docx
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等差数列及其前n项和
等差数列及其前n项和
适用学科
高中数学
适用年级
高中二年级
适用区域
通用
课时时长（分钟）
60
知识点
等差数列的通项公式；等差数列的判断方法；等差中项；等差数列的性质；
教学目标
1：
熟练掌握等差数列的通项公式，等差中项；
2：
熟练掌握等差数列的性质；
教学重点
熟练掌握等差数列的性质
教学难点
等差数列性质的应用
教学过程
一、课堂导入
问题：
什么是等差数列？
等差数列前n项和的公式是什么？
二、复习预习
1．当公差d≠0时，等差数列的通项公式是n的一次函数，当公差d＝0时，an为常数．
2．公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．
三、知识讲解
考点1等差数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d__表示．
等差中项：
如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x与y的等差中项．
考点2等差数列的通项公式与前n项和公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋（n－1）d.
设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝
或Sn＝na1＋
d.
等差数列的前n项和公式与函数的关系：
Sn＝
n2＋
n.
数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn，（A、B为常数）．
考点3等差数列的常用性质
（1）通项公式的推广：
an＝am＋（n－m）d（n，m∈N＋）．
（2）若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N＋），则ak＋al＝am＋an.
（3）若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.
（4）若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
（5）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N＋）是公差为md的等差数列．
四、例题精析
考点一等差数列的基本运算
例1在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．
【规范解答】
（1）设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋（n－1）d.
由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.
从而an＝1＋（n－1）×（－2）＝3－2n.
（2）由
（1）可知an＝3－2n，
所以Sn＝
＝2n－n2.
由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35，
即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.
又k∈N＋，故k＝7.
【总结与反思】
（1）等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．
（2）数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．
考点二等差数列的性质及应用
例2
（1）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于（ ）
A．63B．45C．36D．27
【规范解答】
（1）由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列．
即2（S6－S3）＝S3＋（S9－S6），得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，故选B.
【总结与反思】在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列；{
}也是等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具．
考点三等差数列的前n项和及其最值
例3
（1）在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；
（2）已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25，求数列{|an|}的前n项和．
【规范解答】
（1）∵a1＝20，S10＝S15，∴10×20＋
d＝15×20＋
d，∴d＝－
.
∴an＝20＋（n－1）×
＝－
n＋
.∴a13＝0，即当n≤12时，an>0，n≥14时，an<0，
∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S13＝S12＝12×20＋
×
＝130.
（2）∵an＝4n－25，an＋1＝4（n＋1）－25，∴an＋1－an＝4＝d，又a1＝4×1－25＝－21.
所以数列{an}是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列．令
由①得n<6
；由②得n≥5
，所以n＝6.即数列{|an|}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，
从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，而|a7|＝a7＝4×7－25＝3.设{|an|}的前n项和为Tn，
则Tn＝
＝
【总结与反思】求等差数列前n项和的最值，常用的方法：
①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；②利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；③将等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn（A、B为常数）看做二次函数，根据二次函数的性质求最值．
课程小结
1．等差数列的判断方法
（1）定义法：
an＋1－an＝d（d是常数）⇔{an}是等差数列．
（2）等差中项法：
2an＋1＝an＋an＋2（n∈N＋）⇔{an}是等差数列．
（3）通项公式：
an＝pn＋q（p，q为常数）⇔{an}是等差数列．
（4）前n项和公式：
Sn＝An2＋Bn（A、B为常数）⇔{an}是等差数列．
2．方程思想和化归思想：
在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程（组）获得解．
3．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为
（1）a，a＋d，a＋2d；
（2）a－d，a，a＋d；（3）a－d，a＋d，a＋3d等，可视具体情况而定．
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