学生第3讲年七下第3章 全等三角形 提高训练题 2.docx
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学生第3讲年七下第3章全等三角形提高训练题2
第2讲全等三角形（）
（满分：
150分；考试时间：
120分钟）
一、精心选一选：
本大题共小题，每小题分，共分．
1、如图，给出下列四组条件：
①
；
②
；
③
；
④
．
其中，能使
的条件共有（）
A．1组B．2组C．3组D．4组
分析：
根据全等三角形的判定方法依次分析各小题即可判断.
①符合SSS，②符合SAS，③符合ASA，均能判定
④是SSA，无法判定
故选C.
3.小华在电话中问小明：
“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？
”小明提示说：
“可通过作最长边上的高来求解.”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（C）
A．B．C．D．
3.某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去
配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（）
A．①②③都带去B．带①去C．带②去D．带③去
二、细心填一填：
本大题共小题，每小题分，共分．
1、如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，并使点A、C、E三点在同一条直线上，因此只要测得ED的长就知道AB的长．请
说明这样测量正确性的理由．
证明：
∵BF⊥AB，DE⊥BD，
∴∠ABC=∠CDE=90°，
在△ABC和△EDC中：
∠ABC=∠EDC=90°
CB=CD
∠ACB=∠ECD
∴△ABC≌△EDC（ASA）
∴AB=DE（全等三角形，对应边相等）．
2、如图，将
沿
折叠，使点
与
边的中点
重合，下列结论中：
①
且
；②
；③
；④
，正确的个数有2个。
3.完成下面的证明．
已知，如图所示，BCE，AFE是直线，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4．
求证：
AD∥BE
证明：
∵ AB∥CD （已知）
∴ ∠4=∠ （ ）
∵ ∠3=∠4 （已知）
∴ ∠3=∠ （ ）
∵∠1=∠2 （已知）
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF （ ）
即：
∠ =∠ ．
∴ ∠3=∠ （ ）
∴AD∥BE （ ）
分析：
因为AB∥CD，由此得到∠4=∠BAF，它们是同位角，由此得到根据两直线平行，同位角相等；
由∠4=∠BAF，∠3=∠4得到∠3=∠BAF的根据是等量代换；
由∠BAF=∠CAD和已知结论得到∠3=∠CAD的根据是等量代换；
由∠3=∠CAD得到AD∥BE的根据是内错角相等，两直线平行．
∵AB∥CD（已知），
∴∠4=∠BAF（两直线平行，同位角相等）．
∵∠3=∠4（已知），
∴∠3=∠BAF（等量代换）．
∵∠1=∠2（已知），
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（等式的性质），
即∠BAF=∠CAD．
∴∠3=∠CAD（等量代换）．
∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行）．
4、如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：
第一次操作，分别延长AB、BC、CA至点A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1、B1C1、C1A1至点A2、B2、C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2、B2、C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积S5=______．
答案：
连接A1C，根据A1B=2AB，得到：
AB：
A1A=1：
3，
因而若过点B，A1作△ABC与△AA1C的AC边上的高，则高线的比是1：
3，
因而面积的比是1：
3，则△A1BC的面积是△ABC的面积的2倍，
设△ABC的面积是a，则△A1BC的面积是2a，
同理可以得到△A1B1C的面积是△A1BC面积的2倍，是4a，
则△A1B1B的面积是6a，
同理△B1C1C和△A1C1A的面积都是6a，
△A1B1C1的面积是19a，
即△A1B1C1的面积是△ABC的面积的19倍，
同理△A2B2C2的面积是△A1B1C1的面积的19倍，
即△A1B1C1的面积是19，△A2B2C2的面积192，
依此类推，△A5B5C5的面积是S5=195=2476099．
故答案为：
2476099．
5.如图已知△ABC中，AB=AC=10厘米，∠B=∠C，BC=6厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过______秒后，△BPD与△CQP全等．
设经过t秒后，△BPD与△CQP全等，
∵AB=AC=10厘米，点D为AB的中点，
∴BD=5厘米，
∵∠B=∠C，BP=CQ=t，
∴要使△BPD和△CQP全等，只有BD=CP=5厘米，
则5=6-t，
解得：
t=1，
1÷1=1（秒），
故答案为：
1．
6.如图，已知△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，则∠EGF=（ ）
A．120°
B．135°
C．115°
D．125°
：
解：
∵△ABC≌△ADE，∠CAD=10°，∠EAB=120°，
∴∠EAD=∠CAB=
（∠EAB-∠CAD）=55°，
∵∠FAB=∠CAD+∠CAB，
∴∠FAB=65°，
∵∠AFB+∠FAB+∠B=180°，
∴∠AFB=180°-65°-25°=90°，
∵∠GFD=∠AFB，
∴∠GFD=90°，
∵∠EGF=∠D+∠GFD，
∴∠EGF=90°+25°=115°．
故选C．
三、解答题（本大题共小题，共分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
1.
在数学综合实践活动课上，老师只给各活动小组教学用直角三角板一个、皮尺一条（皮尺长度不够直接测河宽），测量如下图所示小河的宽度（A为河岸边一棵柳树）。
（1）简要说明你的测量方法，并在右图中画出图形。
（2）说明你作法的合理性。
解：
（1）测量方法：
①在不同于A点的对岸作直线MN；
②用三角板作AB⊥MN垂足为B；
③在直线MN取两点C、D，使BC＝CD；
④过D作DE⊥MN交AC的延长线于E，则DE的长度即为河宽。
（2）在Rt△ABC和Rt△EDC中
∠ABC＝∠EDC＝Rt∠，BC＝CD，∠ACB＝∠ECD
所以Rt△ABC≌Rt△EDC
所以AB＝ED
2．已知△ABC中，∠A=60°．
（1）如图①，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点D，则∠BOC=120°．
（2）如图②，∠ABC、∠ACB的三等分线分别对应交于O1、O2，则∠BO2C=100°．
（3）如图③，∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…On-1（内部有n-1个点），
求∠BOn-1C（用n的代数式表示）．
（4）如图③，已知∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…On-1，若∠BOn-1C=90°，
求n的值．
分析：
（1）先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求得∠OBC+∠OCB，即可求出∠BOC．
（2）先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根据三等分线的定义求得∠O2BC+∠O2CB，即可求出∠BO2C．
（3）先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根据n等分线的定义求得∠On-1BC+∠On-1CB，即可求出∠BOn-1C．
（4）依据（3）的结论即可求出n的值．
解：
∵∠BAC=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
（1）∵点O是∠ABC与∠ACB的角平分线的交点，
∴∠OBC+∠OCB=1/2（∠ABC+∠ACB）=60°，
∴∠BOC=120°；
（2）∵点O2是∠ABC与∠ACB的三等分线的交点，
∴∠O2BC+∠O2CB=2/3（∠ABC+∠ACB）=80°，
∴∠BO2C=100°；
（3）∵点On-1是∠ABC与∠ACB的n等分线的交点，
∴∠On-1BC+∠On-1CB=（n-1）/n（∠ABC+∠ACB）=（n-1）/n×120°，
∴∠BOn-1C=180°-（n-1）/n×120°=（1+2/n）×60°；
（4）由（3）得：
（1+2/n）×60°=90°，
解得：
n=4．
点评：
此题练习角的等分线的性质以及三角形内角和定理．根据题意找出规律是解题的关键．
3、如图，已知∠BDC+∠EFC=180°，∠DEF=∠B．
（1）求证：
∠AED=∠ACB（说明：
写出每一步推理的依据）；
（2）若D、E、F分别是AB、AC、CD边上的中点，S四边形ADFE=6，求S△ABC．
（1）由BDC+∠EFC=180°和∠EFC+∠DFE=180°得到∠BDC=∠DFE，根据平行线的判定得AB∥EF，则∠ADE=∠DEF，而∠DEF=∠B，所以∠ADE=∠B，于是可判断DE∥BC，然后根据平行线的性质得到∠AED=∠ACB；
（2）由E为AC的中点，根据三角形面积公式得到S△ADE=S△CDE=
S△ADC，再由F为DC的中点得S△DEF=S△CEF=
S△DEC，而S四边形ADFE=6，则S△ADE+
S△EDC=6，可计算出S△ADE=4，则S△ADC=8，然后利用D为AB的中点，根据S△ABC=2S△ADC进行计算即可．
（1）证明：
∵∠BDC+∠EFC=180°（已知），
而∠EFC+∠DFE=180°（邻补角的定义），
∴∠BDC=∠DFE（等角的补角相等），
∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行），
∴∠ADE=∠DEF（两直线平行，内错角相等），
∵∠DEF=∠B（已知），
∴∠ADE=∠B（等量代换），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠AED=∠ACB（两直线平行，同位角相等）；
（2）解：
∵E为AC的中点，
∴S△ADE=S△CDE=
S△ADC，
∵F为DC的中点，
∴S△DEF=S△CEF=
S△DEC，
∵S四边形ADFE=6，
∴S△ADE+
S△EDC=6，
∴
S△ADE=6，
∴S△ADE=4，
∴S△ADC=2×4=8，
∵D为AB的中点，
∴S△ABC=2S△ADC=2×8=16．
4、已知∠MAN，AC平分∠MAN．
（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：
AB+AD=AC；
（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则
（1）中的结论是否仍然成立？
若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（1）证明：
∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，
∴∠CAD=∠CAB=60°．
又∠ABC=∠ADC=90°，
∴AD=
AC，AB=
AC，
∴AB+AD=AC．
（2）结论仍成立．理由如下：
作CE⊥AM、CF⊥AN于E、F．则∠CED=∠CFB=90°，
∵AC平分∠MAN，
∴CE=CF．
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°
∴∠CDE=∠ABC，
在△CDE和△CBF中，
∠CDE=∠CBF
∠CED=∠CFB
CE=CF
∴△CDE≌△CBF（AAS），
∴DE=BF．
∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，
∴∠MAC=∠NAC=60°，∴∠ECA=∠FCA=30°，
在Rt△ACE与Rt△ACF中，则有AE=
AC，AF=
AC，
则AD+AB=AD+AF+BF=AD+AF+DE=AE+AF=
AC+
AC=AC．
∴AD+AB=AC．
5、如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为垂直 ，数量关系为相等 ．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：
当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？
并说明理由．
分析：
当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF=BD，∠ACF=∠ABD．结合∠BAC=90°，AB=AC，得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．即CF⊥BD．
（2）当∠ACB=45°时，过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G，则∠GAC=90°，可推出∠ACB=∠AGC，所以AC=AG，由
（1）①可知CF⊥BD．
解：
（1）①CF⊥BD，CF=BD
故答案为：
垂直、相等．
②成立，理由如下：
∵∠FAD=∠BAC=90°
∴∠BAD=∠CAF
在△BAD与△CAF中，
∵
{
BA=CA
∠BAD=∠CAF
AD=AF
∴△BAD≌△CAF（SAS）
∴CF=BD，∠ACF=∠ACB=45°，
∴∠BCF=90°
∴CF⊥BD
（2）当∠ACB=45°时可得CF⊥BC，理由如下：
…（8分）
过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G …（9分）
则∵∠ACB=45°
∴AG=AC，∠AGC=∠ACG=45°
∵AG=AC，AD=AF，
∵∠GAD=∠GAC-∠DAC=90°-∠DAC，∠FAC=∠FAD-∠DAC=90°-∠DAC，
∴∠GAD=∠FAC，
∴△GAD≌△CAF（SAS） …（10分）
∴∠ACF=∠AGD=45°
∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90°
∴CF⊥BC …（12分）
6．
（1）观察图1，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX=___________．
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°，∠DBE=130°，
求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2、…、G9，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，直接写出∠A的度数为___________．
（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C
理由如下：
证明：
连接AD并延长到E点
∵∠BDE=∠BAE+∠B
∠EDC=∠EAC+∠C
∴∠BDE+∠EDC=∠BAE+∠EAC+∠B+∠C
∵∠BDC=∠BDE+∠EDC
∠BAC=∠BAE+∠EAC
∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C（方法不唯一，其余方法酌情给分）
（2）①∠ABX+∠ACX=____40°____．
②∠DCE=90°
∵DC平分∠ADB
∴∠ADC=∠BDC
∵EC平分∠AEB
∴∠AEC=∠BEC
∵∠DCE=∠A+∠ADC+∠AEC
∠DBE=∠DCE+∠BDC+∠BEC
∴∠DCE－∠DBE=∠A－∠DCE
∵∠DAE=50°，∠DBE=130°
∴∠DCE=90°
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2、…、G9，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，直接写出∠A的度数为___70°___．
7.如图，已知∠MON=α，点A、B分别在射线ON、OM上移动（不与点O重合），AC平分∠OAB，BD平分∠ABM，直线AC、BD交于点C．试问：
随着A、B点的移动变化，∠ABM，直线AC、BD交于点C．试问：
随着A、B点的移动变化，∠ACB的大小是否也随之变化？
若改变，说明理由；若不改变，求出其值．
分析：
先根据三角形外角的性质∠MON+∠OAB=∠ABM，再由角平分线的性质及三角形内角和定理即可得出结论．
解答：
解：
∠ACB=
α为一定值．
理由：
∵∠ABM是△AOB的外角，
∴∠MNO+∠OAB=∠ABM，∠MON=α，
∴∠ABM-∠OAB=∠MON=α．
∵AC平分∠OAB，BD平分∠ABM，
∴∠BAC=
∠OAB，∠ABD=
∠ABM=
（∠MNO+∠OAB），
∵∠ABD是△ABC的外角，
∴∠ABD=∠C+∠BAC，即∠C=∠ABD-∠BAC=
（∠ABM-∠OAB）=
α．
8.（7分）如图，在△ABC中，AD是中线，分别过点B、C作AD的垂线段BE、CF，垂足分别为点E、F．求证：
BE=CF．
证明∵在△ABC中，AD是中线，
∴BD=CD，
∵CF⊥AD，BE⊥AD，
∴∠CFD＝∠BED＝90°，
在△BED与△CFD中，
∵
∴△BED≌△CFD（AAS）
∴BE=CF．
8.（10分）如图，A，B，C，D，E，F，M，N是某公园里的8个独立的景点，D，E，B三个景点之间的距离相等；A，B，C三个景点距离相等．其中D，B，C在一条直线上，E，F，N，C在同一直线上，D，M，F，A也在同一条直线上．游客甲从E点出发，沿E→F→N→C→A→B→M游览，同时，游客乙从D点出发，沿D→M→F→A→C→B→N游览．若两人的速度相同且在各景点游览的时间相同，甲、乙两人谁最先游览完？
请说明理由．
答：
甲、乙两人同时浏览完．
理由如下：
∵D，E，B三个景点之间距离相等，
∴BD＝BE＝DE．
∴△BDE是等边三角形．
∴∠DBE＝60°．
同理，△ABC也是等边三角形，∠ABC＝60°．
∴∠ABE＝180°－∠DBE－∠ABC＝60°．
∴∠DBE＝∠ABC＝∠ABE．
∴∠ABD＝∠ABE＋∠DBE，∠CBE＝∠ABE＋∠ABC．
∴∠ABD＝∠CBE．
∴△ABD≌△CBE（SAS）．
∴CE＝AD，∠BDA＝∠BEC．
∵BD＝BE，∠BDA＝∠BEC，∠DBE＝∠ABE，
∴△MBD≌△NBE（ASA）．
∴BM＝BN．
∴EC＋AC＋AB＋BM＝AD＋AC＋BC＋BN．
∴沿E→F→N→C→A→B→M，D→M→F→A→C→B→N的距离相等，
所以甲、乙两人同时浏览完
9．已知：
如图，在△ABC中，∠B=∠C，∠BAD=40°，且∠ADE=∠AED，
求：
∠CDE的度数．
解：
∵∠EDC+∠C=∠AED，∠ADE=∠AED，
∴∠C+∠EDC=∠ADE，
又∵∠B+∠BAD=∠ADC，
∴∠B+40°=∠C+∠EDC+∠EDC，
∵∠B=∠C．
∴2∠EDC=40°，
∴∠EDC=20°．
10.（本小题7分）已知∠MON，点A，B分别在射线ON，OM上移动（不与点O重合），AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，直线AD，BC相交于点C.
（1）如图1，若∠MON=90°，试猜想∠ACB的度数，并直接写出结果；
（2）如图2，若∠MON=α，问：
当点A，B在射线ON，OM上运动的过程中，∠ACB的度数是否改变？
若不改变，求出其值（用含α的式子表示）；若改变，请说明理由；
（3）如图3，若∠MON=α，BC平分∠ABO，其他条件不改变，问：
（2）中的结论是否仍然成立，请直接写出你得结论.
解：
（1）∠ACB=45°
（2）∠ACB的度数不改变.
∵AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，
∴∠1=∠2=
∠BAN，∠3=∠4=
∠ABM.
∵∠BAN=∠O+∠6，∠ABM=∠O+∠5，
∴∠2+∠4=
（∠BAN+∠ABM）
=
（∠O+∠5+∠O+∠6）=90°+
∠O.
∴∠ACB=180°-（∠2+∠4）=90°-
∠O=90°-
α.
（3）∠ACB的度数不改变，∠ACB=
α.
11.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是DC的中点，BE⊥DC，点F在线段BE上，且满足BF=AB，FC=AD。
求证：
（1）∠A=∠BFC。
（2）∠FBC=∠BCF。
解：
（1）连接BD
∵点E是DC的中点，BE⊥DC
∴BE垂直平分DC
在△ABD与△FBC中，
∴
∴∠A=∠BFC。
（2）由
（1）知△ABD≌△FBC
∴∠1=∠2
∵AD∥BC
∴∠1=∠DBC
∵BD=BC且BE⊥DC
∴∠3=
∠DBC
∴∠3=
∠2
即∠FBC=
∠BCF。
12.如图，已知∠MON=90°，点A、B分别在射线ON、OM上运动，∠OAB的角平分线与△OBA的外角∠ABM的平分线交于点C，试问：
∠ACB的大小是否变动？
说明你的结论。
解：
不变，
理由：
13.（10分）如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别在AB、BC、AC上，且BD=CE，
∠DEF=∠B，问：
DE和EF是否相等？
并说明理由．
解：
∵∠B=∠C，∠DEF=∠B，∠DEC=∠B+∠BDE（三角形的外角定理），∴∠BDE=∠FEC，
在△BDE与△CEF中，
，∴△BDE≌△CEF（ASA），∴DE=EF．
14.已知：
如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AM平分∠DAB，DM平分∠ADC，点M恰在BC上．
（1）求证：
AM⊥DM；
（2）若∠C＝90°，求证：
BM=CM.
（3）若M是BC的中点，猜想AD、AB、CD之间有何数量关系？
请证明你的结论．
.解：
（1）略
（2）证明：
过M作ME⊥AD，交AD于E．∵DM平分∠ADC，∠C=90°．
MC=ME．同理可得MB=ME．∴BM=CM．
（3）延长DM、AB相交于点F，则△DCM≌△FBM，∴BF=CD
又∠ADM=∠CDM=∠AFM，∠DAM=∠FAM，AM=AM∴△ADM≌△AFM，∴AD=AF=AB+BF=AB+CD
15.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=16．点P从A点出发沿A－C－B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B－C－A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以2和6的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．
问：
点P运动多少时间时，△PEC与QFC全等？
请说明理由．
解：
∵△PEC≌△QFC，∴斜边CP=CQ，有四种情况：
①P在AC上，Q在BC上，CP=12－2t，CQ=16－6t，∴12－2t=16－6t，∴t=1；
②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，∴CP=12－2t=6t－16，∴t=3.5；
③P到BC上，Q在AC时，此时不存在；
理由是：
16÷6×2＜12，Q到AC上时，P点也在AC上；
④当Q到A点（和A重合），P在BC上时，
∵CP=CQ=AC=12．CP=12－2t∴2t－12=12∴t=12符合题意
答：
点P运动1或3.5或12时，△PEC与△QFC全等．
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