高考总复习数学理第三章 导数及其应用.docx
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高考总复习数学理第三章导数及其应用
第三章 导数及其应用
第1讲 导数的概念与运算
考点梳理
1.函数y=f(x)在x=x0处的导数
(1)定义:
设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0∈(a,b),当Δx无限趋近于0时,比值=无限趋近于一个常数A,则称f(x)在x=x0处可导,并称常数A为函数f(x)在点x=x0处的导数,记作f′(x0).可表示为“当Δx→0时,→A”.
(2)几何意义:
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是过曲线y=f(x)上点(x0,f(x0))的切线的斜率.
2.函数f(x)的导函数
若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导,则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数.该函数称为f(x)的导函数,记作f′(x).
3.基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)=C
f′(x)=__0__
f(x)=xα(α为常数)
f′(x)=αxα-1
f(x)=sinx
f′(x)=cos_x
f(x)=cosx
f′(x)=-sin_x
f(x)=ax(a>0,a≠1)
f′(x)=axln_a
f(x)=ex
f′(x)=__ex__
f(x)=logax(a>0,a≠1)
f′(x)=
f(x)=lnx
f′(x)=
4.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);
(2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
(3)′=(g(x)≠0).
5.复合函数的导数
若y=f(u),u=ax+b,则yx′=yu′·ux′,即yx′=yu′·a.
【助学·微博】
一个命题规律
本讲知识是高考中的常考内容,尤其是导数的几何意义及导数的四则运算,更是高考考查的重点.以填空题的形式出现,有时也出现在解答题的第一问中.导数的运算及复合函数的导数一般不单独考查,在考查导数应用的同时考查导数的运算.
曲线y=f(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别与联系
(1)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指P为切点,切线斜率为k=f′(x0)的切线,是唯一的一条切线.
(2)曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,是指切线经过P点.点P可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条.
考点自测
1.(2012·济南模拟)曲线f(x)=x2(x-2)+1在点(1,f
(1))处的切线方程为________.
解析 f
(1)=0,f′(x)=3x2-4x,f′
(1)=-1,所以切线方程为y=-(x-1),即x+y-1=0.
答案 x+y-1=0
2.(2012·泰州市高三期末考试)设A为奇函数f(x)=x3+x+a(a为常数)图象上一点,曲线f(x)在A处的切线平行于直线y=4x,则A点的坐标为________.
解析 设A(x0,y0),则由f(0)=0,得a=0,所以f(x)=x3+x,f′(x)=3x2+1,于是由4=f′(x0)=3x+1,得x=1,所以x0=±1,所以A(-1,-2)或A(1,2).
答案 (-1,-2)或(1,2)
3.(2012·江苏泰州二模)若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切,则a=________.
解析 设过点(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,x),则切线方程为y-x=3x(x-x0),由它过点(1,0),得x0=0或x0=.当x0=0时,由直线y=0与y=ax2+x-9相切,可得a=-;当x0=时,由直线y=x-与y=ax2+x-9相切,可得a=-1.
答案 -1或-
4.(2012·泰州学情调查)已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是________.
解析 y′=-=-≥-1,所以tanα≥-1,即-1≤tanα<0.又0≤α<π,所以≤α<π.
答案
5.(2012·南京模拟)若直线y=kx-3与曲线y=2lnx相切,则实数k=________.
解析 由y=2lnx,得y′=.设y=kx-3与曲线y=2lnx相切于点(x0,y0)(x0>0),则有k=,y0=kx0-3=-1,y0=2lnx0,所以x0=e-,k==2.
答案 2
考向一 导数的运算
【例1】(2013·泉州月考)求下列函数的导数:
(1)y=ex·lnx;
(2)y=x;
(3)y=x-sincos;
(4)y=(+1);
(5)y=.
解
(1)y′=(ex·lnx)′=exlnx+ex·=ex.
(2)∵y=x3+1+,∴y′=3x2-.
(3)先使用三角公式进行化简,得
y=x-sincos=x-sinx,
∴y′=′=x′-(sinx)′=1-cosx.
(4)先化简,y=·-+-1=-x+x-,
∴y′=-x--x-=-.
(5)∵y==x-+x3+,
∴y′=′+(x3)′+(x-2sinx)′
=-x-+3x2-2x-3sinx+x-2cosx.
[方法总结]
(1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错;
(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但在求导前利用代数或三角恒定变形将函数先化简,然后进行求导,有时可以避免使用商的求导法则,减少运算量.
【训练1】求下列函数的导数.
(1)y=(x+1)(x+2)(x+3);
(2)y=sin;
(3)y=tanx;
(4)y=xlnx;
(5)y=.
解
(1)因为y=(x+1)(x+2)(x+3)=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,所以y′=3x2+12x+11.
(2)因为y=sin=sincos=sinx,所以y′=′=(sinx)′=cosx.
(3)因为y=tanx=,
所以y′=′==.
(4)因为y=xlnx,
所以y′=(xlnx)′=lnx+x·=lnx+1.
(5)因为y==-1,
所以y′=′=′=-
考向二 求复合函数的导数
【例2】求下列复合函数的导数.
(1)y=xe1-2x;
(2)y=;
(3)y=;
(4)y=(1+sinx)2;
(5)y=x.
解
(1)因为y=xe1-2x,所以y′=(xe1-2x)′
=e1-2x-(1-2x)′xe1-2x
=(1+2x)e1-2x.
(2)因为y=,
所以y′=
=-.
(3)设u=1-3x,y=u-4.
则y′=yu′·ux′=-4u-5·(-3)=.
(4)设u=1+sinx,则y=(1+sinx)2,
由y=u2与u=1+sinx复合而成.
∴y′=yu′·ux′=2u·cosx=2(1+sinx)·cosx.
(5)y′=(x)′=x′·+x()′=+=.
[方法总结]由复合函数的定义可知,中间变量的选择应是基本函数的结构,解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次,一般是从最外层开始,由外向内,一层一层地分析,把复合函数分解成若干个常见的基本函数,逐步确定复合过程.
【训练2】求下列函数的导数:
(1)y=;
(2)y=sin22x;
(3)y=e-xsin2x;(4)y=ln.
解
(1)y′=·2x=.
(2)y′=(2sin2x)(cos2x)×2=2sin4x.
(3)y′=(-e-x)sin2x+e-x(cos2x)×2
=e-x(2cos2x-sin2x).
(4)y′=··2x=.
考向三 导数的几何意义及综合应用
【例3】
(1)设f(x)=xlnx+1,若f′(x0)=2,则f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为________.
(2)(2012·淮安市第四次调研)已知曲线y=(a-3)x3+lnx存在垂直于y轴切线,函数f(x)=x3-ax2-3x+1在[1,2]上单调递增,则a的取值范围是________.
解析
(1)∵f′(x)=lnx+1,又f′(x0)=2,∴lnx0+1=2.
解得x0=e,y0=e+1.故f(x)在点(e,e+1)处的切线方程为y-(e+1)=2(x-e),即2x-y-e+1=0.
(2)由题意,可得y′=3(a-3)x2+(x>0),
即3(a-3)x3+1=0有正实根,所以a-3<0,a<3.
由f(x)=x3-ax2-3x+1在区间[1,2]上单调递增,得f′(x)=3x2-2ax-3≥0在[1,2]上恒成立,即a≤在[1,2]上恒成立.因为y=在[1,2]上递增,所以ymin=0,所以a≤0.综上,得a的取值范围是(-∞,0].
答案
(1)2x-y-e+1=0
(2)(-∞,0]
[方法总结]
(1)利用导数研究曲线的切线问题,一定要熟练掌握以下条件:
①函数在切点处的导数值也就是切线的斜率.即已知切点坐标可求切线斜率,已知斜率可求切点的坐标.
②切点既在曲线上,又在切线上.切线有可能和曲线还有其它的公共点.
(2)与导数几何意义有关的综合性问题,涉及到三角函数求值、方程和不等式的解,关键是要善于进行等价转化.
【训练3】
(1)(2012·南通市第一学期调研)曲线c:
y=xlnx在点M(e,e)处的切线方程为________.
(2)(2012·镇江调研)设P是函数y=(x+1)图象上异于原点的动点,且该图象在点P处的切线的倾斜角为θ,则θ的取值范围是________.
解析
(1)y′=lnx+1,k=lne+1=2,
所以曲线在点M处的切线方程为y-e=2(x-e),
即2x-y-e=0.
(2)由y=(x+1),得y′=x+x-
=≥×2=,所以tanθ≥,所以≤θ<.
答案
(1)2x-y-e=0
(2)
规范解答3 求在点P处的切线与过点P处的切线
求曲线切线时,要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别,前者只有一条,而后者包括了前者.
【示例】(2012·扬州阶段检测)已知曲线y=x3+.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程;
(3)求斜率为1的曲线的切线方程.
[审题路线图]求曲线的切线方程方法是通过切点坐标,求出切线的斜率,再通过点斜式得切线方程.
[解答示范]
(1)∵P(2,4)在曲线y=x3+上,且y′=x2,∴在点P(2,4)处的切线的斜率为k=4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),
即4x-y-4=0.(4分)
(2)设曲线y=x3+与过点P(2,4)的切线相切于点
A,则切线的斜率为k=x.
∴切线方程为y-=x(x-x0),
即y=x·x-x+.(6分)
∵点P(2,4)在切线上,∴4=2x-x+,
即x-3x+4=0,∴x+x-4x+4=0,
∴x(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,
∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,
故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.(8分)
(3)设切点为(x0,y0),则切线的斜率为:
x=1,x0=±1.
切点为(-1,1)或,
∴切线方程为y-1=x+1或y-=x-1,
即x-y+2=0或3x-3y+2=0.(12分)
[点评]曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和研究直线与二次曲线相切时有差别.
高考经典题组训练
1.(2012·广东卷)曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程为________.
解析 y′=3x2-1,k=f′
(1)=2,
所以曲线在点(1,3)处的切线方程为y-3=2(x-1),即2x-y+1=0.
答案 2x-y+1=0
2.(2010·江西卷改编)等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8),则f′(0)=________.
解析 函数f(x)展开式中含x项的系数为a1·a2·…·a8=(a1·a8)4=84=212,所以f′(0)=a1·a2……a8=212.
答案 212
3.(2012·陕西)设函数f(x)=D是由x轴和曲线y=f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则z=x-2y在D上的最大值为________.
解析 由f(x)=lnx,得f′(x)=,k=f′
(1)=1,所以f(x)=lnx(x>0)在点(1,0)处的切线方程为y=x-1,画出可行域如图所示,则当直线x-2y=z经过点A(0,-1)时,zmax=0-2×(-1)=2.
答案 2
4.(2012·安徽卷)设函数f(x)=aex++b(a>0).
(1)求f(x)在[0,+∞)内的最小值;
(2)设曲线y=f(x)在点(2,f
(2))处的切线方程为y=x,求a,b的值.
解
(1)f′(x)=aex-,当f′(x)>0,即x>-lna时,f(x)在(-lna,+∞)上递增,当f′(x)<0,即x<-lna时,f(x)在(-∞,-lna)上递减.
①若00,f(x)在(0,-lna)上递减,在(-lna,+∞)上递增,从而f(x)在[0,+∞)上的最小值为f(-lna)=2+b;
②若a≥1,则-lna≤0,f(x)在[0,+∞)上递增,从而f(x)在[0,+∞)上的最小值为f(0)=a++b.
(2)依题意,得f′
(2)=ae2-=,
解得ae2=2或ae2=-(不合题意,舍去).
所以a=,代入原函数,得2++b=3,即b=.
故a=,b=.
分层训练A级 基础达标演练
(时间:
30分钟 满分:
60分)
一、填空题(每小题5分,共30分)
1.已知f(x)=x2+2xf′
(1),则f′(0)等于________.
解析 f′(x)=2x+2f′
(1),所以f′
(1)=2+2f′
(1),即f′
(1)=-2,f′(x)=2x-4,故f′(0)=-4.
答案 -4
2.(2012·扬州检测)已知直线ax-by-2=0与曲线y=x3在点P(1,1)处的切线互相垂直,则为________.
解析 y′=(x3)′=3x2,k=3,由题意,3×=-1,所以=-.
答案 -
3.(2012·辽宁卷)已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为________.
解析 由y=,得y′=x,k1=f′(4)=4,k2=f′(-2)=-2,所以P(4,8),Q(-2,2).
点P处切线方程为y-8=4(x-4),
即y=4x-8.①
点Q处切线方程为y-2=-2(x+2),
即y=-2x-2.②
①②联立,解得A(1,-4).
答案 -4
4.(2013·菏泽模拟)若函数f(x)=excosx,则此函数图象在点(1,f
(1))处的切线的倾斜角为________(填锐角、直角或钝角).
解析 f′(x)=excosx-exsinx,因为函数图象在点(1,f
(1))处的切线斜率k=f′
(1)=e(cos1-sin1)<0,所以切线的倾斜角是钝角.
答案 钝角
5.(2012·南通、泰州、扬州三市调研
(二))已知各项均为正数的等比数列{an};满足a1a7=4,a6=8,函数f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+a10x10的导数为f′(x),则f′=________.
解析 设{an}公比为q,则由得q=2,a1=,所以an=2n-3,f′=a1+2a2×+3a3×2+…+10a10×9=+2×+3×+…+10×=(1+2+3+…+10)×=.
答案
6.(2013·青岛模拟)若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x-2的距离的最小值是________.
解析 设P(t,t2-lnt),由y′=2x-,得k=2t-=1(t>0),解得t=1.所以过点P(1,1)的切线方程为y=x,它与y=x-2的距离d==即为所求.
答案
二、解答题(每小题15分,共30分)
7.(2010·陕西卷)已知函数f(x)=,g(x)=alnx,a∈R,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值及该切线的方程.
解 f′(x)=,g′(x)=(x>0),
由已知得解得a=,x=e2.
因为两曲线交点坐标为(e2,e),切线的斜率为k=f′(e2)=,所以切线方程为y-e=(x-e2),即x-2ey+e2=0.
8.已知函数y=f(x)=.
(1)求函数y=f(x)的图象在x=处的切线方程;
(2)求函数y=f(x)的最大值.
解
(1)因为f′(x)=,
所以k=f′=2e2.又f=-e,
所以y=f(x)在x=处的切线方程为
y+e=2e2,即2e2x-y-3e=0.
(2)令f′(x)=0,得x=e.
因为当x∈(0,e)时,f′(x)>0,
当x∈(e,+∞)时,f′(x)<0,
所以f(x)在(0,e)上为增函数,在(e,+∞)上为减函数,
所以f(x)max=f(e)=.
分层训练B级 创新能力提升
1.(2012·苏北四市调研(三))若曲线y=在x=1处的切线与直线x+by+1=0垂直,则实数b的值为________.
解析 因为y=,所以y′=-,k=f′
(1)=-3.又切线与x+by+1=0垂直,所以-=,解得b=-3.
答案 -3
2.(2012·镇江市第一学期期末考试)已知函数y=f(x)在点(2,f
(2))处的切线方程为y=2x-1,则函数g(x)=x2+f(x)在点(2,g
(2))处的切线方程为________.
解析 由y=f(x)在点(2,f
(2))处的切线方程为y=2x-1,得f′
(2)=2,f
(2)=3,
于是由g(x)=x2+f(x),得g′(x)=2x+f′(x),
从而g
(2)=22+f
(2)=7,g′
(2)=2×2+f′
(2)=6,
所以y=g(x)在点(2,g
(2))处的切线方程为y-7=6(x-2),即6x-y-5=0.
答案 6x-y-5=0
3.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的导函数为f′(x),且f′(0)>0,对于任意实数x,有f(x)≥0,则的最小值为________.
解析 f′(x)=2ax+b,f′(0)=b>0,
又所以ac≥,所以c>0,
所以=≥≥=2.
答案 2
4.(2013·南京模拟)已知直线y=mx(m∈R)与函数f(x)=的图象恰有三个不同的公共点,则实数m的取值范围是________.
解析 如图,可求得直线y=x与y=x2+1(x>0)的图象相切时恰有两个不同的公共点,当m>时,直线y=mx与y=f(x)的图象恰有三个不同的公共点.
答案 (,+∞)
5.已知函数f(x)=x3+2x2+3x(x∈R)的图象为曲线C,试问:
是否存在一条直线与曲线C同时切于两点?
若存在,求出符合条件的所有直线方程;若不存在,说明理由.
解 设存在过切点A(x1,y1)的切线与曲线C同时切于两点,另一切点为B(x2,y2)(x2≠x1),则切线方程为y-=(x+4x1+3)(x-x1),
即为y=(x+4x1+3)x-.
同理,过点B(x2,y2)的切线方程是
y=(x+4x2+3)x-.
由于两切线是同一切线,所以有
即
又x1≠x2,所以
解得x1=x2=-2,这与x1≠x2矛盾,所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点.
6.(2013·盐城检测)已知在函数f(x)=mx3-x的图象上,以N(1,n)为切点的切线的倾斜角为.
(1)求m,n的值;
(2)是否存在最小的正整数k,使得不等式f(x)≤k-2013对于x∈[-1,3]恒成立?
如果存在,请求出最小的正整数k,如果不存在,请说明理由.
解
(1)依题意,得f′
(1)=tan,即3m-1=1,m=.
因为f
(1)=n,所以n=-.
(2)令f′(x)=2x2-1=0,得x=±.
当-1<x<-时,f′(x)=2x2-1>0;
当-<x<时,f′(x)=2x2-1<0;
当<x<3时,f′(x)=2x2-1>0.
又f(-1)=,f=,f=-,f(3)=15,
因此,当x∈[-1,3]时,-≤f(x)≤15.
要使得不等式f(x)≤k-2013对于x∈[-1,3]恒成立,则k≥15+2013=2028.
所以,存在最小的正整数k=2028,使得不等式f(x)≤k-2013对于x∈[-1,3]恒成立.
第2讲 用导数研究函数的单调性与极值
考点梳理
1.函数的单调性
函数f(x)在(a,b)内可导,f′(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)为增函数;f′(x)≤0⇔f(x)为减函数.
2.函数的极值
(1)判断f(x0)是极值的方法
一般地,当函数f(x)在点x0处连续时,
①如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值;
②如果在x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)是极小值.
(2)求可导函数极值的步骤
①求f′(x);
②求方程f′(x)=0的根;
③检查f′(x)在方程f′(x)=0的根左右值的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值,如果左右两侧符号一样,那么这个根不是极值点.
【助学·微博】
一个考情解读
本讲内容是高考的必考内容,主要以解答题的形式考查利用导数研究函数的单调性,求函数的单调区间,求函数的极值.也有可能以解答题的形式考查导数与解析几何、不等式、三角函数等知识相结合的问题.综合题一般作为压轴题出现,难度较大.
考点自测
1.(2012·苏州调研)函数y=+2lnx的单调减区间为________.
解析 由y=+2lnx,得y′=-+=≤0(x>0),解得0答案
2.函数y=3x2-6lnx的单调增区间为________,单调减区间为________.
解析 y′=6x-=.∵定义域为(0,+∞),
由y′>0,得x>1,∴增区间为(1,+∞);
由y′<0,得0<x<1,∴减区间为(0,1).
答案 (1,+∞) (0,1)
3.若函数f(x)=ax3+3x2-x恰有3个单调区间,则实数a的取值范围是________.
解析 由题意f′(x)=3ax2+6x-1=0有两个不相等的实数根,故⇒a>-3且a≠0.
答案 (-3,0)∪(0,+∞)
4.已知a>0,函数f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调递增函数,则a的取值范围是________.
解析 f′(x)=3x2-a,由f(x)在[1,+∞)上是单调递增函数,得f′(x)≥0在区间[1,+∞)上恒成立,即3x2-a≥0,x∈[1,+∞)恒成立,故实数a≤3x2在[1,+∞)上的最小值,即a≤3.
答案 (-∞,3]
5.(2012·启东中学一模)若函数f(x)=x3+x2-ax-4在区间(-1,1)内恰有一个极值点,则实数a的取值范围是________.
解析 由f(x)=x3+x2-ax-4,得f′(x)=3x2+2x-a.由题意,f′(x)=0,即3x2+2x-a=0在(-1,1)内恰有一个实根,所以f′(-1)f′
(1)=(3-2-a)