完整word版圆锥曲线解题模型.docx
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完整word版圆锥曲线解题模型
直线和圆锥曲线常考题型
运用的知识,
I、中点坐杯公式:
X=Ali.,y=21±A,中X,y杲点川斗,”)・〃(七,儿)的中点坐标・
2、弦K公式:
若点A(几儿),*(勺.儿)4啟线y^kx+b(k*0)±t
则y严U+几“=g+b・这是同点纵横坐标变抓是两大坐标变换技巧
|A5|=J(斗一壬尸+(牙一儿尸=J(片一壬)2+(匕]一爾尸=/屮2心_£)2={(1+疋)[(旺+^)2—4兀血]
或者I人b|=J(石一七)2+(”_儿)2=JG儿-|^)2+(>-,-y2)2=J(l+^-)(>'|-y2)2=J(l+*■)[(X+>2)2一4)1儿]・
3、两条直线4:
yW+Q,4:
y=垂直:
则^=-1
苗条亢线垂则用线所在的向试片・1,2=0
h厂
4、韦达定理:
若一元二次方程ax2+£>x+c=0(o*0)W两个不同的根心七.M'JXj+x,=—,x}x2=—.
aa
常见的一蝴S型:
M-:
数形结合确定直後和Bl锥曲找的位置关系
题型二:
弦的垂亶平分域问题
題型三'动弦过定点的问题
题割过已知曲枚上定点的孩的问题
题塑五:
共枚向■何题
题塑六:
面积问题
題塑七:
弦或弦长为定值问JR
®SA:
角度问题
问■九:
四点共线问题
问■十:
范BS问题(本质杲函数问题〉
何■十r存在性问题:
(存在点,存在直线尸匕畑存在实軌存在图形,三角形(等比、等Sh直角人四边形(矩
形.菱形、正方形儿圆)题S-:
效形结合UK定直枚和8B儀曲枚的位賈关系
例題I、已知血线/:
y=kx+l—+^=1始终有交点,求皿的取值范出
4m
解:
根据WX/:
v=tv+1的方程可知,肖线恒过定点(0.I),me:
—+^-=1过动点(0・±5/万),!
!
/»工4.如4m
果11线/:
y=/Lt+imifi|51|C:
—+^-=1始终冇交点•则V^>hUm^4.HPl
规律捉號:
通过戌线的代数形式,町以看出肖线的特点:
/:
y=U+l=>过定点(0.1)
l:
y=k(x+\)=^过定点(一1,0)
/:
厂2=吃+1)=>过定点(-L2)
题塑二,弦的垂宜平分钱问题
例題2、过点TCI.0)作直线/与曲线N:
尸二兀交于A、B两点,庄k轴上是否存在一点&心0),使得AABE是等
边三角形.若存在,求出斗;若不存在,请说明理由.
解:
依题克知,直线的斜率存在,且不等于0・
设直线/:
.y二攵(x+l),k*0.AWJ.Bg,yj•
由卩;(X+1)i8y整理•得"4(頂_1)jt+疋=0①
y=x
由£i线和抛物线交于两点,得A=(2i—1)2—4T=-4T+i>0
2k2-I
由韦达定肥得:
斗+七=_殳一山土=1・则线段AB的中点为(
线段的时理分线方外为:
守)令冃叫尸右讣则畤岭°)
v^ABE为正三用形••••E(丄T-丄.0)到力线AB的距离d为2k22
•••|人四=〕(石_丹)2+(才一儿尸=斗¥—J1+Fd=J]]:
曲:
火TiTF=盘了解得&=土亜満足②式此时X(l=-.2L21^|133
■型三:
动弦过定点的问題
例題3、己知椭阴IC:
务+右=1(。
>»>0)的离心率为晅,且在只轴
上的顶点分别为Ai(20).A2(2,0)・
(I)求椭圆的方程二
(II)若直线/:
X=r(r>2)与X轴交于点T,点P为H线/上异于点T的任
点,負线PAl.PA?
分别与椭圖交于M、N点.试何直线MN是杏通过側岡的焦点?
并证明你的结论
fh(I)由己如橢冏c的离心率g=
—.“=2•则得r=J5.b=i•从而梢观的方稈为—+/=i
"W+2)
八叶J>
9r
24
5)设时佔』)•直线人册的猝率为J则立綾人“的方程为y二£(x+2),由
能理得(1+4*12)X2+I6M+I6jt;-4=O•••-2和片是方程的两个根.••一2百="*打:
1+4R;
4k2■脑4k
廿Ey,1•点“的軸'为(77#・rn尹
砂,设瞰A収的桝沁.則待点N的杠为(踪•盏
••・令尸°得—H、'■将点M.N的*标代入,化购后得:
x=-y厂八f
又-t>2..-.0<-<2v*fira的烬点为(V3.0).*.-=>/5.即;=—
II3
故当/=^y时.MN过桶恻的热点.
■型四:
过已知曲枚上定点的孩的冋逼
例聽4□知点A.B.C是桶関E:
4+4=1上的三点.具中点A(2>/3.0)的右顶点.山找BCo-b1
过椭圖的川心0,SC=0,|^c|=2|Xc|.tel号⑴求点C的坐标及楠團E的力涩;(II》若HHSlE上心纟两点
P・Q.便鮒直线PC与直线QC关于fi^.r=V3对空•求直线PQ的斜率.
解:
⑴•••区|=2网,目BC过楠B1的中心O
.-.|oc|=|ac|-.mc5c=o.•-ZAC0二壬又•••A(2J5,0).•.点C的坐杯为b血.
vA(2^0)feffiPU的右顶点,;心=2吳・则柿阴方程为:
£.+21=|
12b
将点CC/5.JJ)代入方程.得於=4.••・桶関E的方理为丄+工-|
124
(II)V直线PC与直线QC关于a^x=V3对称.
・••及£1綾PC的斜率为I対虫伐QC的斜牢为-I从而玖找PC的方程为:
y-V3=^(x-V3)>WJy=U+d(l-R)•宙!
尸&+血If消y•塑理徐x2+3v:
-12=O
(1+32)”+迅(1一&)兀+9“一18;:
-3=0・・・兀=巧是方程的一个根,
_二9£-1弘-39£+1弘一3=-36女1
»九-75(1+3”)J5(i+%‘)V5(i+3i)方则逍线PQ的料率为定值丄。
題塑五:
共找向量问題
例題5.设过点1X0,3)的直线交曲线W—+^-=1于P.Q两点.且OP=/d2,?
R实数/的収值范恥
94
判别式払.韦达定珅浓.配凑法
(449f+54kx+45=()•••P•Q是曲线M上的两点
•・.A=(54火)2-4x45(4+9A:
2)=\44k2-80>0
设卫线1与肠関C交于A、B两点,坐标原点O到XI线1的距离为返,求AAOB面枳的址大值.2
解:
(I)设椭圖的半焦距为c,依题总〕£・申・."=1,.•.所求椭關方枳为—+y2=l.
a*y/x
(II)设AC中y,).B(xry2).(I)当AB丄x轴时.<2)当AB与x轴不垂直时.
设頁线AB的方程为y=k.x+m・由已luJH,f把y“+/«代入#6圆方程•整理得(3k2+l)x2+6曲+3m2-3=0.
综上所述|48」=2・
当\AB\址大时.△AO"面枳取呆大值S='|A〃|zx£=£・
222
题型七:
弦或荻长为定值问题
例趣7.在平面宜角坐标系xOy中.过定点C(0.p)作线与拋物线宀2py(p>0)相交于A.B两点.
(I)若点N是点C关于坐杯原点O的对称点,求厶ANB面枳的披小位:
<11)是古存在垂肖丁y轴的宜线I,便得1被以AC为直径的例截斜张K恒为定值?
若存在.求出1的方程;若不存在.说明理由.
:
.当&=OW,(SA1AV)min=2运円.
(11)假设满足条件的直线1存在,其方祝为y=a・AC的中点为O"与AC为直径的圆相交于点P、Q,PQ的中点为H,则07/丄PQO点、的坐标为(半・^4^)•••少円=勻人「I=£Jx:
+(儿-用=;Jy;+b•少〃|斗一屮=;|2_儿-p[.・.『〃『=|O艸-少〃卜;(y;+小_[(加_y,_沙
在.其方程为y=£,
.・.|PQf=(2|PW|)2=4(a-£)比^a(p-a)
令a-#=0,衍“=£此时\PQ\=P为定伯,故满足条件的貞线I存
即抛物线的通径所在的自线.
餌法2:
(I)前同解法I,再由眩长公式得
\ab\=Vi+^'|a-|-x2|=Ji++x2)3-^x,=Ji+"•JWF+8“,
=2pJl+F・jF+2.
乂由点到贞线的韭离公式得d=-r^—•
Jl+F
从而>S©rn=—d・卜科=—2pjI+L+2・=2/rJ*・+2、
22Jl+F
当R=0时,(SUffV)max=142p2.
(II)假设満足条件的直线l存在,其方程为y=a・则以AC为直轻的圆的方程为
(大一0)(文一J*』一(y—pXy—”)=0•将线方秤y=a代入得
X2一x^x一(a—p)(a一儿)=0.
则A=x;-4(a-“)(4-卄)=4(a
设直线I与以AC为直径的侧的交点为P(x2,y2),Q(x4,y4),則有
令么-#二0・得&二务此时|PQ|二"为定伯.故满足条件的貞线丨存在.其方种为丿二£・
即抛物线的通径所在的fi线.
題塑八:
角度问题
例遗8、(如图⑵)图,"(・2,0)fil3(2,0)是平面上的两点.动点P满足:
|PM|+|/W|=6.(I)求点P的
轨迹方程;(II)若|PM|・|PN|==,求点"的坐标.
I1111-cosZMPN
解:
(I)由椭圆的定义,点P的轨逝是以MV为焦点.长轴长2沪6的楠圖
•(21)ffl
■■
因此半焦距尸2,长半轴沪3,从而短半轴
H岳二7二石所以椭岡的方程为—+^-=1.
5
(11)由|PM11PN卜=——7.得|PM||P/V|cosMPN=|PM11PN|-2.(D
1-cosMPN
因为cosMPN工1.P不为摘阕K轴顶点•故U构成三角形•在△PX中.|AW|=4jll余弦定理彳j
=|PMf+1PNf_211P/V|cosMPN.将①代入②,紂4—|PM|+|PN『一2(|PM||PN|-2).
故点P在以"■"为焦点,实轴K为2力的双曲线—-/=!
上由(I珈点P的坐标又满足和斗"所以
由方程组何+9宀%無斜"土爱
X2+3y2=3.広
>,=±—
即p点坐标为(塑湮)、(迺逅)、(・巫更)或a僅).
22222222
问題九:
四点共銭问题
例题9、设梅闘C:
匚+与=l(a>b>0)过点M(JIl)・睛焦点为^(->/2.0)
ab
(II)十过心P(4,l)的.前BidM不imig竹线汶ABI-1UA0.满斗丽|国卜卩©岡,
讦明:
点Q总*某定血线上解⑴由題意:
C'2=2
少122
—+—=1,侪得上‘=2・所求椭例方程为—+^-=1
(Tb°42
e—7
b
(2)方法一
设点Q、A.B的坐标分别为(心刃,(心)\),(工2,)\)・
从而
又点A.B/t-tffiiaC上,即
X)2+2y?
=4.⑶
(I)+
(2)X2并结合(3人(4)得4$+2y=4
即点QS)总在定立钱2"〉-2=0上
方法二
设白Q(.Y,y),AO),〃(£,”),由題设,|顾两H范面|均不为&
(1)
(2)
又P.A.0”艸点共线•可设M尤迈■两=2应(&工0.±1).于是
4-2x1-Ayf3To,*=TT
4+XxI+Zy
由于4(.vp)J^(x2>y2)AttHC±,将
(1),
(2)分别代入C的方程.?
+2/=4/«?
理得
(x2+2y2-4)a2-4(2x+y-2)A+14=0(3)
(x2+2y‘一4)2,+4(2.r+y-2)2+l4=0(4)
(4)—(3)得&2x+y-2)Z=0
72*0./.2x+y-2=0
閒点Q(仏y)总在定直线2x+y-2=O上
问息十:
苑国问息(本就是褚数问JK)
设片、人分別—+y2=I的左、右焦民
4
(I)若P足该桅列上的-个动点,求PR•P&的址大值和赧小債:
(II)设过定点M(0.2)的fl线f与椭阀交于不同的阿点A、B,HZAOB沟锐角(其中O为坐杯原点),求tl级/的斜率R的取值范用・
解:
(I)解法一:
易知"=2,b=l«=J5所以斤(r/10)•斥(J5.0),设P(.to).则
PF\-PF,=(—75-.t,-yj,(V5-x,-y}-x'+y'-3=a?
+1・}・3=扌(3十-8)因为卜2,2],故^x=0,即点P为椭阴如轴站点时,PF「巫右城小值-2当^=±2,即点P为楠闘长轴缁点时,祈巫冇址大值1
*2-3(以下同解法一)
解法一:
易知4=2上=1・C=J5,所以斥(J,O),&(JIu),设P(d则
+)"+(“-J5)+〉'-12
(II)鼻然自线x=0不満足題设条件,可设II线=(几>・2)"(%儿),
由A=(4il):
-4^+^x3=4jt2-3>0^:
k>■-
X0°cosZA0a>0<=>CMd5>0/.CM•面二片占+为兀
q—it2+I
—+-~>0.即R?
<4•••-2<点<2
+-F+丄
44
执由①、②W#或纠
问■十一、存在性问乩(存在点.存在宜践y=kx^mF存在实航存在附形:
三角形(务比、宜角儿四垃形(矩形、菱形、正方形人■)
T叶I3过M(2,V2).N(@艸点5地标原点,
(I)求椭BSE的方程$
(ID足否存介恻心作原点的使得该闖的任懸一条切线与椭闘E恒有対个交点AbllO/i丄0用?
若存介,写出该
(2)假设存A肉心仆原点的虬使冯该刿的任慰一条切线与椭恻E恒和旳个交点AbII鬲丄丽股该阅的切线
则厶=l6^27n2-4(I+2jt2)(2wr-8)=8(弘,一〃/+4)>U•即8疋-龙+4>0
4bn
斗7=—:
〜八八wf、门fy.>k^(2nr-8)42/rT2"i—S”时
I+2A*»v(r,=(tr(+wXfcv2+m)=kxtx:
+km^+x,)+nr=—r+m=娶
1+2A1+2k\+2k
1+2A
使OA丄OB,需使x(x2+y,y2=0.8卩———+———竺一=U,所以3m*-8A2-8=0以R‘=,“2U又
l+2*・1+2L8
肿*+4>U•所以<
2/7
関的条切线•所以関的才径为厂
T7k
釜八半所求的関为宀宀・此
8
时Ml的7J线)•=虹+加都涡足加2也或加S-还
匚+21=丨的两个交点为
84
3,而当切线鯛率不存砂切线为“±学与肿
满足04丄OB,综上.存“関心*总点的Ml
4—8―.—.
L+/=-.使紂该関的仟意一条切线与橢閲E恒冇期个交点A.B.ROA丄OB・
4hnX+.T,=
因为
'l+2k
2w2-8"产GF
\+2k
所以也F—y+e—d★捋)一严J-呼jl)
1+2*
IAB匕{(^!
_七)'+(为_儿)'=>/(1")(斗十尸打+;:
年心
_(324F+5F7T/32k1
-vT4F+4F+1"vT+4^4+4/l2+r
①当*二0时IABMI—[1+——
\4"+丄+4
7272
因为4〃寺厶+428所以0<:
—M二所以二<二|1+:
—1^12,
*4/+丄+48334疋+丄+4
k1k2
所W-^/6/3'*iIIiZ'*U=土返时取”
32
③当AB的斜净不存4时•购个交山为(还、土还)或(一还,土已3)・所以此时lABk也
33333
综上.AB的取值范憎为’&PA3IS2、厅即:
IA8lw|’、/&・2jS]
1〕