高中数学学年最新北师大版数学必修四教学案第一章9三角函数的简单应用.docx
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高中数学学年最新北师大版数学必修四教学案第一章9三角函数的简单应用
讲一讲
1.某海滨浴场的海浪高度y(单位:
m)是时间t(0≤t≤24,单位:
h)的函数,下表是测得的某日各时的浪高数据:
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测,函数y=f(t)的图像可以近似地看成函数y=Acos(ωt+φ)+b(A>0,ω>0)的图像.
(1)根据上表数据,求y=Acos(ωt+φ)+b的解析式;
(2)依据规定,当海浪高度高于1m时才对冲浪者开放,请依据
(1)的结论,判断一天内从上午到晚上(8:
00~20:
00),开放冲浪场所的具体时间段,有多长时间可供冲浪者进行活动?
[尝试解答]
(1)由表中的数据,知最小正周期T=12小时,ω==,φ=0,
故函数解析式为y=Acost+b.由t=0时,y=1.5得A+b=1.5,
由t=3时,y=1.0得b=1,∴A=0.5,
故函数解析式为y=0.5cost+1.
(2)由题意可知,当y>1时才对冲浪者开放,
即0.5cost+1>1,cost>0,
则2kπ-即12k-3又∵8≤t≤20,∴k=1,∴9故在规定时间从上午8:
00到晚上20:
00,有6个小时的时间可供冲浪者进行活动,开放冲浪场所的具体时间段为上午9:
00到下午15:
00.
根据给出的函数模型,利用表中的数据,找出变化规律,运用已学的知识与三角函数的知识,求出函数解析式中的参数,将实际问题转化三角方程或三角不等式,然后解方程或不等式,可使问题得以解决.
练一练
1.在一个港口,相邻两次高潮发生时间相距12h,低潮时水的深度为8.4m,高潮时为16m,一次高潮发生在10月10日4:
00.每天涨潮落潮时,水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d=Asin(ωt+φ)+h(A>0,ω>0).
(1)若从10月10日0:
00开始计算时间,选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系;
(2)10月10日17:
00该港口水深约为多少?
(保留一位小数)
(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3m?
解:
(1)依题意知T==12,
故ω=,h==12.2,
A=16-12.2=3.8,
所以d=3.8sin(t+φ)+12.2;
又因为t=4时,d=16,所以sin(+φ)=1,
所以φ=-,所以d=3.8sin(t-)+12.2.
(2)t=17时,d=3.8sin(-)+12.2
=3.8sin+12.2≈15.5(m).
(3)令3.8sin(t-)+12.2<10.3,
有sin(t-)<-,
因此2kπ+<t-<2kπ+(k∈Z),
所以2kπ+<t<2kπ+2π,k∈Z,
所以12k+8<t<12k+12.
令k=0,得t∈(8,12);令k=1,得t∈(20,24).
故这一天共有8小时水深低于10.3m.
讲一讲
2.如图所示的为一个观览车示意图,该观览车的半径为4.8m,圆上最低点与地面的距离为0.8m,60s转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动θ角到OB,设B点与地面的距离为h.
(1)求h与θ之间的函数关系式;
(2)设从OA开始转动,经过t秒到达OB,求h与t之间的函数关系式;
(3)求缆车首次到达最高点所用的时间.
[尝试解答]
(1)以圆心O为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
则以Ox为始边,OB为终边的角为θ-,
故点B的坐标为
(4.8cos(θ-),4.8sin(θ-)),
∴h=5.6+4.8sin(θ-)=5.6-4.8cosθ(θ≥0).
(2)点A在圆上转动的角速度是rad/s,
故t秒转过的弧度数为t,
∴h=5.6-4.8cos,t∈[0,+∞).
(3)到达最高点时,h=10.4m.
由cost=-1,得×t=π,∴t=30.
∴缆车首次到达最高点所用的时间为30s.
解答三角函数应用题的一般步骤:
练一练
2.如图,一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行,已知圆环的半径为m,
圆环的圆心距离地面的高度为1m,蚂蚁每分钟爬行一圈,若蚂蚁的起始位置在最低点P0处.
(1)试确定在时刻t(单位:
s)时蚂蚁距离地面的高度h(单位:
m);
(2)在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内,有多长时间蚂蚁距离地面超过m?
解:
(1)以圆心O为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,设ts时蚂蚁到达点P,则蚂蚁转过的角的弧度数为t=t,
于是点P的纵坐标y=sin(t-)=-cost.
∴h=1+y=1-cost(t≥0).
(2)由1-cost>得cost<,
又由0≤t≤60,得0≤t≤2π,
∴所以一圈内有40s的时间蚂蚁距离地面超过m.
下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)
日期
1月
1日
2月
28日
3月
21日
4月
27日
5月
6日
6月
21日
8月
13日
9月
20日
10月
25日
12月
21日
日期
位置
序号x
1
59
80
117
126
172
225
263
298
355
白昼
时间
y(小时)
5.6
10.2
12.4
16.4
17.3
19.4
16.4
12.4
8.5
5.4
(1)以日期在365天中的位置序号x为横坐标,白昼时间y为纵坐标,画出这些数据的散点图;
(2)试选用一个函数来近似描述一年中白昼时间y与日期位置序号x之间的函数关系;(注:
一年按365天计算)
(3)用
(2)中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时.
[巧思] 解答本题的关键是根据表中数据准确画出散点图,再根据散点图的特征确定函数模型,并求出其解析式,进而可解答问题(3).
[妙解]
(1)如图所示
(2)由散点图知白昼时间与日期序号之间的函数关系近似为y=Asin(ωx+φ)+t,
由图形知函数的最大值为19.4,最小值为5.4,
即ymax=19.4,ymin=5.4,
由19.4-5.4=14,得A=7;
由19.4+5.4=24.8,得t=12.4;
又T=365,∴ω=.
当x=172时,x+φ=,
∴φ=-.
∴y=7sin+12.4(1≤x≤365,x∈N+).
(3)由y>15.9,得sin>,
∴+∴112≤x≤232.
∴该地大约有121天白昼时间大于15.9小时.
1.将单摆的摆球拉至平衡位置左侧无初速释放,并同时开始计时,取平衡位置为坐标原点,且向右为正,则下列振动图像中正确的是( )
解析:
选D 依题意t=0时,位移y最小.
2.某人的血压满足函数关系式f(t)=24sin160πt+110,其中f(t)为血压,t为时间,则此人每分钟心跳的次数为( )
A.60 B.70
C.80D.90
解析:
选C T==,∴f==80.
3.如图,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P0(,-),角速度为1,那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图像大致为( )
解析:
选C 根据点P的坐标可得∠xOP0=,故∠xOP=t-,设P(x,y),则由三角函数的定义,可得sin∠xOP=,即sin(t-)=⇒y=2sin(t-),因此点P到x轴的距离d=|y|=2|sin(t-)|,根据解析式可得C选项图像符合条件.
4.如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离scm和时间ts的函数关系式为s=6sin,那么单摆来回摆动一次所需的时间为________.
解析:
T==1.
答案:
1
5.一个物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的对应值如表所示:
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
y
-4.0
-2.8
0.0
2.8
4.0
2.8
0.0
-2.8
-4.0
则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间关系的一个三角函数为________.
解析:
由表中数据可设函数解析式为:
y=Asin(ωt+φ)(A>0),则A=4,T=0.8,ω===,将(0,-4)代入函数解析式中,有sinφ=-1,得到φ=-,故函数解析式为y=4sin=-4cost.
答案:
y=-4cost
6.如果某地夏天从8~14时用电量变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b.如图所示.
(1)求这一天的最大用电量及最小用电量;
(2)写出这段曲线的函数解析式.
解:
(1)最大用电量为50万度,最小用电量为30万度.
(2)观察题图可知,从8~14时的图像是y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图像,
∴A=×(50-30)=10,b=×(50+30)=40.
∵×=14-8,∴ω=.
∴y=10sin+40.
将x=8,y=30代入上式,解得φ=,
∴所求解析式为y=10sin+40,x∈[8,14].
一、选择题
1.为了使函数y=sinωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值,则ω的最小值是( )
A.98π B.π
C.πD.100π
解析:
选B 由49T≤1,得T≤,即≤,ω≥π.
2.如图为一半径为3m的水轮,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮每分钟旋转4圈,水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y=Asin(ωx+φ)+2,则有( )
A.ω=,A=3B.ω=,A=3
C.ω=,A=5D.ω=,A=5
解析:
选A 依题意A=3,且水轮每15s转一圈,故周期T=15,ω==.
3.一简谐运动的图像如图,则下列判断正确的是( )
A.该质点的振动周期为0.7s
B.该质点的振幅为5cm
C.该质点在0.1s和0.5s时速度最大
D.该质点在0.3s和0.7s时加速度最大
解析:
选B 周期为2×(0.7-0.3)=0.8s,故A错;
由题中图像可知,振幅为5cm,故B正确;
在最高点时,速度为零,加速度最大,故C,D错.
4.下表是某城市2011年月平均气温(单位:
°F).
月份
1
2
3
4
5
6
平均气温
21.4
26.0
36.0
48.8
59.1
68.6
月份
7
8
9
10
11
12
平均气温
73.1
71.9
64.7
53.5
39.8
27.7
若用x表示月份,y表示平均气温,则下面四个函数模型中最合适的是( )
A.y=26cosxB.y=26cos+46
C.y=-26cos+46D.y=26cosx+46
解析:
选C 由数据得到,从1月到7月是上升的趋势,只有C满足要求.
二、填空题
5.一根长lcm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s=3cos(t+),其中g是重力加速度,当小球摆动的周期是1s时,线长l等于____