高考总复习教师用书第5章第1讲平面向量的概念及线性运算.docx

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高考总复习教师用书第5章第1讲平面向量的概念及线性运算

第1讲　平面向量的概念及线性运算

最新考纲　1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

知识梳理

1.向量的有关概念

名称

定义

备注

向量

既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或称模）

平面向量是自由向量

零向量

长度为零的向量；其方向是任意的

记作0

单位向量

长度等于1个单位的向量

非零向量a的单位向量为±

平行向量

方向相同或相反的非零向量

0与任一向量平行或共线

共线向量

方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量

相等向量

长度相等且方向相同的向量

两向量只有相等或不等，不能比较大小

相反向量

长度相等且方向相反的向量

0的相反向量为0

2.向量的线性运算

向量运算

定　义

法则（或几何意义）

运算律

加法

求两个向量和的运算

（1）交换律：

a＋b＝b＋a.

（2）结合律：

（a＋b）＋c＝

a＋（b＋c）

减法

求a与b的相反向量

－b的和的

运算叫做

a与b的差

a－b＝a＋（－b）

数乘

求实数λ与向量a的积的运算

（1）|λa|＝|λ||a|；

（2）当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0

λ（μa）＝λμa；

（λ＋μ）a＝λa＋μa；

λ（a＋b）＝λa＋λb

3.共线向量定理

向量a（a≠0）与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.诊断自测

1.判断正误（在括号内打“√”或“×”）

（1）零向量与任意向量平行.（　　）

（2）若a∥b，b∥c，则a∥c.（　　）

（3）向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.（　　）

（4）当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.（　　）

（5）在△ABC中，D是BC中点，则＝（＋）.（　　）

解析　

（2）若b＝0，则a与c不一定平行.

（3）共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上.

答案　

（1）√　

（2）×　（3）×　（4）√　（5）√

2.给出下列命题：

①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与相等.则所有正确命题的序号是（　　）

A.①B.③C.①③D.①②

解析　根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量与互为相反向量，故③错误.

答案　A

3.（2017·枣庄模拟）设D为△ABC所在平面内一点，＝－＋，若＝λ（λ∈R），则λ＝（　　）

A.2B.3C.－2D.－3

解析　由＝－＋，可得3＝－＋4，即4－4＝－，则4＝，即＝－4，可得＋＝－3，故＝－3，则λ＝－3，故选D.

答案　D

4.（2015·全国Ⅱ卷）设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.

解析　∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ（a＋2b）成

立，即λa＋b＝μa＋2μb，则得解得λ＝μ＝.

答案　

5.（必修4P92A12改编）已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，则＝______，＝________（用a，b表示）.

解析　如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b.

答案　b－a　－a－b

6.（2017·嘉兴七校联考）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2（λ1，λ2为实数），则λ1＝________，λ2＝________.

解析　如图所示，＝－＝－＝（－）＋＝－＋.又＝λ1＋λ2，且与不共线，所以λ1＝－，λ2＝.

答案　－　

考点一　平面向量的概念

【例1】下列命题中，不正确的是________（填序号）.

①若|a|＝|b|，则a＝b；

②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；

③若a＝b，b＝c，则a＝c.

解析　①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.

②正确.∵＝，∴||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则||＝||，

∥且，方向相同，因此＝.

③正确.∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.

答案　①

规律方法　

（1）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

（2）共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.

（3）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.

（4）非零向量a与的关系：

是与a同方向的单位向量.

【训练1】下列命题中，正确的是________（填序号）.

①有向线段就是向量，向量就是有向线段；

②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；

③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.

解析　①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；

②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；

③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小.

答案　③

考点二　平面向量的线性运算

【例2】

（1）（2017·潍坊模拟）在△ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，且AP＝AB，BQ＝BC.若＝a，＝b，则＝（　　）

A.a＋bB.－a＋b

C.a－bD.－a－b

（2）（2015·北京卷）在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________.

解析　

（1）＝＋＝＋＝＋

（－）＝＋＝a＋b，故选A.

（2）由题中条件得，＝＋＝＋＝＋（－）＝－＝x＋y，所以x＝，y＝－.

答案　

（1）A　

（2）　－

规律方法　

（1）解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.

（2）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：

①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.

【训练2】

（1）如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个靠近B点的三等分点，那么等于（　　）

A.－B.＋

C.＋D.－

（2）在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于（　　）

A.1B.C.D.

解析　

（1）在△CEF中，有＝＋.

因为点E为DC的中点，所以＝.

因为点F为BC的一个靠近B点的三等分点，

所以＝.

所以＝＋＝＋

＝－，故选D.

（2）∵＝＋＝＋，

∴2＝＋，即＝＋.

故λ＋μ＝＋＝.

答案　

（1）D　

（2）D

考点三　共线向量定理及其应用

【例3】设两个非零向量a与b不共线.

（1）若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b）.求证：

A，B，D三点共线；

（2）试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.

（1）证明　∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b）.

∴＝＋＝2a＋8b＋3（a－b）＝2a＋8b＋3a－3b＝5（a＋b）＝5.

∴，共线，又它们有公共点B，

∴A，B，D三点共线.

（2）解　∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，

使ka＋b＝λ（a＋kb），即ka＋b＝λa＋λkb，

∴（k－λ）a＝（λk－1）b.

∵a，b是不共线的两个非零向量，

∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.

规律方法　

（1）证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.

（2）向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立.

【训练3】

（1）已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，则（　　）

A.A，B，C三点共线B.A，B，D三点共线

C.A，C，D三点共线D.B，C，D三点共线

（2）已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2＋x＋＝0成立的实数x的取值集合为（　　）

A.{0}B.∅C.{－1}D.{0，－1}

解析　

（1）∵＝＋＝2a＋6b＝2（a＋3b）＝2，

∴、共线，又有公共点B，

∴A，B，D三点共线.故选B.

（2）因为＝－，所以x2＋x＋－＝0，即＝－x2－（x－1），因为A，B，C三点共线，

所以－x2－（x－1）＝1，即x2＋x＝0，解得x＝0或x＝－1.

答案　

（1）B　

（2）D

[思想方法]

1.向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则.向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”.

2.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.

3.对于三点共线有以下结论：

对于平面上的任一点O，，不共线，满足＝x＋y（x，y∈R），则P，A，B共线⇔x＋y＝1.

[易错防范]

1.解决向量的概念问题要注意两点：

一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.

2.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.

基础巩固题组

（建议用时：

30分钟）

一、选择题

1.已知下列各式：

①＋＋；②＋＋＋；③＋＋＋；④－＋－，其中结果为零向量的个数为（　　）

A.1B.2C.3D.4

解析　由题知结果为零向量的是①④，故选B.

答案　B

2.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（　　）

A.a与λa的方向相反B.a与λ2a的方向相同

C.|－λa|≥|a|D.|－λa|≥|λ|·a

解析　对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小.

答案　B

3.如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝（　　）

A.0B.

C.D.

解析　由题干图知＋＋＝＋＋＝＋＝.

答案　D

4.设a0为单位向量，下述命题中：

①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是（　　）

A.0B.1C.2D.3

解析　向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：

一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是3.

答案　D

5.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于（　　）

A.B.2C.3D.4