广州二模Word版 广东省广州市届高三毕业班综合测试二数学文试题 Word版含答案.docx
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广州二模Word版广东省广州市届高三毕业班综合测试二数学文试题Word版含答案
试卷类型：
A
2015年广州市普通高中毕业班综合测试
（二）
数学（文科）
2015.4
参考公式：
锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．
台体的体积公式，其中，分别是台体的上，下底面积，是台体的高．
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．的值为
A．B．C．D．
2．已知函数的反函数为，则
A．B．C．D．
3．已知双曲线：
经过点，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
4．执行如图1所示的程序框图，则输出的的值是
A．B．C．D．
5．已知命题：
，，命题：
，使，则下列命
题为真命题的是
A．B．C．D．
6．设集合，，若，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
7．已知数列满足，且，则数列的通项公式为
A．B．C．D．
8．已知函数，若在区间上任取一个实数，则使成立的概率为
A．B．C．D．
9．如图2，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，
有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是
A．B．
C．D．
10．设函数有两个极值点，且，，则点在
平面上所构成区域的面积为
A．B．C．D．
二、填空题：
本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题（11～13题）
11．已知为虚数单位，复数，则．
12．已知向量，，若，则．
13．某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离与刹车时的速度的关系可以用来描述，已知这种型号的汽车在速度为60时，紧急刹车后滑行的距离为．一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为，则这辆车的行驶速度为．
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14．（几何证明选讲选做题）
如图3，在平行四边形中，，点为边的中点，
与的延长线交于点，且平分，作，
垂足为，若，则的长为．
15．（坐标系与参数方程选做题）
在在平面直角坐标系中，已知曲线和的方程分别为（为参数）和（为参数），则曲线和的交点有个．
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知△的三边，，所对的角分别为，，，且．
（1）求的值；
（2）若△外接圆的半径为14，求△的面积．
17．（本小题满分12分）
某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了100份，统计结果如下面的图表所示．
年龄
分组
抽取份数
答对全卷
的人数
答对全卷的人数
占本组的概率
[20,30）
40
28
0.7
[30,40）
27
0.9
[40,50）
10
4
[50,60]
20
0.1
（1）分别求出，，，的值；
（2）从年龄在答对全卷的人中随机抽取2人授予“环保之星”，求年龄在的人中至少有1人被授予“环保之星”的概率．
18．（本小题满分14分）
如图4，已知正方体的棱长为3，，分别是
棱，上的点，且．
（1）证明：
，，，四点共面；
（2）平面将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比．
图4
19．（本小题满分14分）
已知点在直线：
上，是直线与轴的交点，数列是公差为1的等差数列．
（1）求数列，的通项公式；
（2）若是否存在，使成立？
若存在，求出所有符合条件的值；若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分14分）
已知函数．
（1）若函数在处的切线平行于轴，求实数的值，并求此时函数的极值；
（2）求函数的单调区间．
21．（本小题满分14分）
已知圆心在轴上的圆过点和，圆的方程为．
（1）求圆的方程；
（2）由圆上的动点向圆作两条切线分别交轴于，两点，求的取值范围．
2015年广州市普通高中毕业班综合测试
（二）
数学（文科）试题参考答案及评分标准
说明：
1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：
本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题，满分50分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
C
B
C
A
D
B
B
D
二、填空题：
本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．
题号
11
12
13
14
15
答案
16．（本小题满分12分）
解：
（1）因为，
所以可设，，，………………………………2分
由余弦定理得，
…………………………………………3分
．…………………………………………………………………4分
（2）由
（1）知，，
因为是△的内角，所以．……………………6分
由正弦定理，…………………………………7分
得．…………………………………………8分
由
（1）设，即，
所以，．…………………………………………………10分
所以………………………………11分
．
所以△的面积为．………………………………………12分
17．（本小题满分12分）
解：
（1）因为抽取总问卷为100份，所以．………………………………1分
年龄在中，抽取份数为10份，答对全卷人数为4人，所以．……………2分
年龄在中，抽取份数为20份，答对全卷的人数占本组的概率为，
所以，解得．………………………………………………3分
根据频率直方分布图，得，
解得．………………………………………………………………………4分
（2）因为年龄在与中答对全卷的人数分别为4人与2人．
年龄在中答对全卷的4人记为，，，，年龄在中答对全卷的2人记为，，则从这6人中随机抽取2人授予“环保之星”奖的所有可能的情况是：
，，，，，，，，，，，，，，共15种．……………………8分
其中所抽取年龄在的人中至少有1人被授予“环保之星”的情况是：
，，，，，，，，共9种.………………11分
故所求的概率为.……………………………………………………12分
18．（本小题满分14分）
（1）证明：
连接，
在四边形中，且，
所以四边形是平行四边形．
所以．…………………………………………2分
在△中，，，
所以，
所以．……………………………………………………………………4分
所以．
所以，，，四点共面．……………………………………………………6分
（2）解法一：
记平面将正方体分成两部分的下部分体积为，上部分体积为，
连接，，，
则几何体，，均为三棱锥，
所以
………9分
．…………………………………………………………………………11分
从而，…………………………13分
所以．
所以平面分此正方体的两部分体积的比为．……………………………14分
解法二：
记平面将正方体分成两部分的下部分体积为，上部分体积为，
因为平面平面，所以平面平面．
延长与相交于点，
因为，
所以，即，解得．
延长与相交于点，同理可得．
所以点与点重合．
所以，，三线相交于一点．
所以几何体是一个三棱台．…………………………………………9分
所以，…………………………11分
从而，…………………………………13分
所以．
所以平面分此正方体的两部分体积的比为．…………………………14分
19．（本小题满分14分）
解：
（1）因为是直线：
与轴的交点，
所以，．………………………………………………………2分
因为数列是公差为1的等差数列，
所以．………………………………………………………………………4分
因为点在直线：
上，
所以．
所以数列，的通项公式分别为，．………………………6分
（2）因为
假设存在，使成立．………………………………………7分
①当为奇数时，为偶数，
则有，
解得，符合题意．………………………………………………………10分
②当为偶数时，为奇数，
则有，
解得，不合题意．……………………………………………………………13分
综上可知，存在符合条件．…………………………………………………14分
20．（本小题满分14分）
解：
（1）函数的定义域为，…………………………………………………1分
因为，
所以，………………………………………2分
依题意有，即，解得．………………………3分
此时，
所以当时，，当时，，
所以函数在上是增函数，在上是减函数，………………………5分
所以当时，函数取得极大值，极大值为0．………………………………6分
（2）因为，
（ⅰ）当时，…………………………………………………………………7分
因为，所以，
此时函数在是增函数．…………………………………………9分
（ⅱ）当时，令，则．
因为，
此时，
其中，．
因为，所以，又因为，所以．…………………11分
所以当时，，当时，，
所以函数在上是增函数，在上是减函数．…………………13分
综上可知，当时，函数的单调递增区间是；当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是．……14分
21．（本小题满分14分）
解：
（1）方法一：
设圆的方程为：
，………………………1分
因为圆过点和，
所以……………………………………………………………3分
解得，．
所以圆的方程为．…………………………………4分
方法二：
设，，
依题意得，圆的圆心为线段的垂直平分线与轴的交点．………………………………1分
因为直线的方程为，即，……………………………………2分
所以圆心的坐标为．……………………………………3分
所以圆的方程为．……………………………………………4分
（2）方法一：
设圆上的动点的坐标为，
则，
即，
解得．………………………………………………5分
由圆与圆的方程可知，过点向圆所作两条切线的斜率必存在，
设的方程为：
，的方程为：
，
则点的坐标为，点的坐标为，
所以，
因为，是圆的切线，所以，满足，
即，是方程的两根，………………………………7分
即
所以…………………………9分
因为，
所以．…………………………………………10分
设，
则．………………………………………11分
由，可知在上是增函数，在上是减函数，……………………12分
所以，
，
所以的取值范围为．…………………………………………14分
方法二：
设圆上的动点的坐标为，
则，
即，
解得．………………………………………………………………………5分
设点，，
则直线：
，即，
因为直线与圆相切，所以，
化简得．①
同理得，②
由①②知，为方程的两根，…………………………………………7分
即
所以
．…………………………
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