有限元分析综合.docx
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有限元分析综合
有限元复习宝典
重点掌握一般问题描述、模型简化、有限元基本思想及分析原理、位移法求解基本过程、位移函数构造、单元特性、有限元计算具体操作（单元刚阵形成、总纲阵组装）、边界条件处理（载荷等效/边界约束施加）、有限元分析具体操作
一.基本概念
1.平面应力/平面应变问题；空间问题/轴对称问题；板壳问题；杆梁问题;温度场；线性问题/非线性问题（材料非线性/几何非线性）等
平面应力问题
（1）均匀薄板
（2）载荷平行于板面且沿厚度方向均匀分布
在六个应力分量中，只需要研究剩下平行于XOY平面三个应力分量，即
b\-、by、rA>.=ryx（b：
=0,^=rxz=o,S=r>7=0）°
一般空=°,并不一定等于零，但可由及求得，在分析问题时不必考虑。
于是只需要考虑①、①、&三个应变分量即可。
平面应变问题
（1）纵向很长，且横截面沿纵向不变。
（2）载荷平行于横截面且沿纵向均匀分布只剩下三个应变分量％叭、£也只需要考虑6、勺、三个应力分量即可
轴对称问题
物体儿何形状、约束情况及所受外力都对称于空间某一根轴
轴对称单元特点（及平面三角形单元区别）：
轴对称单元为圆环体，单元及单元间为节
圆相连接；节点力及节点载荷是施加于节圆上均布力；单元边界是一回转面；
板壳问题
一个方向尺寸比另外两个方向尺寸小很多，且能承受弯矩结构称为板壳结构，并把平分板壳结构上下表面面称为中面。
如果中面是平面或平面组成折平面，则称为平板；反之,中面为曲面称为壳。
杆梁问题
杆梁结构是指长度远大于其横断面尺寸构件组成系统。
在结构力学中常将承受轴力或扭矩杆件成为杆，而将承受横向力和弯矩杆件称为梁。
线性问题/非线性问题
线性问题：
基于小变形假设他，应力及应变，应力及位移，平衡方程都是线性。
非线性问题：
材料非线性（非线性弹性、非线性弹塑性），儿何非线性（大变形大应变如金属橡胶，小应变大位移如薄壁结构）
空间问题、温度场问题，略
2.
不同类型单元节点自由度理解和不同单元连接处理
如果两相邻单元在连接处节点重合且节点自由度相同，可直接连接，则此时不同单元刚度
矩阵可类似单一单元分析一样直接组集。
如果两相邻单元在连接处节点不重合、或节点自由度不同则要特别处理，处理基本条件是保证相邻单元连接节点自由度相容，相邻单元在连接交界面上位移协调。
（1）节点不重合单元连接（单元类型相同节点不重合）略。
（2）节点自由度不同连接（单元类型不同）
杆-梁连接将杆单元节点自由度扩展，或引入特殊单元
梁-平面单元连接人为将梁单元延伸一段或人为建立平面单元上s、m处位移及梁单元A节点位移约束关系
3.有限元法基本思想（二次近似）及有限元分析基本步骤（5步）
有限元法基本思想：
先将求解域离散为有限个单元，单元及单元只在节点相互连接一一即原始连续求解域用有限个单元集合近似代替（第一次近似）；
对每个单元选择一个简单场函数近似表示真实场函数在其上分布规律，该简单函数可由单元节点上物理量來表示一一通常称为插值函数或位移函数（第二近似）；
基于问题基本方程，建立单元节点平衡方程（即单元刚度方程）；
借助于矩阵表示，把所有单元刚度方程组合成整体刚度方程，这是一组以节点物理量为未知量线形方程组，引入边界条件求解该方程组。
有限元分析基本步骤：
数学建模（问题分析），结构离散（第一次近似），单元分析（位移函数，单刚方程）（第二次近似），整体分析及求解（总刚方程，引入约束，解方程组求节点位移，根据节点位移求应力），结果分析及后处理。
4.里兹法基本思想及及有限元法区别
里兹法基本思想：
先根据描述问题微分方程和相应定解条件构造等价泛函变分形式，然后在整个求解区域上假设一个试探函数（或近似函数），通过求解泛函极值来获得原问题近似解。
及有限元法区别：
里兹法是整体场函数用近似函数代替，有限元法是离散求解域，分片连续函数来近似整体未知场函数。
5.有限元法基本定义（节点、单元、节点力、节点载荷）
・单元：
即原始结构离散后，满足一定儿何特性和物理特性最小结构域
•节点：
单元及单元间连接点。
・节点力：
单元及单元间通过节点相互作用力
•节点载荷：
作用于节点上外载（等效）。
6.位移函数构造方法及基本条件
构造方法：
（1）广义坐标法，按照帕斯卡三角形选择多项式，项数多少由单元自由度数决定。
（2）插值函数法，表示为形函数和节点位移乘积表示。
基本条件：
（1）位移函数在单元节点值应等于节点位移（即单元内部是连续）；
（2）所选位移函数必须保证有限元解收敛于真实解。
7.位移函数收敛性条件（协调元、非协调元）及单元协调性判断
位移函数收敛性条件
（1）位移函数应包含刚体位移
（2）位移函数应包含常量应变（反映单元常应变状态）
（3）位移函数在单元内连续，在单元之间边界上要协调
满足1和2称为完备单元，满足1,2,3称为协调单元。
单元协调性判断
以3节点三角形单元为例，位移分量在每个单元中都是坐标线性函数话，在公共边界
上也会是线性变化，那么相邻单元在公共边界上任意一点都具有相同位移，也就是协调单
8.有限元解性质
有限元解具有下限性质，即有限元解小于实际精确解。
这是因为实际结构本来是具有无限自由度，当用有限元求解时，结构被离散为有限个单元集合后，便只有有限个自由度To由无限自由度变为有限自由度可以认为是对真实位移函数增加了约束，限制了结构变形能力，从而导致结构刚度增大、计算位移减小。
9.弹性力学几个基本概念（位移、应力、应变等）
位移，变形后位置；应变，变形程度；应力，受力状态。
10•弹性力学基本方程（平衡方程、几何方程、物理方程）（注意基本假设/及非线性对比）,
弹性力学基本方程求解方法
基本假设：
物质是连续，均匀，完全弹性，各向同性，小变形
平衡方程:
亠単+9—0
ca
dxcydz
dydxdz
6b.6r丁A
—++Z=0
dzdydx
xyyxxz
d\v
du
ex
dz
dw-=a?
儿何方程:
du
6=—Adx
dudv
=1
dvdx
物理方程:
b}=[D]{c}
11•虚功原理、最小势能原理及变分法（里兹法）
虚功原理：
在力作用下处于平衡状态体系，当发生及约束条件相符合任意微小虚刚体位移时，体系上所有主动力在虚位移上所作总功（各力所作功代数和）恒等于零。
最小势能原理：
表明在满足位移边界条件所有可能位移中，实际发生位移使弹性体势能最小。
12.形函数特性
1）形函数Ni为x、y坐标函数，及位移函数有相同阶次。
2）形函数Ni在i节点处值等于1,而在其他节点上值为0。
3）单元内任一点形函数之和恒等于1。
4）形函数值在0-1间变化。
13.单元刚度矩阵性质及元素物理意义
单元刚度矩阵性质：
（1）对称性
（2）奇异性，K|二0（3）主对角线元素恒为正值（4）奇偶行元素之和分别为零（各行或各列元素之和为零）
物理意义：
单元刚阵［K］物理意义是单元受节点力作用后抗变形能力。
其中分块矩阵［KJ物理意义为：
当在j节点处产生单位位移而其他节点位移为零时，在i节点上需要作用力大小。
其中元素Ki,表示在第j号自由度上产生单位位移时，其他自由度位移为零时，在i号自由度上所需要施加力大小。
单元刚度矩阵元素表示该单元各节点沿坐标方向发生单位位移时引起节点力，它决定于该单元形状、大小、方位和弹性常数，而及单元位置无关，即不随单元或坐标轴平行移动而改变。
14.常用单元特性（如单元内部边界位移/应变/应力分布，相邻单元边界协调性分析）（常
应变单元三角形/四面体；矩形单元；等参四边形单元；矩形板单元）
三节点三角形单元位移函数为线性函数，则单元应变分量均为常量，故这类三角形单元称为常应变单元，位移在单元内和边界上为线性变化，在相邻单元边界处为连续。
常应变三角形单元应变矩阵［B］为常量矩阵，说明在该单元上应力和应变为常值，在相邻单元边界处，应变及应力不连续，有突变。
矩形单元：
4节点8自由度矩形单元。
位移函数
（U=ar-\-a2xa2yxy
tv=asa6xa7ya8xy
满足收敛性条件，单元为协调单元。
应变矩阵［B］是x,y函数，应力也是随x,y线性变化，应力和应变在相邻单元边界处为连续。
15.等参单元定义、存在条件及特性
等参单元定义：
即以规则形状单元（如正四边形、正六面体单元等）位移函数相同阶次函数为单元儿何边界变换函数，进行坐标变换所获得单元。
由于单元儿何边界变换式及规则单元位移函数有相同节点参数，故称由此获得单元为等参单元。
存在充要条件：
JIHO
附，为了保证能进行等参变换（即总体坐标及局部坐标一一对应），通常要求总体坐标系下单元为凸，即不能有内角大于或等于或接近180度情况。
特性：
等参单元为协调元，满足有限元解收敛充要条件。
等参单元优点是当单元边界呈二次以上曲线时，容易用很少单元去逼近曲线边界。
16.边界条件处理（载荷等效移置集中力/均布力/线性分布力边界位移约束处理固定/
指定位移等）
载荷等效移置
连续弹性体离散为单元组合体时，为简化受力情况，需把弹性体承受任意分布载荷都向节点移置（分解），而成为节点载荷。
载荷移置原则：
能量等效（或静力等效原则），即单元实际载荷及移置后节点载荷在相应虚位移上所做虚功相等。
集中力，移置到两端节点，使得AU=F：
L2.几+F尸F
均布力,移置到两端节点，Fx=F2=0.5qL
线性分布力,Fi=l/30.5qL,F2=2/30.5qL
边界位移约束
1.绝对位移约束
刚性支座（活动較支，固定較支，固接支座）——固定位移
弹性支座（线弹性制作，非线性支座）一一可变位移
强迫约束一一指定位移用载荷等效，装配应力+整体应力
2.相对位移约束（如两接触面）
1.约束等式
2.耦合约束（连接重合节点，模拟滑动边界连接，施加周期对称边界条件）
常见位移约束问题处理
约束不足处理
（1）利用对称性引进约束（取1/n后，在对称面上施加位移约束）
（2）转换载荷为位移约束（受平衡载荷作用，将一部分载荷用位移约束代替）
（3）人为增加约束（约束点应尽量远离重要部位，约束点变形要相对小）
其他，杆离散为多个杆单元时，须在连接节点增加约束，只允许产生轴向位移。
轴对称结构，施加轴向约束。
过约束处理
有时需要施加过约束，有时需要释放过约束。
17.总体刚度矩阵组装原则及总刚阵特点
总体刚度矩阵组装原则：
1.在整体离散结构变形后，应保证各单元在节点处仍然协调地相互连接，即在该节点处所有单元在该节点上有相同位移。
2.整体离散结构各节点应满足平衡条件。
即环绕每个节点所有单元作用其上节点力之和应等于作用于该节点上节点载荷R,
总刚阵特点：
除了具有单元刚阵特点外，还有
1•稀疏性，是指总刚矩阵绝大多数元素都是零，非零子块只占一小部分。
2.带状性，是指总刚矩阵中非零子块集中在主对角线两侧，呈带状分布。
（附，半带宽B二（相关节点号最大差值+1）*节点自由度数）
18•固有频率及特征向量（振型）定义及理解、振型特性
动力方程广义特征值问题（[K]—g2[m]）{©}=0
特征方程|[K]-由每个固有频率3尸,求得一组节点振幅不全为0向量{頑打称为特征向量，也称为振型
或模态向量。
振型形状是唯一，但其振幅不是唯一：
一个特征值可对应有多个特征向量，但一个特征向量只对应一个特征值。
振型正交性，任意两个特征值对应特征向量关于质量矩阵或刚度矩阵正交。
｛即｝网｛厝｝=0,厂仁
二.计算及证明
等效载荷计算
求得应变矩阵―盘
则单元刚度矩阵=BTDBtA
对于下图所示直角等边三角形单元,
-1
-5
0
一.5
-5
-.5
0
-1
1.5
.5
15
1000
0.5.50
0.5.50
0001
-1-.5一.50
0-5-5-1
3、总体刚度矩阵及载荷向量组装，约束条件引入、整体方程求解（包括约束反力计算）
1）结构中节点编码称为节点总码，各个单元三个节点又按逆时针方向编为称为节点局部码。
在单元刚度矩阵中，把节点局部码换成总码，并把其中子块按照总码次序重新排列。
得到扩大单元刚度方程
2）据节点力平衡，各个单元相应节点力叠加二节点载荷：
艺{斤}={&}上1,..・6
C
3）整理可得整体平衡方程：
［K］{5}={/?
},其中［K］为将各单元扩大矩阵迭加所得出结构刚度矩阵
约束反力计算约束反力只有在由引入约束整体方程求出所有节点位移分量以后，然后回代到没有引入约束条件整体方程相应方程中才能求出。
4、单元形函数特性及单元协调性证明
5、振型正交性证明略
3.建模及结果分析
1.影响有限元分析精度和成本因素
影响有限元解误差：
1）离散误差2）位移函数误差
分析精度：
A、单元阶次B、单元数量C、划分形状规则单元
D、建立及实际相符边界条件E、减小模型规模F、避免出现“病态”方程组，当总刚
矩阵元素中各行或各列值相差较大时，则总刚近似奇异。
2.有限元模型基本构成（节点数据、单元数据、边界条件等）
节点数据：
节点编号、坐标值、坐标参考系代码、位移参考系代码、节点数量、单元编号
单元数据：
单元节点、编号单元、材料特性码、单元物理特性值码、单元截面特性、相关儿何数据
边界条件数据：
位移约束数据、载荷条件数据、热边界条件数据、其他边界条件数据
3.有限元建模常用方法理解及应用（如细节处理、分步计算、局部计算、子结构法、对称性简化等）
细节处理也称为小特征处理,即删除或抑制对结构力学性能影响不大细小结构。
分步计算，如果结构局部存在相对尺寸非常小细节，且又不能进行细节处理，可釆用分步计算来控制有限元模型规模。
局部处理就是从所建立力学模型中抽取一部分出来进行分析，该部分通常是研究者最关心危险区域。
子结构法是先将大型结构分解为若干个结构区域，每个区域作为一个子结构。
子结构
被进一步细分为单元，并人为地将子结构上节点划分为边界节点和内部节点两类.
对称性简化,对称性分为反射对称和周期对称
（1）反射对称，受对称载荷作用则对称面上位移条件为
①垂直于对称面移动位移分量为零。
②绕平行于对称面两相互垂直轴转动位移分量均为零。
（2）反射对称，受反对称载荷作用则对称面上位移条件为
①平行于对称面移动位移分量为零；②绕方向矢量垂直于对称面轴转动位移分量为零。
（3）对称结构受任意载荷作用（迭加原理）
（4）周期对称位移条件，周期对称边界上对应点有相同位移状态到减小计算时间和存储空间目。
常用方法有降维处理、等效变换、对称性利用、组合分析、场耦合分析。
2.对称性利用注意事项
（1）不仅结构形状、载荷要对称，还要求位移约束也对称
（2）若对称面上作用有载荷，则应取载荷1/2进行分析（3）若对称面上存在板或梁，这时板或梁单元刚度应取整个单元刚度1/2（4）用对称面剖分结构时，应尽量使剖分面不在结构最大应力位置。
其他略。
3.整体刚度方程中约束条件引入
引入约束方法常有：
1）降阶法（打乱[K]{R}储存顺序）2）对角元素置1法3）对角元素乘大数法
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