第六章 高中数学考试及其命题技术.docx

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第六章高中数学考试及其命题技术

第六章高中数学考试及其命题技术

第五节高中数学考试中的选择题及其命制技术

一、选择题及其特征

1.选择题及其结构

选择题是一种常用的基本题型，它的基本特点是不要求考生写出解答过程，只要求考生从指定的几个选项中将正确的答案挑选出来.

作为一种客观性试题，选择题往往被看作是一种最具有适应性和最有用的试题类型，被广泛应用于测量在知识、理解和应用方面等多种复杂的学习结果。

一道选择题包括一个问题和一组答案。

问题可以使一个直接提问或者是一个不完整的陈述，又称为题干。

答案可以包括文字、数字、符号或者短语，又称为选项（或被选答案）。

选择题一般要求学生阅读题干和备选答案，然后，选择一个正确的或最好的答案。

每道题目的正确备选项叫做答案，其余的备选项叫做干扰项（又称为迷惑项），这是因为它们的作用就是干扰对那些正确答案有迷惑的学生做出选择。

2．选择题的类型

目前，选择题通常由三种形式：

（1）直接提问形式。

如，

例1若函数y=f（2x+1）是偶函数，则函数y=f（2x）的图象的对称轴是（）

（A）x=-1;（B）x=1;（C）x=-1/2;（D）x=1/2

这种形式更容易编写，呈现问题也更加清楚明确，而低年龄段的学生读起来会更觉得自然。

（2）不完整的陈述形式。

如，

例2函数f（x）=|sinx+cosx|的最小正周期是（）

（A）π/4;（B）π/2;（C）π;（D）2π

在这道题目中，只有一个正确答案，所有其他的备选项都是错误的。

如果用词巧妙的话，同样也能够清楚明确地呈现出一个问题。

（3）最佳答案类型。

如，

例3（2000年高考数学卷第6题）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算（表见下栏）．

某人一月份应交纳此项税款26．78元，则他的当月工资、薪金所得介于（）．

Ａ．800～900元Ｂ．900～1200元

Ｃ．1200～1500元Ｄ．1500～2000元、

全月应纳税所得额

税率

不超过500元的部分

5％

超过500元至2000元的部分

10％

超过2000元至5000元的部分

15％

……

……

需要指出的是，对于那些需要揭示一些可能的程序类的选择题中，一些程序也会比另一些程序更可取。

这种选择最佳答案的题目类型，在考查学生对事实性信息的理解、应用或解释时特别有效。

当然，这个最佳的答案必须确保无懈可击。

在编制选择题时，一般的程序是，首先用直接提问作为题干，如果能保留题意的清楚明确，可以转换成不完整陈述的形式，以使形式更为简明。

3．选择题的作用

选择题是最为通用的一种测试题型，它可以测试从简单到复杂不同种类的学习结果，并且适用于大多数的数学内容。

（1）用于测量知识学习结果的测量

首先是术语的测量，它要求学生通过选择与所给出的术语相同意思的词语，或者给出一个术语的定义，在展示他们对某个数学术语知识的掌握情况。

还可以让学生根据上下文的线索鉴别术语的含义，测查一个术语的特殊用法。

其次是专业知识的测量。

通常使用“何时、什么条件下、什么结果”等形式来设计。

如，

例4已知动点P（x,y）到定点（0，1）的距离与它到直线

的距离之比为2：

1，那么动点P的轨迹是（　　）

（A）椭圆；（B）双曲线；（C）两条直线；（D）双曲线或两条直线。

再次，基本原理性知识、方法和程序性知识的测量。

如

例5某工厂八年来某种产品总产量c与时间t（年）的函数关系如右图，下列四种说法：

①前三年中，

产量增长的速度越来越快；②前三年中，产量增长的速度越来越慢；③第三年后，这种产品停止生产；④第三年后，年产量保持不变，其中说法正确的是（）

（A）②与③；（B）②与④；（C）①与③；（D）①与④．

（2）在理解和应用水平上测量学习结果

主要用于鉴别应用事实和原理的能力，解释因果关系的能力，对方法和程序的辨别能力等等。

如

例6“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：

领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快要到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚,乌龟还是先到了终点.用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（）

这道题以一个美丽的童话故事为背景，从两个运动过程的图象表示为切入点，用函数图象来表示生活中的现象.这是典型的“鉴别应用事实和原理”的选择题范例。

4．选择题的优先和不足

选择题具有灵活的特点，不受其他常见题目类型的常见缺点的影响，可以有效地测量不同类型的知识和复杂的学习结果，可以避免填空题中经常出现的起义和含糊不清的缺点。

事实上，与填空题相比，选择题的备选项可以使问题情境建构得更加清楚。

选择题的另一个优点是，学生仅仅知道一个陈述是错误的时候是不能得分的，他还必须知道什么是正确的。

如，判断题不能呈现一个没有对错限制的陈述，而使用选择题中的最佳答案题型可以避免这样的难题。

选择题的另外两个优点是，第一，它不太受反映倾向的影响；第二，使用似是而非的干扰选项，使得测验结果具有诊断性。

尽管选择题有很多优点，但也存在一些局限。

集中表现在：

第一，选择题局限于对于言语水平的学习结果的测量，而对于真实情境中的表现无法测量；

第二，不太适用于测量问题解决技能，以及组织能力和观点陈述等内容；

第三，难以找到足够多的似是而非的干扰项。

二、选择题编制的基本要求

当前，在高中数学考试试卷中，作为一类大题，选择题通常放在解答题的前面.

近几年来，在选择题的题干部分，有时又可再分试题的背景部分与试题的内容部分两部分，虽然呈现形式主要还是“纯数学内容＋选择支”，但题干中带有问题背景的选择题已引起了广泛的关注和老师们的兴趣，已经成为了试题研究的一个新的动向，它在对数学基础知识、基本技能和空间观念的考查中发挥中重要而新的作用.

从全国高中数学试卷上看，选择题主要有两种形态：

单项选择题与多项选择题，而以单项选择题占绝大多数，后者多用于日常的高中数学考试中，但也出现过介于两者之间类型，如下面的试题虽然属于单项选择题，但其结构实际上是多项选择题改编而成的。

例7关于函数y＝arcsinx与y＝arcsin（-x）的图象，在下列几个判断中：

①关于轴对称;②关于轴对称;③关于原点对称。

正确命题的序号是（）

（A）①；（B）②；（C）①②；（D）①②③

在高考数学试卷中，单项选择题基本上采用的是四选一的形式，即一个问题，提供四个选择项（有的叫选择支），其中只有一个是正确的，要求考生将这正确的选项选出来，选对的得满分，不选或选错的得0分；多项选择题通常也只设置四个选项，其中至少有一项是正确的，错选或不选得0分，否则每漏选一个扣1分，直至扣完为止（当然也有其它的给分方式）.

选择题的编制通常应遵循四个基本要求：

（1）难度不宜过大，一般不应低于0.60；

（2）涉及的知识点不能过多；

（3）一般情况下，题干部分应简明扼要，文字量不宜过多；

（4）有利于考查学生对重要概念的理解水平、基本技能的运用水平和一定的思维水平.

三、选择题的编制技术

选择题的编制技术可从题干的背景、数学内容的选定、与选择支的设置三个方面来说明.

1.选择题的背景

多数选择题并不需要赋予实际背景或其它背景，而直接陈述出来就可以了.但在一份试卷中，若有少数几道选择题设置了恰当的背景，那么这几道选择题就会给整个试卷添光增彩，同时，对考查数学的更高级思维能力也发挥了一定的作用（一般情况下，选择题主要用于考查对观念的理解与较低层次的思维水平上）.如果你想在选择题中，编制带有一定背景的题目，那么可以参照如下的思路：

（1）选取一种操作性、活动性情景作为背景.这时，可把这种操作与活动中所可能出现的某些结果作为选择支（当然，有时选择支可以是假想的，但应不影响对数学内容的考查）.

（2）选取一个运动性、游戏性情景作为背景

（3）选取实际生活中的某个情景或场景作为背景

（4）选取文字或其它美丽图案作背景

例8中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：

在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，若翻到哭脸，就不得奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌机会（翻过的牌不能再翻）.某观众前面两次翻牌均获得若干奖金，那么他第三次翻牌获奖的概率是（）

（A）1/4  （B）1/5  （C）1/6  （D）3/20

这道试题以学生喜欢的游戏节目为背景来构造问题，同时，又包含了重要的数学内容―概率，因而是个可以借鉴的思路.

2.数学内容的选定

选择题中，对某些题目加上适当的背景是允许的.但更重要的是问题中要有好的数学.命题时，题目要考查什么和实际上考查了什么，这一点命题者是要清楚明白的.在知识点的选择上，最重要、最本质的核心内容应优先予以考虑.

例9当x＝1时，代数式px3+qx+1的值为2001，则当x＝－1时，代数式px3+qx+1的值为（）

（A）－1999  （B）－2000  （C）－2001  （D）1999

这道题着重于考查学生的整体思维―我们有时可以在不确切知道或不需要知道其局部的情况下而能对全体做出准确的判断与推理，所用到的技巧是整体地实行代数代换，设计简洁、明快.其实，这里也可以理解为奇函数的应用。

采用类比法，运用整体思想，可以编出不少有价值的题目.如，用函数来反映生活中的运动与变化现象，编制出与生活有联系的试题：

例102003年又是海南水果的丰收年，某芒果园的果树上挂满了成熟的芒果，一阵微风吹过，一个熟透的芒果从树上掉了下来.下面四个图象中，能表示芒果下落过程中速度与时间变化关系的图象只可能是：

例11如图，P（x,y）是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若x,y都是整数，则这样的点共有（）

（A）4个（B）8个（C）12个（D）16个

本题看似简单，但它较好地考查了学生的空间观念、对称思想和全面考虑问题的思维习惯，同时，又能较好区分不同层次学生的思维水平.

采用数学概念之间的内在关联，也可以编制出好的选择题，如，2004年湖南高考文科第9题：

例12若函数f（x）=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f'/（x）的图象是（）

3.选择支的设置

选择支的设计通常应遵循如下要求：

（1）选择项之间不应有包含关系，否则，某一选项或几项就失去了作用，形同虚设.

（2）选择项之间从表面上看来有较大的相似或相近性，即错误的选择支对正确的选择支有一定的干扰性.

（3）在错误的选项中，每个选项被选择的可能性不能相差太远，即一般情况下不宜出现某一两个选项几乎没有被选的现象.

（4）选择支的设计应有较大的信度，不能出现错误的解答而得到正确的结果这一现象，同时，也应当避免“学生选对了而无法判断其是否真懂”这一现象的发生.

编制选择题时，选择支的设计是一个非常重要的因素.选择支的设计有很多方法，下面的几种方法可供参考：

在问题中设置两个变量来构造选择支；围绕一个主题来设置选择支；从学生可能发生的错误中设计选择支；形象地表达一个数学结论。

例13点Ｏ是△ＡＢＣ所在平面内的一点，满足

，则点Ｏ是△ＡＢＣ的（　　）

Ａ三个内角的角平分线的交点

Ｂ三条边的垂直平分线的交点

Ｃ三条中线的交点

Ｄ三条高的交点

（２００５年高考，全国卷Ⅰ，文，第（１１）题）

评注：

此题的选择支就是围绕着点Ｃ的位置来设置的。

例14设函数

，若f（X0）>1，则X0的取值范围是（    ）

（A）（-1，1）（B）（-1，+∞）

（C）（-∞，-2）∪（0，+∞）（D）（-∞，-1）∪（1，+∞）

（2003年全国高考题）

【解】图解法：

在同一直角坐标系中，作出函数y=f（x）

的图象和直线y=1，它们相交于（－1，1）和（1，1）两点，由f（X0）>1，得或X0<-1或X0>1.

严格地说，图解法并非属于选择题解题思路范畴，而是一种数形结合的解题策略.但它在解有关选择题时非常简便有效.不过运用图解法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则错误的图象反而会导致错误的选择.如：

最后，有一个值得特别说明与重视的是：

当你将一道题目改编成一道选择题，或自编一道选择题时，一定要具体地进行求解，否则可能形式上看没有问题，但求解的结果却不合题意.所以，编题与审题，首要的是发现问题，这正说明了“发现问题往往比解决问题更为重要”.

四、设计选择题的一些策略

Robert等学者①从客观题的设计角度给出了设计选择题的建议，这些建议给我们设计高中数学选择题提供了一些有效策略：

1．题干本身应具有意义并以一个确定的问题呈现。

2．题干应当包括尽可能多的内容，但与题干无关的材料应当删去。

3．除非某种重要的学习结果需要，一般不使用否定式的题干。

4．全部的选项都应该与题干在语法上保持一致。

5．一个题目应该只有一个正确或者是明显的最佳答案。

6．用来测量理解力的题目应该具有一定的新颖性，但也不要过于新颖。

7．所有的干扰项都应该是似是而非的。

8．避免使题干与正确答案之间存在语言联系。

9．不要通过选项的相对长度来提供答案的线索。

10．正确答案出现在选项中的位置应该大致平均而且是随机的。

11．少用诸如“以上都不对”或者“以上都对”的选项。

12．如果其他题型更合适，就不要使用选择题。

①[美]RobertL.Linn&NormanE.Gronlund著，教学中的测验与评价[M]，北京：

中国轻工业出版社，2003年：

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第六章高中数学考试及其命题技术

第七节高中数学考试中的解答题及其命制技术

一、解答题及其类型

正如前文所分析的，试题的内容要求和能力要求是通过一定的形式呈现的.题型就是体现考试要求的形式.题型和考试要求的关系实质上是形式与内容的关系，不同类型的试题在考查不同知识和能力要求上有不同的功能.一个考试所采用的题型，主要取决于考试目的、内容和误差控制等要求.

解答题作为高中数学考中的必备题型，包含计算（求解）题、证明题、综合题等等多种类型。

解答题作为一种主观题，要求考生写出解题过程，能够比较全面地反映考生学科智力水平，展示其分析数学问题，综合运用数学知识进行逻辑思维的过程，适合对发散、综合、评价以及复杂运算、文字表达等高层次能力的考查.一定量的解答题对中学教学也有较好的导向作用.实验表明，客观题比例越大，考生对严密的逻辑推理、准确的计算和条理清楚的表达等方面则越不重视，教学上相对来说可能放松要求，对中学数学教育会产生不良影响.但解答题作为一种主观题也有其本身的不足，如对评卷者要求较高、题量少覆盖面窄，特别是难于实行机器评卷，评卷效率低等.因此，高考中不能像校内班级测验或文化大革命前试卷那样全是解答题，应定出合适的比例.

近年来，高考数学科选用的题型主要有四选一的选择题以及填空题和解答题.以考生作答方式和评分方法分类，选择题、填空题应属于客观题，这是因为其评分不受评分者主观因素的影响，而解答题应属主观题.主、客观试题的比例是值得注意的一个问题，应从我国提倡的标准化考试的目的、性质出发，从本学科的知识与智能结构出发来确定题型及其比例，题型要为考试内容服务，内容决定了题型.

从考试时间和题量看，近年来，全国高考数学科考试时间为120分钟，但覆盖面要求较大.数学科有近二百个知识点为达到60%~70%的覆盖面，以每题平均2~4个知识点论，要有近40个题，显然，靠解答题是不可能很好实现考查目的的，因此，必须要有一定数量的选择题以增加全卷题目数量，提高覆盖率，同时也可以提高考试的信度和效度，使解答题真正发挥其考查综合分析、逻辑推理等复杂思维过程的功能.

二、解答题命制的一般步骤

与选择题、填空题的试题相比，解答题的编制的自由度要大得多。

这种题型的试题能够深刻地考查数学的各种能力，难度调节的范围也很宽泛。

要设计一到好的解答题，一般遵循如下几个步骤①：

1．选材与立意

选材是编写试题的第一步，立意就是确定考查目的和核心任务，二者往往交织在一起。

选材一般有两个途径：

一是来自于相关的教科书、资料等中的一些基本问题，二是来自于数学研究，现实生活、科学实验等有关的数据资料或背景材料。

立意包含立足点和考查意向两个方面，立足点也就是试题的中心，考查意向也就是考查目的、考查目标。

一道试题可以有多种立意的出发点：

当考试题目以知识立意时，多数试题将以知识内容立意；当时卷以数学能力考查为主线时，多数试题则应当以能力立意；对于那些综合性比较强和实际应用型的试题，则宜以问题和情境作为立意的基点为佳。

当然，立意是核心，选材服务于立意。

例1（1994年全国高考数学试题，理科）已知直线l过坐标原点，抛物线C的定点在于原点，焦点在x轴正半轴上，若点A（-1，0）和点B（0，8）关于l的对称点都在C上，求直线l和抛物线C的方程。

其立意、取材分别为②：

立意：

拟编一道平面解析几何的综合性试题，考查运动变化的辩证思想，逻辑思维能力和运算能力。

要求难度控制在0.3左右。

取材：

抛物线与轴对称的有关问题，动点的轨迹问题。

2．搭架与构题

搭架也就是构筑试题的模坯。

其间，往往伴随着题材的剪切和重组，而且，不同的题材往往采取与之相对应的结构框架。

3．加工与调整

试题的加工和调整，主要包括两件事情，一是确保试题科学、符合相应的课程教学的要求（不超纲），而是精心调整试题的难度，通常通过调整试题的设问方式、改变题设的条件、改变综合程度等等策略来完成。

其实，长期以来，全国高考数学试卷中，选择题、填空题中多数考查基本概念和基本运算，其程度相当于课本习题，少数相当于课本复习参考题，不少试题就是通过将课本的习题和复习题进行适当的改造而成的。

4．审题与复核

复核工作通常需要两人以上完成，防止先入为主，确保试题考查有效性与预先的设计意图相一致；同时，复核的另一项工作就是文字功夫，也就是对试题的字词句、数学符号和图表等一一推敲，决不放过任何一丝一毫的可能隐患。

三、解答题命题的特殊方法

在中学数学考试中，计算（求解）题、证明题、综合题等等多种类型，是解答题的具体体现。

下面我们结合高考中的典型试题，例举计算（求解）题、证明题、综合题的命题技术。

1．计算（求解）题

在高中数学内容的考查中，有一类以考查数或式的运算（或数与式问题的求解）为主要任务的题目，这就是计算（求解）题.对于计算（求解）题，我们不但关心解答的结果，更加关注学生的解答过程.在高中数学试卷中，单纯的计算（求解）题的综合程度不是很高，主要用于考查学生对运算技能的掌握程度与代数的分析、推理能力，它通常处于解答题中的前部或中部.

计算（求解）题在编制时应遵循三个基本要求：

（1）如果出现了几个知识点的连接，那么这个连接应当是自然的、和谐的；

（2）如果是一个单纯的运算题，那么这个运算式的结构应当有个主题；

（3）如果一个求解题中包含着两个小的问题，那么这两个小的问题之间有一定的联系是较好的.

计算（求解）题一般可以分为简单计算（求解）题、复杂的计算题。

简单计算（求解）题是指问题比较简单、解答有固定程序、以技能为主要考查对象的试题.对这类试题，命制时，应注意如下两点：

（1）要把握好试题难度，难度可控制在0.75－0.50之间；

（2）通常不附加过多的问题情景；如果有所创新，那么也主要是呈现形式上的、不影响学生答题心理的创新.如，

例2（2004年辽宁高考）

设全集U＝R。

（1）解关于x的不等式|x-1|+a-1>0（a∈R）

（2）记A为

（1）中不等式的解集，集合B＝

，若（CUA）∩B恰有3个元素,求a的取值范围．

评注：

这种常规形式的式的运算、解不等式、解方程、求字母的值之类的题目，在高考试卷中，是常考的内容，它既是解决问题的一个重要部分，又是今后学习的基础.

例3（2002年全国高考，文科第17题）

如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数

（1）求这段时间的最大温差；

（2）写出这段时间的函数解析式；

例4（2002年全国高考，理科第17题）

已知sin22a+sin2acosa-cos2a＝1，a∈（0,π/2），求sina、tga的值。

例5（2005年上海春季高考试题，第18题）

已知tga是方程x2+2xseca+1＝0的两个根中较小的根，求a的值.

较为复杂的求解题，是指有一定挑战性的试题，亦即，通常至少在某一点或某个方面上有一定的新意，没有十分明确的解题思路，或在计算上有一定的技巧，要完整的解答出来，通常需要一定的思维能力.因此，在编制这种带有一定挑战性的试题时，一是可在知识点的组合上与平常接触到的形式稍有不同，二是在试题的构造上与已见过的形式略有差别，三是使问题确实有一定的思考性，对多数学生而言，不是一眼就可看穿的.在数与代数内容中，它主要出现在与数列、函数、解析几何等有关的带有参数问题上.在空间与图形中，它通常需要一定的推理作帮助.有时，这种挑战性的题目又突出表现在数学思想方法的运用上.

例6如右下图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB＝4,AD＝3,AA1＝2.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB＝FB＝1.

（1）求二面角C-DE-C1的正切值;

（2）求直线EC1与FD1所成的余弦值.

（2004年广东省数学高考试题）

例7（2004年高考重庆卷，第18题）设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯的概率为3/4，遇到红灯（禁止通行）的概率为1/4。

假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，§表示停车时已经通过的路口数，求：

（1）§的概率的分布列及期望E§;

（2）停车时最多已通过3个路口的概率。

例8（2004年全国卷IV）某村计划建造一个室内面积为800的矩形蔬菜温室。

在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1宽的通道，沿前侧内墙保留3宽的空地。

当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？

最大种植面积是多少？

这道题主要考查把实际问题抽象为数学问题，应用不等式等基础知识和方法解决问题的能力.

2．证明题

在高中数学中，证明题主要包括简单的代数证明题、三角证明题与几何证明题.

证明题的基本特点是，它有明确的已知条件与结论，要求学生从已知条件与所学过的知识出发，通过逻辑推理来推断结论的正确性.要完成由已知到结论的逻辑链接，可采用分析法、反证法、综合法等等.因此，证明题的主要功能是考查学生的逻辑推理能力，当然，这其中也往往会涉及到合情推理与空间想像，但主体是逻辑推理.

近年来，单纯的几何证明题比较少见，多数情况下，几何证明多是与其它题型结合在一起来设计的，如开放性试题、探索题等.但是，作为单纯证明题的编制研究仍是不可少的，一方面是它本身仍然是一种独立的题型，也常常在考查中发挥重要作用，另一方面是，即使它与其它题型组合在一起，作为具有独特教育功能的推理与证明也是考查的一个重要方面。

编制证明题的快捷而有效的方法之一就是改编法，即是从教材或某一个所熟悉的几何或代数题出发，通过如下等途径，得到一个新的命题：

（1）将原有试题的条件与结论，或它们其中的一部分互换；

（2）将两个几何问题叠加在一起；

（3）利用已知条件而改换图形；

（4）利用已知图形而改变条件；

（5）将原问题的条件作适当改变，减少或增加，可推出若干结论，将其中的一个作为结论，于是就构成了一个新的问题；

（6）将问题中的一个点视作动点，当这点运动到一个新的位置时，就构成了一个新的问题；

（7）将一个代数