北师大版七年级数学下册知识点归纳Word文件下载.docx
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数学七年级下册
(2)按去括号法则去括号。
(3)合并同类项。
4、代数式求值的一般步骤:
(1)代数式化简。
(2)代入计算(3)对于某些特殊的代数式,可采用“整体代入”进行计算。
四、同底数幂的乘法
nn的结果叫做幂。
n为指数,aa的n次方(幂),其中a为底数,1、n个相同因式(或因数)a相乘,记作a,读作
2、底数相同的幂叫做同底数幂。
mnm+n。
﹒a3、同底数幂乘法的运算法则:
同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
即:
a=a
nm+nm4、此法则也可以逆用,即:
﹒a。
a=a
、开始底数不相同的幂的乘法,如果可以化成底数相同的幂的乘法,先化成同底数幂再运用法则。
5
五、幂的乘方
mnm相乘。
an)个1、幂的乘方是指几个相同的幂相乘。
(a表示
mnmn。
(a=a)2、幂的乘方运算法则:
幂的乘方,底数不变,指数相乘。
mmnmnn。
a=3、此法则也可以逆用,即:
(a))a=(
六、积的乘方
1、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。
nnn。
b=aab2、积的乘方运算法则:
积的乘方,等于把积中的每个因式分别乘方,然后把所得的幂相乘。
即()
)aabb3、此法则也可以逆用,即:
=(
七、三种“幂的运算法则”异同点
、共同点:
1
(1)法则中的底数不变,只对指数做运算。
(2)法则中的底数(不为零)和指数具有普遍性,即可以是数,也可以是式(单项式或多项式)。
个以上的运算,法则仍然成立。
个或33)对于含有3(
、不同点:
2
(1)同底数幂相乘是指数相加。
(2)幂的乘方是指数相乘。
(3)积的乘方是每个因式分别乘方,再将结果相乘。
八、同底数幂的除法mnm-n、同底数幂的除法法则:
同底数幂相除,底数不变,指数相减,即:
1(a≠a=a0a)。
÷
mnm-n2、此法则也可以逆用,即:
=a÷
a(a≠0)。
a
九、零指数幂
0=1(a≠a次幂都等于1,即:
0)。
01、零指数幂的意义:
任何不等于的数的0
十、负指数幂
p1a
(a0)次幂的倒数,即:
p次幂,等于这个数的p、任何不等于零的数的―1ap。
0注:
在同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数不为
十一、整式的乘法
(一)单项式与单项式相乘
1、单项式乘法法则:
单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,
作为积的因式。
2、系数相乘时,注意符号。
3、相同字母的幂相乘时,底数不变,指数相加。
4、对于只在一个单项式中含有的字母,连同它的指数一起写在积里,作为积的因式。
5、单项式乘以单项式的结果仍是单项式。
6、单项式的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用。
(二)单项式与多项式相乘
1、单项式与多项式乘法法则:
单项式与多项式相乘,就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项,再把所得的积相加。
m(a+b+c)=ma+mb+mc。
2
2、运算时注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号。
3、积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同。
4、混合运算中,注意运算顺序,结果有同类项时要合并同类项,从而得到最简结果。
(三)多项式与多项式相乘
1、多项式与多项式乘法法则:
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。
2、多项式与多项式相乘,必须做到不重不漏。
相乘时,要按一定的顺序进行,即一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项。
在未合并同类项之前,积的项数等于两个多项式项数的积。
3、多项式的每一项都包含它前面的符号,确定积中每一项的符号时应用“同号得正,异号得负”。
、运算结果中有同类项的要合并同类项。
4
1、对于含有同一个字母的一次项系数是的两个一次二项式相乘时,可以运用下面的公式简化运算:
52。
(x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab
十二、平方差公式22,即:
两数和与这两数差的积,等于它们的平方之差。
-b、(a+b)(a-b)=a1
22、平方差公式可以逆用,即:
3=(a+b-b)(a-b)。
a
4、平方差公式还能简化两数之积的运算,解这类题,首先看两个数能否转化成2
2(a+b)?
(a-b)的形式,然后看a与b是否容易计算。
十三、完全平方公式
222222,ba
2abbb),(aab)(a2ab即:
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或1、
倍。
2减去)它们的积的
2、公式中的a,b可以是单项式,也可以是多项式。
3、掌握理解完全平方公式的变形公式:
2222122a[(ab)b)b)(ab)]b2ab(a(a2ab)(12
221224abab[(ab)(ab)(ab)(ab)]2()(3)4
22222aba:
4、完全平方式:
我们把形如,b2abb,a的二次三项式称作完全平方式。
5、当计算较大数的平方时,利用完全平方公式可以简化数的运算。
6、完全平方公式可以逆用,
222222(ab2aba2abb(ab),a.b)即:
十四、整式的除法
(一)单项式除以单项式的法则
1、单项式除以单项式的法则:
一般地,单项式相除,把系数、同底数幂分别相除后,作为商的因式;
对于只在被
除式里含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式。
2、根据法则可知,单项式相除与单项式相乘计算方法类似,也是分成系数、相同字母与不相同字母三部分分别进
行考虑。
(二)多项式除以单项式的法则
1、多项式除以单项式的法则:
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加。
(abc)mambmcm.用字母表示为:
2、多项式除以单项式,注意多项式各项都包括前面的符号。
3
第二章平行线与相交线
余角
余角补角
补角
角两线相交对顶角
同位角
三线八角内错角平
行同旁内角
线
与
相平行线的判定交平行线线
平行线的性质
尺规作图
一、平行线与相交线平行线:
在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。
若两条直线只有一个公共点,我们称这两条直线为相交线。
二、余角与补角
1、如果两个角的和是直角,那么称这两个角互为余角,简称为互余,称其中一个角是另一个角的余角。
2、如果两个角的和是平角,那么称这两个角互为补角,简称为互补,称其中一个角是另一个角的补角。
3、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角,它们只与角的度数有关,与角的位置无关。
4、余角和补角的性质:
同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等。
5、余角和补角的性质用数学语言可表示为:
0000),90(180),290(18031132则。
)(同角的余角(或补角)相等)1(
0000),(18090),90(18041234,231且。
则等角的余角(或补角)相等)()2(
、余角和补角的性质是证明两角相等的一个重要方法。
6
三、对顶角
、两条直线相交成四个角,其中不相邻的两个角是对顶角。
1
、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,这两个角叫做对顶角。
2
、对顶角的性质:
对顶角相等。
、对顶角的性质在今后的推理说明中应用非常广泛,它是证明两个角相等的依据及重要桥梁。
、对顶角是从位置上定义的,对顶角一定相等,但相等的角不一定是对顶角。
5
四、垂线及其性质
(垂线定义)、垂线:
两条直线相交成直角时,叫做互相垂直,其中一条叫做另一条的垂线。
、垂线的性质:
:
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质1
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
性质2
五、同位角、内错角、同旁内角
个角。
、两条直线被第三条直线所截,形成了18
)、同位角:
两个角都在两条直线的同侧,并且在第三条直线(截线)的同旁,这样的一对角叫做同位角。
2(F
、内错角:
两个角都在两条直线之间,并且在第三条直线(截线)的两旁,这样的一对角叫做内错角。
3(Z)
(U)、同旁内角:
两个角都在两条直线之间,并且在第三条直线(截线)的同旁,这样的一对角叫同旁内角。
44
5、这三种角只与位置有关,与大小无关,通常情况下,它们之间不存在固定的大小关系。
六、六类角
1、补角、余角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角六类角都是对两角来说的。
2、余角、补角只有数量上的关系,与其位置无关。
3、同位角、内错角、同旁内角只有位置上的关系,与其数量无关。
4、对顶角既有数量关系,又有位置关系。
七、平行线的判定方法
1、同位角相等,两直线平行。
2、内错角相等,两直线平行。
、同旁内角互补,两直线平行。
、在同一平面内,如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线平行。
、在同一平面内,如果两条直线都垂直于第三条直线,那么这两条直线平行。
八、平行线的性质
、两直线平行,同位角相等。
、两直线平行,内错角相等。
、两直线平行,同旁内角互补。
、平行线的判定与性质具备互逆的特征,其关系如下:
在应用时要正确区分积极向上的题设和结论。
九、尺规作线段和角
1、在几何里,只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。
2、尺规作图是最基本、最常见的作图方法,通常叫基本作图。
3、尺规作图中直尺的功能是:
(1)在两点间连接一条线段;
(2)将线段向两方延长。
4、尺规作图中圆规的功能是:
(1)以任意一点为圆心,任意长为半径作一个圆;
(2)以任意一点为圆心,任意长为半径画一段弧;
5、熟练掌握以下作图语言:
(1)作射线×
×
;
(2)在射线上截取×
=×
(3)在射线×
上依次截取×
=×
(4)以点×
为圆心,×
为半径画弧,交×
于点×
(5)分别以点×
、点×
为圆心,以×
、×
为半径作弧,两弧相交于点×
(6)过点×
和点×
画直线×
(或画射线×
);
(7)在∠×
的外部(或内部)画∠×
∠×
=
6、在作较复杂图形时,涉及基本作图的地方,不必重复作图的详细过程,只用一句话概括叙述就可以了。
(1)画线段×
(2)画∠×
=∠×
第三章变量之间的关系
自变量
变量的概念
因变量
变量之间的关系表格法
关系式法
速度时间图象变量的表达方法
图象法路程时间图象5
一、变量、自变量、因变量
1、在某一变化过程中,不断变化的量叫做变量。
2、如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化,则把x叫做自变量,y叫做因变量。
3、自变量与因变量的确定:
(1)自变量是先发生变化的量;
因变量是后发生变化的量。
(2)自变量是主动发生变化的量,因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。
(3)利用具体情境来体会两者的依存关系。
二、表格
1、表格是表达、反映数据的一种重要形式,从中获取信息、研究不同量之间的关系。
(1)首先要明确表格中所列的是哪两个量;
(2)分清哪一个量为自变量,哪一个量为因变量;
(3)结合实际情境理解它们之间的关系。
2、绘制表格表示两个变量之间关系
(1)列表时首先要确定各行、各列的栏目;
(2)一般有两行,第一行表示自变量,第二行表示因变量;
(3)写出栏目名称,有时还根据问题内容写上单位;
(4)在第一行列出自变量的各个变化取值;
第二行对应列出因变量的各个变化取值。
(5)一般情况下,自变量的取值从左到右应按由小到大的顺序排列,这样便于反映因变量与自变量之间的关系。
三、关系式
1、用关系式表示因变量与自变量之间的关系时,通常是用含有自变量(用字母表示)的代数式表示因变量(也用
字母表示),这样的数学式子(等式)叫做关系式。
2、关系式的写法不同于方程,必须将因变量单独写在等号的左边。
3、求两个变量之间关系式的途径:
(1)将自变量和因变量看作两个未知数,根据题意列出关于未知数的方程,并最终写成关系式的形式。
(2)根据表格中所列的数据写出变量之间的关系式;
(3)根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式;
(4)根据图象写出与之对应的变量之间的关系式。
4、关系式的应用:
(1)利用关系式能根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值;
(2)同样也可以根据任何一个因变量的值求出相应的自变量的值;
(3)根据关系式求值的实质就是解一元一次方程(求自变量的值)或求代数式的值(求因变量的值)。
四、图象
、图象是刻画变量之间关系的又一重要方法,其特点是非常直观、形象。
、图象能清楚地反映出因变量随自变量变化而变化的情况。
(又称横轴)上的点表示自变量,3、用图象表示变量之间的关系时,通常用水平方向的数轴用竖直方向的数轴(又
称纵轴)上的点表示因变量。
、图象上的点:
)对于某个具体图象上的点,过该点作横轴的垂线,垂足的数据即为该点自变量的取值;
(1
(2)过该点作纵轴的垂线,垂足的数据即为该点相应因变量的值。
)由自变量的值求对应的因变量的值时,可在横轴上找到表示自变量的值的点,过这个点作横轴的垂线与图(3象交于某点,再过交点作纵轴的垂线,纵轴上垂足所表示的数据即为因变量的相应值。
)把以上作垂线的过程过来可由因变量的值求得相应的自变量的值。
(4
5、图象理解
(1)理解图象上某一个点的意义,一要看横轴、纵轴分别表示哪个变量;
(2)看该点所对应的横轴、纵轴的位置(数据);
(3)从图象上还可以得到随着自变量的变化,因变量的变化趋势。
五、速度图象
1、弄清哪一条轴(通常是纵轴)表示速度,哪一条轴(通常是横轴)表示时间;
2、准确读懂不同走向的线所表示的意义:
6
(1)上升的线:
从左向右呈上升状的线,其代表速度增加;
(2)水平的线:
与水平轴(横轴)平行的线,其代表匀速行驶或静止;
(3)下降的线:
从左向右呈下降状的线,其代表速度减小。
六、路程图象
1、弄清哪一条轴(通常是纵轴)表示路程,哪一条轴(通常是横轴)表示时间;
从左向右呈上升状的线,其代表匀速远离起点(或已知定点);
)水平的线:
与水平轴(横轴)平行的线,其代表静止;
2(
)下降的线:
从左向右呈下降状的线,其代表反向运动返回起点(或已知定点)(3
七、三种变量之间关系的表达方法与特点:
表达方法特点
多个变量可以同时出现在同一张表格中表格法
准确地反映了因变量与自变量的数值关系关系式法
图象法直观、形象地给出了因变量随自变量的变化趋势
三角形第四章
三角形三边关系
三角形内角和定理三角形
角平分线
中线三条重要线段
高线
全等图形的概念
全等三角形的性质
SSS
三角形SAS
全等三角形的判定全等三角形ASA
AAS
全等三角形的应用利用全等三角形测距离
作三角形
一、三角形概念
1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形,称为三角形,可以用符号“”表示。
2、顶点是A、B、C的三角形,记作“ABC”,读作“三角形ABC”。
3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边,即边AB、BC、AC,有时也用a,b,c来表示,顶点A所对的边BC用
表示,边AC、AB分别用b,c来表示;
4、∠A、∠B、∠C为ABC的三个内角。
二、三角形中三边的关系
1、三边关系:
三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。
用字母可表示为a+b>
c,a+c>
b,b+c>
a;
a-b<
c,a-c<
b,b-c<
a。
2、判断三条线段a,b,c能否组成三角形:
(1)当a+b>
a同时成立时,能组成三角形;
(2)当两条较短线段之和大于最长线段时,则可以组成三角形。
abcab、确定第三边(未知边)的取值范围时,它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和,即3.
7
三、三角形中三角的关系0。
、三角形内角和定理:
三角形的三个内角的和等于1801
2、三角形按内角的大小可分为三类:
(1)锐角三角形,即三角形的三个内角都是锐角的三角形;
(2)直角三角形,即有一个内角是直角的三角形,我们通常用“Rt”表示“直角三角形”,其中直角∠C所对的
边AB称为直角三角表的斜边,夹直角的两边称为直角三角形的直角边。
注:
直角三角形的性质:
直角三角形的两个锐角互余。
(3)钝角三角形,即有一个内角是钝角的三角形。
3、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数。
4、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。
0、任意一个三角形都具备六个元素,即三条边和三个内角。
都具有三边关系和三内角之和为5的性质。
180
6、三角形内角和定理包含一个等式,它是我们列出有关角的方程的重要等量关系。
四、三角形的三条重要线段
1、三角形的三条重要线段是指三角形的角平分线、中线和高线。
2、三角形的角平分线:
(1)三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
(2)任意三角形都有三条角平分线,并且它们相交于三角形内一点。
3、三角形的中线:
(1)在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫做这个三角形的中线。
(2)三角形有三条中线,它们相交于三角形内一点。
4、三角形的高线:
(1)从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称为三角形的高。
(2)任意三角形都有三条高线,它们所在的直线相交于一点。
区别相同
中线平分对边三条中线交于三角形内部
(1)都是线段角平分线平分内角三条角平分线交于三角表内部
(2)都从顶点画出锐角三角形:
三条高线都在三角形内部垂直于对
(3)所在直线相交于一点高线边(或其延直角三角形:
其中两条恰好是直角边
钝角三角形:
其中两条在三角表外部长线)
五、全等图形
1、两个能够重合的图形称为全等图形。
2、全等图形的性质:
全等图形的形状和大小都相同。
3、全等图形的面积或周长均相等。
4、判断两个图形是否全等时,形状相同与大小相等两者缺一不可。
5、全等图形在平移、旋转、折叠过程中仍然全等。
6、全等图形中的对应角和对应线段都分别相等。
六、全等分割
1、把一个图形分割成两个或几个全等图形叫做把一个图形全等分割。
2、对一个图形全等分割:
(1)首先要观察分析该图形,发现图形的构成特点;
(2)其次要大胆尝试,敢于动手,必要时可采用计算、交流、讨论等方法完成。
七、全等三角形
1、能够重合的两个三角形是全等三角形,用符号“≌”连接,读作“全等于”。
、用“≌”连接的两个全等三角形,表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
8
3、全等三角形的性质:
全等三角形的对应边、对应角相等。
这是今后证明边、角相等的重要依据。
4、两个全等三角形,准确判定对应边、对应角,即找准对应顶点是关键。
八、全等三角形的判定
1、三边对应相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”。
2、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简写为“角边角”或“”。
ASA
3、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等,简写为“角角边”或“AAS”。
、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写为“边角边”或“4SAS”。
、注意以下内容5
(1)三角形全等的判定条件中必须是三个元素,并且一定有一组边对应相等。
(2)三边对应相等,两边及夹角对应相等,一边及任意两角对应相等,这样的两个三角形全等。
(3)两边及其中一边的对角对应相等不能判定两三角形全等。
6、熟练运用以下内容
(1)熟练运用三角形判定条件,