高考数学一轮考点训练选考内容含答案文档格式.docx
《高考数学一轮考点训练选考内容含答案文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学一轮考点训练选考内容含答案文档格式.docx(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
3.相似三角形的判定定理
判定定理1:
对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.简述为:
两角对应________,两三角形相似.
判定定理2:
对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.简述为:
两边对应成________且夹角________,两三角形相似.
判定定理3:
对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.简述为:
三边对应________,两三角形相似.
注意:
与一般三角形相比,直角三角形有一个角为直角,三边长满足勾股定理等.这种关系可以使判定两个直角三角形相似的条得到简化.
4.相似三角形的性质定理
性质定理1:
相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于____________.
性质定理2:
相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于____________.
性质定理3:
相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________.
.射影定理
直角三角形斜边上的高是______________________的比例中项;
两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的_________________________.
6.圆周角、圆心角和弦切角定理
①圆周角定理:
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的____________的一半.
②圆心角定理:
圆心角的度数等于它所对______的度数.
同弧或等弧所对的圆周角________;
同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧____________.
半圆(或直径)所对的圆周角是________;
90°
的圆周角所对的弦是________.
③弦切角定理:
弦切角等于它所夹的弧所对的________.
7.圆内接四边形的性质与判定定理
(1)性质定理:
圆的内接四边形的对角____________.
圆内接四边形的外角等于它的__________的对角.
(2)判定定理:
如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点____________.
如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点____________.
8.圆的切线的性质与判定定理
性质定理:
圆的切线垂直于经过切点的________.
经过圆心且垂直于切线的直线必经过________.
经过切点且垂直于切线的直线必经过________.
判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的________.
9.相交弦定理
圆内的两条相交弦,________________________的积相等.
10.
(1)割线定理:
从圆外一点引圆的两条割线,这一点到__________________的两条线段长的积相等.
(2)切割线定理:
从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到______________________________的比例中项.
(3)切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长________,圆心和这一点的连线平分____________的夹角.且____________切点弦.
自查自纠:
1.也相等 平分第三边 平分另一腰
2.成比例 成比例
3.相等 比例 相等 成比例
4.相似比 相似比 相似比的平方
.两直角边在斜边上射影 比例中项
6.①圆心角 ②弧 相等 也相等 直角 直径③圆周角
7.
(1)互补 内角
(2)共圆 共圆
8.半径 切点 圆心 切线
9.被交点分成的两条线段长
10.
(1)每条割线与圆的交点
(2)割线与圆交点的两条线段长
(3)相等 两条切线 垂直平分
如图,在△AB中,AE=ED=D,FE∥D∥B,FD的延长线交B的延长线于点N,且EF=1,则BN=( )A.2B.3
.4D.6
解:
∵FE∥D∥B,AE=ED=D,
∴EFB=AEA=13,EFN=EDD=1,
∴EF=N,∴EFBN=EFB+N=14,
∴BN=4EF=4故选
如图AD是△AB的中线,E是A边靠近点的三等分点,BE交AD于点F,则AF∶FD为( )A.2∶1B.3∶1
.4∶1D.∶1
过D作DG∥A交BE于G,则DG=12E,又AE=2E,△DGF∽△AEF,故AF∶FD=AE∶DG=2E∶12E=4∶1故选
如图,∠AB=90°
,D⊥AB于点D,以BD为直径的圆与B交于点E则( )A.E&
#8226;
B=AD&
DB
B.E&
AB
.AD&
AB=D2
D.E&
EB=D2
在△AB中,因为∠AB=90°
,D⊥AB于点D,所以D2=AD&
DB又由切割线定理得D2=E&
B,所以E&
DB故选A
如图,过点D作圆的切线切圆于B点,作割线交圆于A,两点,其中BD=3,AD=4,AB=2,则B=________解:
由切割线定理得:
BD2=D&
AD,得D=94
又∵∠A=∠DB,∠D=∠D,
∴△ABD∽△BD,BDD=ABB,解得B=32故填32
(201&
重庆)如图,圆的弦AB,D相交于点E,过点A作圆的切线与D的延长线交于点P,若PA=6,AE=9,P=3,E∶ED=2∶1,则BE=____________.解:
由切割线定理,知PA2=P&
PD,即62=3PD,解得PD=12,∴D=PD-P=9,∴E=6,ED=3由相交弦定理,知AE&
BE=E&
ED,即9BE=6×
3,解得BE=2故填2
类型一 平行线分线段成比例定理的应用
如图,在△AB中,EF∥D,∠AFE=∠B,AE=6,ED=3,AF=8
(1)求A的长;
(2)求D2B2的值.
(1)∵EF∥D,∴AEAD=AFA
∵AE=6,ED=3,AF=8,∴66+3=8A,
∴A=12
(2)∵EF∥D,∴∠AFE=∠AD,
又∠AFE=∠B,∴∠AD=∠B
又∠A=∠A,∴△AD∽△AB
∴DB=ADA=6+312=34,∴D2B2=916
点拨:
求长度或比值考虑相似,有时图形中没有平行线,要添加辅助线,构造相关图形,即创造可以形成比例式的条,从而达到计算或证明的目的.
(1)如图所示,在△AB中,D是B的中点,E是A的中点,AD交BE于G,求证:
AG=2GD证明:
作H∥EB交AD的延长线于点H,
∵AE=E,H∥EB,∴AG=GH
又∵BD=D,
∴△BDG≌△DH
∴GD=DH∴AG=2GD
(2)在△AB中,AD为∠BA的平分线,求证:
ABA=BDD
证明:
如图,过作E∥AD,交BA延长线于E,∵AD∥E,∴BAAE=BDD
∵AD平分∠BA,
∴∠BAD=∠DA
由AD∥E知∠BAD=∠E,
∠DA=∠AE,
∴∠AE=∠E,即AE=A
∴ABA=BDD
类型二 相似三角形的判定及性质
如图所示,已知在△AB中,∠BA=90°
,AD⊥B,E是A的中点,ED交AB的延长线于F,求证:
ABA=DFAF证明:
∵∠BA=90°
,AD⊥B,∴△ABD∽△AD,
∴ABA=BDAD①
又∵E是A的中点,∴DE=E,
∴∠4=∠3=∠AB=∠1,而∠AFD为公共角,
∴△FBD∽△FDA,
∴BDAD=DFAF,②,由①②可得ABA=DFAF
(1)判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理,特别要注意对应角和对应边.
(2)相似三角形的性质可用证明线段成比例、角相等,也可用间接证明线段相等或计算线段长度.
(2014&
中原名校联考)如图,三角形AB的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E
(1)证明:
△ABE∽△AD;
(2)若三角形AB的面积S=12AD&
AE,求∠BA的大小.
(1)证明:
由已知条,可得∠BAE=∠AD,因为∠AEB与∠AB是同弧所对的圆周角,所以∠AEB=∠AD
故△ABE∽△AD
(2)因为△ABE∽△AD,所以ABAD=AEA, ※
又S=12AB&
A&
sin∠BA且S=12AD&
AE,故AB&
sin∠BA=AD&
AE,由※可知AB&
A=AD&
AE,则sin∠BA=1,又∠BA为△AB的内角,所以∠BA=90°
类型三 射影定理的应用
如图所示,已知在边长为1的正方形ABD的一边上取一点E,使AE=14AD,过AB的中点F作HF⊥E于H
(1)求证:
FH=FA;
(2)求EH∶H的值.
连结EF,F,在正方形ABD中,AD=AB=B,∠A=∠B=90°
∵AE=14AD,F为AB的中点,
∴AEAF=FBB=12
∴△EAF∽△FB
∴∠AEF=∠BF,∠EFA=∠BF
又∠A=∠B=90°
,∴∠EF=90°
,EFF=AEBF=AEAF=12
又∵∠EF=∠A=90°
,∴△EF∽△EAF
∴∠AEF=∠HEF
又EF=EF,
∴Rt△EAF≌Rt△EHF∴FH=FA
(2)由
(1)知△EF是直角三角形,FH是斜边E上的高,
由射影定理可得EF2=EH&
E,F2=H&
E,于是EH∶H=EF2∶F2=1∶4
①一般四边形问题须转化为三角形(最好是Rt△)问题研究,故自然要连结EF,F,第
(1)问也可由勾股定理求出FH的长证;
②图中有2对全等三角形,8对相似三角形,能洞察这些,解此题会游刃有余;
③第
(2)问由EH∶H=AE∶B求,更简洁.
如图所示,AD,BE是△AB的两条高,DF⊥AB,垂足为F,直线FD交BE于点G,交A的延长线于H,求证:
DF2=GF&
HF证明:
∵∠H+∠BA=90°
,
∠GBF+∠BA=90°
,∴∠H=∠GBF
∵∠AFH=∠GFB=90°
∴△AFH∽△GFB,∴HFBF=AFGF,
∴AF&
BF=GF&
HF
因为在Rt△ABD中,FD⊥AB,∴DF2=AF&
BF,
∴DF2=GF&
类型四 圆内接四边形的性质及判定定理的应用
(201&
哈三中一模)如图,AB是⊙的直径,B与⊙相切于B,E为线段B上一点,连接A,AE,分别交⊙于D,G两点,连接DG并延长交B于点F
(1)求证:
,D,G,E四点共圆;
(2)若F为EB的靠近点E的三等分点,EG=1,GA=3,求线段E的长.
连接BD,则∠AGD=∠ABD,∠ABD+∠DAB=90°
,∠+∠AB=90°
,所以∠=∠AGD,所以∠+∠DGE=180°
,所以,D,G,E四点共圆.
(2)因为EG&
EA=EB2,所以EB=2,又F为EB的三等分点,所以EF=23,FB=43,
又因为FG&
FD=FE&
F=FB2,所以F=83,E=2
①直径所对圆周角为直角,故考虑连BD;
②证明四点共圆,即证明这四点构成的四边形对角互补;
③已知条为EG及GA的长度,自然考虑计算EB,从而求得FG&
FD,再计算E即可.
(2014&
新标Ⅰ)如图,四边形ABD是⊙的内接四边形,AB的延长线与D的延长线交于点E,且B=E
(1)证明:
∠D=∠E;
(2)设AD不是⊙的直径,AD的中点为,且B=,证明:
△ADE为等边三角形.
(1)由题设知A,B,,D四点共圆,所以∠D=∠BE,由已知B=E得∠BE=∠E,故∠D=∠E
(2)如图,设B的中点为N,连结N,则由B=知N⊥B,故在直线N上.
又AD不是⊙的直径,为AD的中点,故⊥AD,即N⊥AD
所以AD∥B,故∠A=∠BE
又∠BE=∠E,故∠A=∠E,由
(1)知,∠D=∠E,
所以△ADE为等边三角形.
类型五 圆的切线及与圆有关的比例线段
陕西)如图,AB切⊙于点B,直线A交⊙于D,E两点,B⊥DE,垂足为
(1)证明:
∠BD=∠DBA;
(2)若AD=3D,B=2,求⊙的直径.
∵DE为⊙的直径,则∠BED+∠EDB=90°
又B⊥DE,∴∠BD+∠EDB=90°
从而∠BD=∠BED
又AB切⊙于点B,得∠DBA=∠BED,
∴∠BD=∠DBA
(2)由
(1)知BD平分∠BA,
则BAB=ADD=3,又B=2,从而AB=32,
∴A=AB2-B2=4,∴AD=3
由切割线定理得AB2=AD&
AE,即AE=AB2AD=6,
故DE=AE-AD=3,即⊙的直径为3
①与切线有关的角的证明问题,一般都要用到弦切角定理;
②计算与圆相关的线段长度问题,一般都要用到圆幂定理;
③注意三角形内角平分线定理的灵活应用.
吉林长春调研)如图,圆与圆N交于A,B两点,以A为切点作两圆的切线分别交圆和圆N于,D两点,延长DB交圆于点E,延长B交圆N于点F已知B=,BD=10
(1)求AB的长;
(2)求FDE
(1)根据弦切角定理,
知∠BA=∠BDA,∠AB=∠DAB,
∴△AB∽△DBA,则ABDB=BBA,
故AB2=B&
BD=0,AB=2
(2)根据切割线定理,知A2=B&
F,DA2=DB&
DE,
两式相除,得A2DA2=BDB&
FDE,*
由△AB∽△DBA,得ADA=ABDB=210=22,A2DA2=12,
又BDB=10=12,由*得FDE=1
1.用添加平行辅助线的方法构造平行线,是创造应用平行线等分线段定理与平行线分线段成比例定理的条.在使用平行线分线段成比例定理及推论时,一定要注意线段与边的对应.
2.在证明两个或两个以上的比例式相等时,往往需要找第三个比例式与它们都相等,这时可考虑利用平行线分线段成比例定理或推论,或考虑用线段代换,由相等的传递性得出结论.
3.证两个三角形相似,在已具备一角对应相等的条时,往往先探求是否有另一角对应相等,当此思路不通时,再探求等角的两边对应成比例.
4.等积式的证明是一种常见题型,其证题思路一般是化等积式为比例式,再由三角形相似或平行线分线段成比例定理证明.
.注意在证明圆的有关问题时,常常需要添加辅助线,添加辅助线的目的是为了打通已知与未知的通道,构造需要的边、角、三角形,如构造直径所对的圆周角,以便利用直径所对的圆周角是直角这一性质.要证明某直线是圆的切线,如果已知直线过圆上某一点,那么连接这点和圆心,证明该直线垂直于半径;
如果不知直线和圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线,证明圆心到直线的距离等于半径.已知某直线是圆的切线时,切点的位置一般是确定的,辅助线常常是连接圆心和切点.
6.证明多点共圆的常用方法
(1)证明几个点到某个定点距离相等;
(2)如果某两点在某条线段的同旁,证明这两点对这条线段的张角相等(例:
如图,若∠AB=∠ADB=90°
,则A,B,D,四点共圆).
(3)证明凸四边形内对角互补(或外角等于它的内角的对角).
7.相交弦定理、切割线定理和割线定理常与圆周角、弦切角定理联合运用,要注意在题中找相等的角,找相似三角形,从而得到线段的比或比例式.
1.如图,在△AB中,∠AED=∠B,DE=6,AB=10,AE=8,则B的长为( )A14B.712D24
由已知条∠AED=∠B,∠A为公共角,所以△ADE∽△AB,则有DEB=AEAB,从而B=6×
108=12故选
2.如图,半径为2的⊙中,∠AB=90°
,D为B的中点,AD的延长线交⊙于点E,则线段DE的长为( )A2B23D32
延长B交⊙于点F,由相交弦定理可知:
BD&
DF=AD&
DE又由题知BD=1,DF=3,AD=,因此DE=3故选
3.如图,⊙与⊙P相交于A,B两点,点P在⊙上,⊙的弦B切⊙P于点B,P及其延长线交⊙P于D,E两点,过点E作EF⊥E交B延长线于点F若D=2,B=22,则EF的长为( )A.1B2.2D.22
连结PB,B切⊙P于点B,PB⊥B,D=2,B=22,由切割线定理得B2=D&
E,E=4,DE=2,BP=1,又∵EF⊥E,∴△PB∽△FE,得EFPB=EB,解得EF=2故选B
4.如图,AD,AE,B分别与圆切于点D,E,F,延长AF与圆交于另一点G给出下列三个结论:
①AD+AE=AB+B+A;
②AF&
AG=AD&
AE;
③△AFB∽△ADG
其中正确结论的序号是( )
A.①②B.②③.①③D.①②③
∵F=E,BF=BD,∴B=E+BD
∴AB+B+A=(AB+BD)+(A+E)=AD+AE故结论①正确.
由切割线定理知AD2=AF&
AG,又AE=AD,∴AD&
AE=AF&
AG,故结论②正确.容易判断结论③不正确.故选A
.(201&
天津)如图,在圆中,,N是弦AB的三等分点,弦D,E分别经过点,N若=2,D=4,N=3,则线段NE的长为( )A83B.3103D3
由题意可得×
D=A×
B=AN×
NB=N×
NE,即2×
4=3NE,解得NE=83故选A
6.(2014&
天津)如图,△AB是圆的内接三角形,∠BA的平分线交圆于点D,交B于点E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F在上述条下,给出下列四个结论:
①BD平分∠BF;
②FB2=FD&
FA;
③AE&
E=BE&
DE;
④AF&
BD=AB&
BF
则所有正确结论的序号是( )
A.①②B.③④.①②③D.①②④
由弦切角定理得∠FBD=∠EA=∠BAE,又∠BFD=∠AFB,故△BFD∽△AFB,故BFAF=BDAB,即AF&
BF,④对,否定A,显然②正确.故选D
7.(2014&
重庆)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点),再作割线PB依次分别交圆于B,,若PA=6,A=8,B=9,则AB=__________.
如图,由PA2=PB&
P得62=PB(PB+9),解得PB=3再由∠=∠BAP及∠P为公共角得△ABP∽△AP,∴ABA=BPAP,∴AB=4故填4
8.(201&
广东)如图,已知AB是圆的直径,AB=4,E是圆的切线,切点为,B=1,过圆心作B的平行线,分别交E和A于点D和点P,则D=__________.解:
由题意得P=12B=12,A=2,于是PA=P=22-122=12,由于∠DP=∠B=∠PA&
#868;
△DP∽△AP,于是PDPA=PP&
PD=1212×
12=12,那么D=12+12=8故填8
9.(201&
湖南)如图,在⊙中,相交于点E的两弦AB,D的中点分别是,N,直线与直线D相交于点F证明:
(1)∠EN+∠N=180°
;
(2)FE&
FN=F&
F
(1)如图所示,∵,N分别是弦AB,D的中点,∴⊥AB,N⊥D,即∠E=∠EN=90°
,故∠EN+∠N=180°
(2)由
(1)知,,,E,N四点共圆,故由割线定理即得FE&
10.如图所示,PA为圆的切线,A为切点,P交圆于B,两点,PA=20,PB=10,∠BA的角平分线与B和圆分别交于点D和E
(1)求证:
AB&
P=PA&
A;
(2)求AD&
AE的值.
∵PA为圆的切线,
∴∠PAB=∠AP,又∠P为公共角,
∴△PAB∽△PA,∴ABA=PAP,∴AB&
A
(2)∵PA为圆的切线,P是过点的割线,
∴PA2=PB&
P,∴P=40,B=30,
又∵∠AB=90°
,∴A2+AB2=B2=900,又由
(1)知ABA=PAP=12,∴A=12,AB=6,连接E,则∠AE=∠EAB,△AE∽△ADB,ABAE=ADA,AD&
AE=AB&
A=6×
12=360
11.(2014&
新标Ⅱ)如图,P是⊙外一点,PA是切线,A为切点,割线PB与⊙相交于点B,,P=2PA,D为P的中点,AD的延长线交⊙于点E证明:
(1)BE=E;
(2)AD&
DE=2PB2
(1)连接AB,A由题设知PA=PD,故∠PAD=∠PDA∵∠PDA=∠DA+∠DA,
∠PAD=∠BAD+∠PAB,∠DA=∠PAB,
∴∠DA=∠BAD,从而BE︵=E︵
因此BE=E
(2)由切割线定理得PA2=PB&
P
∵PA=PD=D,∴D=2PB,BD=PB
由相交弦定理得AD&
DE=BD&
D,
∴AD&
DE=PB&
2PB=2PB2
全国Ⅱ)如图,为等腰三角形AB内一点,⊙与△AB的底边B交于,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,A分别相切于E,F两点.
(1)证明:
EF∥B;
(2)若AG等于⊙的半径,且AE=N=23,求四边形EBF的面积.
由于△AB是等腰三角形,AD⊥B,∴AD是∠AB的平分线.又∵⊙分别与AB,A相切于点E,F,∴AE=AF,故AD⊥EF从而