北师大版必修五简单线性规划教案Word格式文档下载.docx
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②探究交流导入新课思路2中的问题.
活动:
教师引导学生回顾二元一次不等式表示平面区域常用的方法是:
直线定界、原点定域.即先画出对应直线,再将原点坐标代入直线方程中,看其值比零大还是比零小.不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,是它们平面区域的公共部分.
接下来教师引领学生探究交流导入新课思路2中的问题,设x,y满足以下条件
求z=2x+y的最小值和最大值.
由前面知道,满足每个不等式的解集都可以表示一个平面区域,满足不等式组的解集则表示这些平面区域的公共区域(如图1).
图1
这时,问题转化为:
当点(x,y)在公共的平面区域内时,求z=2x+y的最小值和最大值.
为此,我们先来讨论当点(x,y)在整个坐标平面上变化时,z=2x+y值的变化规律.
当z=-3,-1,0,2,4时,可得到直线:
l2′:
2x+y=-3;
l1′:
2x+y=-1;
l0:
2x+y=0;
l1:
2x+y=2;
l2:
2x+y=4.
显然,这是一组平行线.
由图2可看出,当直线l0向上平移时,所对应的z随之增大;
当直线l0向下平移时,所对应的z随之减小.
图2
如图3,在把l0向上平移过程中,直线与平面区域首先相交的顶点A
所对应的z最小;
最后相交的顶点B
所对应的z最大.
图3
从而得到zmin=2×
+1=
;
zmax=2×
.
讨论结果:
①②略.
①上述探究的问题中,z的几何意义是什么?
结合图形说明.
②结合以上探究,理解什么是目标函数?
线性目标函数?
什么是线性规划?
弄清什么是可行解?
可行域?
最优解?
教师引导学生结合前面的探究与学生一起理解z的几何意义就是直线z=2x+y在y轴上的截距,让学生明确这点对灵活解题非常有帮助.
进一步探究上述问题,不等式组是一组对变量x、y的约束条件,由于这组约束条件都是关于x、y的一次
不等式,所以又可称其为线性约束条件.z=2x+y是欲达到最
大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式,我们把它称为目标函数.由于z=
2x+y又是关于x、y的一次解析式,所以又可叫作线性目标函数.线性约束条件除了用一次不等式表示外,也可用一次方程表示.
一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.例如:
我们刚才研
究的就是求线性目标函数z=2x+y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题,即为线性规划问题.满足线性约束条件的解(x,y)叫作可行解,由所有可行解组成的集合叫作可行域.其中,使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫
作这个问题的最优解.
例1已知x,y满足不等式
求z=3x+y的最小值.
可先找出可行域,平行移
动直线l0:
3x+y=0找出可行解,进而求出目标函数的最小值.
解:
不等式x+2y≥2表示直线x+2y=2上及其右上方的点的集合;
不等式2x+y≥1表示直线2x+y=1上及其
右上方的点的集合.
可行域如图4阴影部分所示.
图4
作直线l0:
3x+y=0,作一组与直线l0平行的直线l:
3x+y=t(t∈R).
∵x、y是上面不等式组表示的区域内的点的坐标,
由图4可知,当直线l:
3x+y=z通过点P(0,1)时,z取到最小值1,即zmin=1.
点评:
简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解,无论此类题目是以什么实际问题提出,其求解的格式与步骤是不变的.
(1)寻找线性约束条件,线性目标函数;
(2)由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域;
(3)在可行域内求目标函数的最优解.
变式训练
设变量x、y满足约束条件
则z=2x+3y的最大值是________.
解析:
画出可行域如图5,使2x+3y取得最大值的点为P.
图5
由
得
∴zmax=2×
3+3×
4=18.
答案:
18
例2求z=3x+5y的最大值和最小值,使式中的x、y满足约束条件
不等式组所表示的平面区域如图6所示.
图6
从图示可知直线3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共区域内的点时,以经过点(-2,-1)的直线所对应的t最小,以经过点
的直线所对应的t最大.
所以zmin=3×
(-2)+5×
(-1)=-11,zmax=3×
+5×
=17.
已知x,y满足
且z=2x+4y的最小值为-6,则常数k等于().
图7
A.2B.9C.3
D.0
如图7所示,当直线z=2x+4y经过两直线x=3和x+y+k=0的交点时,z有最小值-6,所以-
6=2×
3+4y.y=-3,代入x+y+k=0,得k=0.
D
例3已知x、y满足不等式组
试求z=300x+900y取最大值时整点的坐标及相应的z的最大值.
先画出平面区域,然后在平面区域内寻找使z=300x+900y取最大值时的整点.
图8
如图8所示,平面区域AOBC,点A(0,125),点B(150,0),
由方程组
得C
令t=300x+900y,
即y=-
x+
,
欲求z=300x+900y的最大值,即转化为求截距
的最大值,从而可求t的最大值.
因直线y=-
与直线y=-
x平行,
故作y=-
x的平行线.
当过点A(0,125)时,对应的直线的截距最大,
所以此时整点A使z取最大值,zmax=300×
0+900×
125=112500.
解决此类问题的关键是准确画出可行域.
求z=600x+300y的最大值,使式中的x、y满足约束条件
的整数值.
可行域如图9所示的四边形AOBC,易求点A(0,126),B(100,0),
图9
得点C的坐标为
因题设条件要求整点(x,y)使z=600x+300y取最大值,将点(69,91),(70,90)代入z=600x+300y,可知当
时,z取最大值为zmax=600×
70+300×
90=69000.
例4设x,y满足约束条件
(1)求目标函数z=2x+3y的最小值与最大值;
(2)求目标函数z=-4x+3y-24的最小值与最大值.
(1)作出可行域(如图10阴影部分).
图10
令z=0,作直线l:
2x+3y=0.
当把直线l向下平移时,所对应的z=2x+3y的函数值随之减小,所以,直线经过可行域的顶点B时,z=2x+3y取得最小值.
从图中可以看出,顶点B是直线x=-3与直线y=-4的交点,其坐标为(-3,-4);
当把l向上平移时,所对
应的z=2x+3y的函数值随之增大,所以直线经过可行域的顶点D时,z=2x+3y取得最大值.
解方程组
可以求得顶点D的坐标为(3,8).
此时,顶点B(-3,-4)与顶点D(3,8)为最优解.所以
zmin=2×
(-3)+3×
(-4)=-18,
8=30.
(2)可行域同
(1)(如图11阴影部分).
图11
-4x+3y=0,把直线l0向下平移时,所对应的z′=-4x+3y的函数值随之减小,即z=-4x+3y-24的函数值随之减小,从图11可以看出,直线经过可行域顶点C时,z′=-4x+3y取得最小值,即z=-4x+3y-24取得最小值.
顶点C是直线4x+3y=36与直线y=-4的交点,解方程组
得到顶点C的坐标(12,-4),代入目标函数z=-4x+3y-24,得
zmin=-4×
12+3×
(-4)-24=-84.
由于直线l0平行于直线-4x+3y=12,因此当把直线l0向上平移到l1时,l1与可行域的交点不止一个,而是线段AD上的所有点.
此时,zmax=12-24=-12.
(1)有条件的可用图形计算器或数学软件作出可行域,并动态显示目标函数的变化情况,进而直观地判断最优解.
(
2)二元线性规划问题中,最优解可能有无数多个.
(3)设目标函数z=Ax+By+C,在约束条件下,当B>0时,求目标函数z=Ax+By+C的最小值或最大值的求解程序为:
①作出可行域;
②作出直线l0∶Ax+By=0;
③确定l0的平移方向,依可行域判断取得最优解的点;
④解相关方程组,求出最优解,从而得出目标函数的最小值或最大值.
课本本节练习11~4.
1.由学生归纳整合本节学习的相关内容,重点探究了目标函数中y的系数大于0的情况.
2.教师简要强调,线性规划问题求解的格式与步骤.主要是寻找线性约束条件,目标函数,画出可行域,在可行域内求目标函数的最优解.
课本习题3—4A组5.
1.本教案设计强调多媒体教学.新大纲明确指出:
要积极创造条件,采用现代化的教学手段进行教学.根据本节知识本身的抽象性以及作图的复杂性,为突出重点、突破难点,增加教学容量,激发学生的学习兴趣,增强教学的条理性、形象性,本节课采用计算机辅助教学,以直观、生动地揭示可行域以及平移直线的动态变化情况.
2.优化教学过程.根据本节课的内容特点,本节课的设计采用启发引导、讲练结合的教学方法,着重于培养学生分析、解决问题的能力,以及良好的学习品质的形成.
3.本教案注重学生的探究过程,让学生体验探究问题的成就感,一切以学生自己的自主探究活动为主,教师不要越俎代庖.
第2课时
思路1.(直接导入)上节课,我们讨论了目标函数中y的系数大于0的情况,现在我们探究y的系数小于0的情况.
思路2.(复习导入)让学生回忆以前我们探究的二元一次不等式(组)表示平面区域的方法、步骤以及上节课所学线性规划的几个概念.教师提出,这一节我们将应用这些知识来进一步探究目标函数的最大值、最小值问题.进而引入新课.
①回忆上节课用图解法解决线性规划问题的步骤是什么?
②怎样利用约束条件求出目标函数的最优解?
怎样求目标函数的最优解的整数解?
教师与学生一起回忆上节课用图解法解决线性规划问题的步骤,之后教师可出示多媒体课件与学生共同探究求目标函数易错的地方.在解题中,平行移动直线时易出现失误,避免这个错误的办法是:
首先图形要画准确,把已知区域边界直线的斜率从小到大依次排序.再与目标函数的斜率相比较,这个斜率在已知区域边界直线的哪两个斜率之间,这个最优解就在哪两条直线的交点处取得.这是由斜率与倾斜角的递增关系所决定的.若要求的最优解是整数解,而我们利用图解法得到的解为非整数解(近似解),则应作适当的调整,其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据,在直线的附近与此直线距离最近的整点,不要在近似解附近寻找.
例1在约束条件
下,求目标函数z=3x-y的最小值和最大值.
本例目标函数中y的系数为-1,从直线截距的角度看z的几何意义是直线3x-y-z=0截距的相反数.因此当直线l0:
3x-y=0向上平移时,所对应的z随之减小;
当直线l0:
3x-y=0向下平移时,所对应的z随之增大.
当z=-4,-2,0,1,3时,可得到一组平行线
3x-y=-4;
3x-y=-2;
3x-y=0;
3x-y=1;
3x-y=3.
图12图13
由图12可知,当直线l0向上平移时,所对应的z随之减小;
当直线l0向下平移时,所对应的z随之增大.
作出可行域(如图13).
可知,z=3x-y随直线l0:
3x-y=0向上平移而减小,随l0向下平移而增大,所以,在顶点B取得最小值,在点A取得最大值.
顶点B是直线x+2y=4与直线x+2=0的交点,解方程组
可求出顶点B的坐标(-2,3),代入目标函数,即可得最小值zmin=3×
-2)-3=-9.
顶点A是直线x+2y=4与直线x-y=1的交点,解方程组
得到顶点A的坐标为(2,1),代入目标函数,即可得最大值zmax=3×
2-1=5.
充分利用数形结合,理解z的几何意义,弄清直线l0平移方向与目标函数的函数值的变化趋势的关系.
已知x,y满足约束条件
求目标函数z=2x-y的最大值和最小值.
根据x,y满足的约束条件作出可行域,即如图14所示的阴影部分(包括边界).
图14
2x-y=0,再作一组平行于l0的直线l:
2x-y=t,t∈R.
可知,当l在l0的右下方时,直线l上的点(x,y)满足2x-y>0,即t>0,而且直线l往右平移时,t随之增大.当直线l平移至l1的位置时,直线经过可行域上的点B,此时所对应的t最大;
当l在l0的左上方时,直线l上的点(x,y)满足2x-y<0,即t<0,而且直线l往左平移时,t随之减小.当直线l平移至l2的位置时,直线经过可行域上的点C,此时所对应的t最小.
解得点B的坐标为(5,3);
解得点C的坐标为(1,
).
所以zmax=2×
5-3=7;
1-
=-
例2求z=4a-2b在约束条件
下的最小值与最大值.
本例与上例的类型是一样的,教师可让学生独立探究完成,对个别困难学生给予适当点拨.
作出可行域(如图15).
图15
仿上例,可知z在顶点A取得最小值,在顶点C取得最大值.
得A
得C(3,1).
所以zmin=4×
-2×
=-1,zmax=4×
3-2×
1=10.
准确画出可行域是成功解决本例的关键.
点(x,y)是区域|x|+|y|≤1内的动点,求ax-y(a>0)的最大值及最小值.
区域|x|+|y|≤1为四条直线x+y=1,x-y=1,-x+y=1,-x-y=1所围成的区域,如图16
(1)和
(2)中的阴影部分.
图16
设z=ax-y(a>0),当a≥1时,设直线l0:
ax-y=0,并作一组平行于l0的直线ax-y=t,当直线位于l1位置时〔如图
(1)〕,即l1过点(-1,0)时,t取最小值;
当直线位于l2的位置时〔如图
(1)〕,即l2过点(1,0)时,t取最大值.
当0<a<1时,设直线l0′:
ax-y=0,作一组平行于l0′的直线ax-y=t,当直线位于l1′的位置时〔如图
(2)〕,即l1′过点(0,-1)时,取最大值1;
当直线位于l2′的位置时〔如图
(2)〕,即过点l2′(0,1)时,t取最小值-1.
综上所述,当a≥1时,ax-y的最大值为a,最小值为-a,当0<a<1时,ax-y的最大值为1,最小值为-1.
例3设x、y满足约束条件
分别求:
(1)z=6x+8y的最大值、最小值;
(2)z=2x-y的最大值、最小值;
(3)z=2x-y(x,y均为整数)的最大值、最小值.
(1)先作出可行域,如图17所示的△ABC的区域,且求得A(5,2)、B(1,1)、C
图17
作出直线l1:
6x+8y=0,再将直线l1平移,
当l1的平行线过B点时,可使z=6x+8y达到最小值;
当l1的平行线过A点时,可使z=6x+8y达到最大值.
∴zmin=6×
1+8×
1=14;
zmax=6×
5+8×
2=46.
(2)同上,作出直线l2:
2x-y=0,再将直线l2平移(图略),当l2的平行线过C点时,可使z=2x-y达到最小值;
当l2的平行线过A点时,可使z=2x-y达到最大值.
∴zmax=8,zmin=-
(3)同上,作出直线l3:
2x-y=0,再将直线l3平移(图略),
当l3的平行线过A点时,可使z=2x-y达到最大值,∴zmax=8.
当l3的平行线过C点时,可使z=2x-y达到最小值,
但由于
不是整数,而最优解(x,y)中,x,y必须都是整数,
∴可行域内的点C
不是最优解.
当l3的平行线经过可行域内的整点(1,4)时,可使z=2x-y达到最小值.
∴zmin=-2.
课本本节练习21~3.
1.让学生自己归纳整合本节所学的知识方法,并写出在线性约束条件下,当B<0时,求z=Ax+By+C的最小值或最大值的求解程序,自己在本节中的最大收获有哪些?
2.教师强调,通过本节学习,应全面掌握在线性约束条件下,求目标函数的最小值或最大值的方法,特别是求整点最优解的方法.
课本习题3-4A组6.
1.本节内容有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识.本节内容渗透了多种数学思想,是向学生进行数学思想方法教学的典
型教材,也是培养学生观察、作图能力的典型教材.
2.通过与上节类比,利用知识迁移,让学生更深入了解并掌握新知.这里强调的还有作图的规范问题,这是学生容易忽视的,但这又是本节课很重要的一部分内容.
3.关于难度把握问题,依据《新课标准》及教材分析,二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概念比较抽象,按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解,再加上学生对代数问题等价转化为几何问题,以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程,故本节知识内容定为了解层次.但这个了解不同于其他的了解,应注意让学生切实学会从实际问题抽象出约束条件及目标函数,并注意规范书写解答步骤.