北师大版必修五简单线性规划教案Word格式文档下载.docx

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②探究交流导入新课思路2中的问题.

活动：

教师引导学生回顾二元一次不等式表示平面区域常用的方法是：

直线定界、原点定域．即先画出对应直线，再将原点坐标代入直线方程中，看其值比零大还是比零小．不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，是它们平面区域的公共部分．

接下来教师引领学生探究交流导入新课思路2中的问题，设x，y满足以下条件

求z＝2x＋y的最小值和最大值．

由前面知道，满足每个不等式的解集都可以表示一个平面区域，满足不等式组的解集则表示这些平面区域的公共区域（如图1）．

图1

这时，问题转化为：

当点（x，y）在公共的平面区域内时，求z＝2x＋y的最小值和最大值．

为此，我们先来讨论当点（x，y）在整个坐标平面上变化时，z＝2x＋y值的变化规律．

当z＝－3，－1,0,2,4时，可得到直线：

l2′：

2x＋y＝－3；

l1′：

2x＋y＝－1；

l0：

2x＋y＝0；

l1：

2x＋y＝2；

l2：

2x＋y＝4.

显然，这是一组平行线．

由图2可看出，当直线l0向上平移时，所对应的z随之增大；

当直线l0向下平移时，所对应的z随之减小．

图2

如图3，在把l0向上平移过程中，直线与平面区域首先相交的顶点A

所对应的z最小；

最后相交的顶点B

所对应的z最大．

图3

从而得到zmin＝2×

＋1＝

；

zmax＝2×

.

讨论结果：

①②略．

①上述探究的问题中，z的几何意义是什么？

结合图形说明.

②结合以上探究，理解什么是目标函数？

线性目标函数？

什么是线性规划？

弄清什么是可行解？

可行域？

最优解？

教师引导学生结合前面的探究与学生一起理解z的几何意义就是直线z＝2x＋y在y轴上的截距，让学生明确这点对灵活解题非常有帮助．

进一步探究上述问题，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次

不等式，所以又可称其为线性约束条件．z＝2x＋y是欲达到最

大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数．由于z＝

2x＋y又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫作线性目标函数．线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．例如：

我们刚才研

究的就是求线性目标函数z＝2x＋y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题．满足线性约束条件的解（x，y）叫作可行解，由所有可行解组成的集合叫作可行域．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫

作这个问题的最优解．

例1已知x，y满足不等式

求z＝3x＋y的最小值．

可先找出可行域，平行移

动直线l0：

3x＋y＝0找出可行解，进而求出目标函数的最小值．

解：

不等式x＋2y≥2表示直线x＋2y＝2上及其右上方的点的集合；

不等式2x＋y≥1表示直线2x＋y＝1上及其

右上方的点的集合．

可行域如图4阴影部分所示．

图4

作直线l0：

3x＋y＝0，作一组与直线l0平行的直线l：

3x＋y＝t（t∈R）．

∵x、y是上面不等式组表示的区域内的点的坐标，

由图4可知，当直线l：

3x＋y＝z通过点P（0,1）时，z取到最小值1，即zmin＝1.

点评：

简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的．

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；

（3）在可行域内求目标函数的最优解.

变式训练

设变量x、y满足约束条件

则z＝2x＋3y的最大值是________．

解析：

画出可行域如图5，使2x＋3y取得最大值的点为P.

图5

由

得

∴zmax＝2×

3＋3×

4＝18.

答案：

18

例2求z＝3x＋5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件

不等式组所表示的平面区域如图6所示．

图6

从图示可知直线3x＋5y＝t在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（－2，－1）的直线所对应的t最小，以经过点

的直线所对应的t最大．

所以zmin＝3×

（－2）＋5×

（－1）＝－11，zmax＝3×

＋5×

＝17.

已知x，y满足

且z＝2x＋4y的最小值为－6，则常数k等于（）．

图7

A．2B．9C．3

D．0

如图7所示，当直线z＝2x＋4y经过两直线x＝3和x＋y＋k＝0的交点时，z有最小值－6，所以－

6＝2×

3＋4y.y＝－3，代入x＋y＋k＝0，得k＝0.

D

例3已知x、y满足不等式组

试求z＝300x＋900y取最大值时整点的坐标及相应的z的最大值．

先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使z＝300x＋900y取最大值时的整点．

图8

如图8所示，平面区域AOBC，点A（0,125），点B（150,0），

由方程组

得C

令t＝300x＋900y，

即y＝－

x＋

，

欲求z＝300x＋900y的最大值，即转化为求截距

的最大值，从而可求t的最大值．

因直线y＝－

与直线y＝－

x平行，

故作y＝－

x的平行线．

当过点A（0,125）时，对应的直线的截距最大，

所以此时整点A使z取最大值，zmax＝300×

0＋900×

125＝112500.

解决此类问题的关键是准确画出可行域.

求z＝600x＋300y的最大值，使式中的x、y满足约束条件

的整数值．

可行域如图9所示的四边形AOBC，易求点A（0,126），B（100,0），

图9

得点C的坐标为

因题设条件要求整点（x，y）使z＝600x＋300y取最大值，将点（69,91），（70,90）代入z＝600x＋300y，可知当

时，z取最大值为zmax＝600×

70＋300×

90＝69000.

例4设x，y满足约束条件

（1）求目标函数z＝2x＋3y的最小值与最大值；

（2）求目标函数z＝－4x＋3y－24的最小值与最大值．

（1）作出可行域（如图10阴影部分）．

图10

令z＝0，作直线l：

2x＋3y＝0.

当把直线l向下平移时，所对应的z＝2x＋3y的函数值随之减小，所以，直线经过可行域的顶点B时，z＝2x＋3y取得最小值．

从图中可以看出，顶点B是直线x＝－3与直线y＝－4的交点，其坐标为（－3，－4）；

当把l向上平移时，所对

应的z＝2x＋3y的函数值随之增大，所以直线经过可行域的顶点D时，z＝2x＋3y取得最大值．

解方程组

可以求得顶点D的坐标为（3,8）．

此时，顶点B（－3，－4）与顶点D（3,8）为最优解．所以

zmin＝2×

（－3）＋3×

（－4）＝－18，

8＝30.

（2）可行域同

（1）（如图11阴影部分）．

图11

－4x＋3y＝0，把直线l0向下平移时，所对应的z′＝－4x＋3y的函数值随之减小，即z＝－4x＋3y－24的函数值随之减小，从图11可以看出，直线经过可行域顶点C时，z′＝－4x＋3y取得最小值，即z＝－4x＋3y－24取得最小值．

顶点C是直线4x＋3y＝36与直线y＝－4的交点，解方程组

得到顶点C的坐标（12，－4），代入目标函数z＝－4x＋3y－24，得

zmin＝－4×

12＋3×

（－4）－24＝－84.

由于直线l0平行于直线－4x＋3y＝12，因此当把直线l0向上平移到l1时，l1与可行域的交点不止一个，而是线段AD上的所有点．

此时，zmax＝12－24＝－12.

（1）有条件的可用图形计算器或数学软件作出可行域，并动态显示目标函数的变化情况，进而直观地判断最优解．

（

2）二元线性规划问题中，最优解可能有无数多个．

（3）设目标函数z＝Ax＋By＋C，在约束条件下，当B＞0时，求目标函数z＝Ax＋By＋C的最小值或最大值的求解程序为：

①作出可行域；

②作出直线l0∶Ax＋By＝0；

③确定l0的平移方向，依可行域判断取得最优解的点；

④解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最小值或最大值．

课本本节练习11～4.

1．由学生归纳整合本节学习的相关内容，重点探究了目标函数中y的系数大于0的情况．

2．教师简要强调，线性规划问题求解的格式与步骤．主要是寻找线性约束条件，目标函数，画出可行域，在可行域内求目标函数的最优解．

课本习题3—4A组5.

1．本教案设计强调多媒体教学．新大纲明确指出：

要积极创造条件，采用现代化的教学手段进行教学．根据本节知识本身的抽象性以及作图的复杂性，为突出重点、突破难点，增加教学容量，激发学生的学习兴趣，增强教学的条理性、形象性，本节课采用计算机辅助教学，以直观、生动地揭示可行域以及平移直线的动态变化情况．

2．优化教学过程．根据本节课的内容特点，本节课的设计采用启发引导、讲练结合的教学方法，着重于培养学生分析、解决问题的能力，以及良好的学习品质的形成．

3．本教案注重学生的探究过程，让学生体验探究问题的成就感，一切以学生自己的自主探究活动为主，教师不要越俎代庖．

第2课时

思路1.（直接导入）上节课，我们讨论了目标函数中y的系数大于0的情况，现在我们探究y的系数小于0的情况．

思路2.（复习导入）让学生回忆以前我们探究的二元一次不等式（组）表示平面区域的方法、步骤以及上节课所学线性规划的几个概念．教师提出，这一节我们将应用这些知识来进一步探究目标函数的最大值、最小值问题．进而引入新课．

①回忆上节课用图解法解决线性规划问题的步骤是什么？

②怎样利用约束条件求出目标函数的最优解？

怎样求目标函数的最优解的整数解？

教师与学生一起回忆上节课用图解法解决线性规划问题的步骤，之后教师可出示多媒体课件与学生共同探究求目标函数易错的地方．在解题中，平行移动直线时易出现失误，避免这个错误的办法是：

首先图形要画准确，把已知区域边界直线的斜率从小到大依次排序．再与目标函数的斜率相比较，这个斜率在已知区域边界直线的哪两个斜率之间，这个最优解就在哪两条直线的交点处取得．这是由斜率与倾斜角的递增关系所决定的．若要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解（近似解），则应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近与此直线距离最近的整点，不要在近似解附近寻找．

例1在约束条件

下，求目标函数z＝3x－y的最小值和最大值．

本例目标函数中y的系数为－1，从直线截距的角度看z的几何意义是直线3x－y－z＝0截距的相反数．因此当直线l0：

3x－y＝0向上平移时，所对应的z随之减小；

当直线l0：

3x－y＝0向下平移时，所对应的z随之增大．

当z＝－4，－2,0,1,3时，可得到一组平行线

3x－y＝－4；

3x－y＝－2；

3x－y＝0；

3x－y＝1；

3x－y＝3.

图12图13

由图12可知，当直线l0向上平移时，所对应的z随之减小；

当直线l0向下平移时，所对应的z随之增大．

作出可行域（如图13）．

可知，z＝3x－y随直线l0：

3x－y＝0向上平移而减小，随l0向下平移而增大，所以，在顶点B取得最小值，在点A取得最大值．

顶点B是直线x＋2y＝4与直线x＋2＝0的交点，解方程组

可求出顶点B的坐标（－2,3），代入目标函数，即可得最小值zmin＝3×

－2）－3＝－9.

顶点A是直线x＋2y＝4与直线x－y＝1的交点，解方程组

得到顶点A的坐标为（2,1），代入目标函数，即可得最大值zmax＝3×

2－1＝5.

充分利用数形结合，理解z的几何意义，弄清直线l0平移方向与目标函数的函数值的变化趋势的关系.

已知x，y满足约束条件

求目标函数z＝2x－y的最大值和最小值．

根据x，y满足的约束条件作出可行域，即如图14所示的阴影部分（包括边界）.

图14

2x－y＝0，再作一组平行于l0的直线l：

2x－y＝t，t∈R.

可知，当l在l0的右下方时，直线l上的点（x，y）满足2x－y＞0，即t＞0，而且直线l往右平移时，t随之增大．当直线l平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点B，此时所对应的t最大；

当l在l0的左上方时，直线l上的点（x，y）满足2x－y＜0，即t＜0，而且直线l往左平移时，t随之减小．当直线l平移至l2的位置时，直线经过可行域上的点C，此时所对应的t最小．

解得点B的坐标为（5,3）；

解得点C的坐标为（1，

）．

所以zmax＝2×

5－3＝7；

1－

＝－

例2求z＝4a－2b在约束条件

下的最小值与最大值．

本例与上例的类型是一样的，教师可让学生独立探究完成，对个别困难学生给予适当点拨．

作出可行域（如图15）．

图15

仿上例，可知z在顶点A取得最小值，在顶点C取得最大值．

得A

得C（3,1）．

所以zmin＝4×

－2×

＝－1，zmax＝4×

3－2×

1＝10.

准确画出可行域是成功解决本例的关键.

点（x，y）是区域|x|＋|y|≤1内的动点，求ax－y（a＞0）的最大值及最小值．

区域|x|＋|y|≤1为四条直线x＋y＝1，x－y＝1，－x＋y＝1，－x－y＝1所围成的区域，如图16

（1）和

（2）中的阴影部分．

图16

设z＝ax－y（a＞0），当a≥1时，设直线l0：

ax－y＝0，并作一组平行于l0的直线ax－y＝t，当直线位于l1位置时〔如图

（1）〕，即l1过点（－1,0）时，t取最小值；

当直线位于l2的位置时〔如图

（1）〕，即l2过点（1,0）时，t取最大值．

当0＜a＜1时，设直线l0′：

ax－y＝0，作一组平行于l0′的直线ax－y＝t，当直线位于l1′的位置时〔如图

（2）〕，即l1′过点（0，－1）时，取最大值1；

当直线位于l2′的位置时〔如图

（2）〕，即过点l2′（0,1）时，t取最小值－1.

综上所述，当a≥1时，ax－y的最大值为a，最小值为－a，当0＜a＜1时，ax－y的最大值为1，最小值为－1.

例3设x、y满足约束条件

分别求：

（1）z＝6x＋8y的最大值、最小值；

（2）z＝2x－y的最大值、最小值；

（3）z＝2x－y（x，y均为整数）的最大值、最小值．

（1）先作出可行域，如图17所示的△ABC的区域，且求得A（5,2）、B（1,1）、C

图17

作出直线l1：

6x＋8y＝0，再将直线l1平移，

当l1的平行线过B点时，可使z＝6x＋8y达到最小值；

当l1的平行线过A点时，可使z＝6x＋8y达到最大值．

∴zmin＝6×

1＋8×

1＝14；

zmax＝6×

5＋8×

2＝46.

（2）同上，作出直线l2：

2x－y＝0，再将直线l2平移（图略），当l2的平行线过C点时，可使z＝2x－y达到最小值；

当l2的平行线过A点时，可使z＝2x－y达到最大值．

∴zmax＝8，zmin＝－

（3）同上，作出直线l3：

2x－y＝0，再将直线l3平移（图略），

当l3的平行线过A点时，可使z＝2x－y达到最大值，∴zmax＝8.

当l3的平行线过C点时，可使z＝2x－y达到最小值，

但由于

不是整数，而最优解（x，y）中，x，y必须都是整数，

∴可行域内的点C

不是最优解．

当l3的平行线经过可行域内的整点（1,4）时，可使z＝2x－y达到最小值．

∴zmin＝－2.

课本本节练习21～3.

1．让学生自己归纳整合本节所学的知识方法，并写出在线性约束条件下，当B＜0时，求z＝Ax＋By＋C的最小值或最大值的求解程序，自己在本节中的最大收获有哪些？

2．教师强调，通过本节学习，应全面掌握在线性约束条件下，求目标函数的最小值或最大值的方法，特别是求整点最优解的方法．

课本习题3－4A组6.

1．本节内容有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识．本节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的典

型教材，也是培养学生观察、作图能力的典型教材．

2．通过与上节类比，利用知识迁移，让学生更深入了解并掌握新知．这里强调的还有作图的规范问题，这是学生容易忽视的，但这又是本节课很重要的一部分内容．

3．关于难度把握问题，依据《新课标准》及教材分析，二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概念比较抽象，按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，再加上学生对代数问题等价转化为几何问题，以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程，故本节知识内容定为了解层次．但这个了解不同于其他的了解，应注意让学生切实学会从实际问题抽象出约束条件及目标函数，并注意规范书写解答步骤．