中考第一轮复习圆 课件37文档格式.docx

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平分弦（不是直径）的直径，并且平分弦所对的两条弧.

3.弧、弦、圆心角的关系

（1）定理：

在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的相等，所对的也相等；

（2）推论：

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中的一组量相等，那么它们对应的其余各组量都分别相等.

4.圆周角定理

在中，同弧或等弧所对的圆周角，都等于这条弧所对的圆心角的.

①同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧.

②半圆（或直径）所对的圆周角是，90°

的圆周角所对的弦是.

典例诠释

考点一同弧上的圆心角和圆周角的关系

例1如图1-12-1，在⊙O中，∠ACB＝34°

，则∠AOB的度数是（）

图1-12-1

A.17°

B.34°

C.56°

D.68°

【答案】D

【名师点评】理解同弧上圆心角和圆周角的关系，并能准确识别.

考点二垂径定理的应用

例2如图1-12-2，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB=，则⊙O的半径为（）

图1-12-2

A.B.2C.D.

【答案】A

【名师点评】此类问题常利用垂径定理把弦长、半径、圆心距转化到同一个直角三角形中，然后利用勾股定理求解.

基础精练

1.（2016·

西城二模）如图1-12-3，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB于点E.若AB=24，OE=5，则⊙O的半径为（）

A.15B.13C.12D.10

图1-12-3

【答案】B

2.（2016·

海淀一模）如图1-12-4，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点C.若AB=8，OC=3，则⊙O的半径长为.

图1-12-4

【答案】5

3.（2016·

大兴一模）如图1-12-5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若CD＝6，OE=4，则⊙O的直径为（）

图1-12-5

A.5B.6C.8D.10

4.（2016·

门头沟一模）如图1-12-6，⊙O的半径长为2，点A为⊙O上一点，半径OD⊥弦BC于点D，如果∠BAC=60°

，那么OD的长是（）

图1-12-6

A.2B.C.1D.

【答案】C

5.（2016·

西城一模）在数学实践活动课中，小辉利用自己制作的一把“直角角尺”测量、计算一些圆的直径.如图1-12-7，直角角尺中，∠AOB=90°

，将点O放在圆周上，分别确定OA，OB与圆的交点C，D，读得数据OC=8，OD=9，则此圆的直径约为（）

A.17B.14C.12D.10

图1-12-7

6.（2016·

朝阳二模）如图1-12-8，在⊙O中，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若OB的长为10，sin∠BOD=，则AB的长为.

图1-12-8

【答案】16

7.（2016·

海淀二模）如图1-12-9，A，B，C，D为⊙O上的点，OC⊥AB于点E，若∠CDB=30°

，OA=2，则AB的长为（）

图1-12-9

A.B.2C.2D.4

8.（2016·

东城期末）如图1-12-10，⊙O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，∠P=30°

，则弦AB的长为.

图1-12-10

A.2B.2C.D.2

9.（2016·

东城期末）如图1-12-11，点A,B,C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°

，∠B=30°

，则∠ADC的度数为（）

图1-12-11

A.70°

B.90°

C.110°

D.120°

10.（2016·

丰台期末）小宏用直角三角板检查某些工件的弧形凹面是否是半圆，下列工件的弧形凹面一定是半圆的是（）

ABCD

11.（2016·

门头沟期末）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：

“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？

”

用数学语言可以表述为：

“如图1-12-12，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，如果CE=1，AB=10，那么直径CD的长为.”

图1-12-12

【答案】26

12.（2016·

平谷期末）如图1-12-13，把一个宽度为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：

cm），那么光盘的直径是（）

图1-12-13

A.5cmB.8cmC.10cmD.12cm

13.（2016·

南京）如图1-12-14,扇形OAB的圆心角为122°

C是上一点，则∠ACB=°

.

图1-12-14图1-12-15

【解】如图1-12-15,设扇形OAB所在的圆为⊙O，在优弧AB上取一点D，连接AD,BD,则四边形ACBD为圆内接四边形.∵∠AOB=122°

，∴∠ADB=∠AOB=61°

.在圆内接四边形ACBD中,∵∠ADB+∠ACB=180°

，∴∠ACB=180°

－∠ADB=180°

－61°

=119°

14.（2016·

通州期末）小明四等分弧AB，他的作法如下：

（1）连接AB（如图1-12-16）；

（2）作AB的垂直平分线CD交弧AB于点M，交AB于点T；

（3）分别作AT，TB的垂直平分线EF，GH，交弧AB于点N，P，则N，M，P三点把弧AB四等分.你认为小明的作法是否正确：

，理由是.

图1-12-16

【答案】不正确，弦AN与MN不等，≠.

真题演练

1.（2014·

北京）如图1-12-17，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是点E，∠A=22.5°

，OC=4，CD的长为（）

图1-12-17

A.2B.4C.4D.8

2.（2010·

北京）如图1-12-18，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB,垂足为点E，连接OC，若OC=5,CD=8,则AE=.

图1-12-18

【答案】2

3.（2009·

北京）如图1-12-19，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，点E为上一点，若∠CEA=28°

，则∠ABD=.

图1-12-19

【答案】28°

第二节与圆有关的位置关系

点和圆的位置关系

了解点和圆的位置关系

尺规作图（利用基本作图完成）：

过不在同一直线上的三点作圆；

能利用点与圆的位置关系解决有关简单问题

直线和圆的位置关系

了解直线和圆的位置关系；

会判断直线和圆的位置关系；

理解切线与过切点的半径的关系；

会用三角尺过圆上一点画圆的切线

掌握切线的概念；

能利用切线的判定与性质解决有关简单问题；

能利用直线和圆的位置关系解决有关简单问题；

能利用切线长定理解决有关简单问题

运用切线的有关内容解决有关问题

★★★★★

知识要点

1.点和圆的位置关系

若圆的半径是r，点到圆心的距离是d，那么点在圆外⇔；

点在圆上⇔；

点在圆内⇔.

2.直线和圆的位置关系

如果圆的半径是r，圆心到直线l的距离是d，那么直线l和⊙O相交⇔；

直线l和⊙O相切⇔；

直线l和⊙O相离⇔.

3.圆的切线的性质与判定

（1）切线的定义：

直线和圆只有公共点时，这条直线叫做圆的切线.

（2）切线的性质：

圆的切线于过切点的半径.

（3）判定：

①和圆有公共点的直线是圆的切线；

②圆心到直线的距离等于圆的，那么这条直线是圆的切线（作垂直证半径）；

③经过半径外端并且于这条半径的直线是圆的切线（作半径证垂直）.

（4）切线长:

①切线的定义：

经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长；

②切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长，这点和圆心的连线两条切线的夹角.

4.确定圆的条件：

的三个点确定一个圆.

5.尺规作图（利用基本作图完成）：

如图1-12-20，过不在同一直线上的三点作圆.

已知：

不在同一条直线上的三个点A，B，C.

求作：

圆O，使它经过点A，B，C.

图1-12-20

考点一确定圆的条件

例1如图1-12-21，在5×

5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）

图1-12-21

A.点PB.点QC.点RD.点M

【名师点评】此题考查经过不共线的三个点作一个圆的方法，即作任意两条线段的垂直平分线，交点即为此圆的圆心.

考点二点、直线和圆的位置关系

例2在平面直角坐标系xOy中，以点（－3，4）为圆心，4为半径的圆（）

A.与x轴相交，与y轴相切B.与x轴相离，与y轴相交

C.与x轴相切，与y轴相交D.与x轴相切，与y轴相离

【名师点评】此题要能画出图形，结合图形来判断直线和圆的位置关系，画图是解题关键.

考点三圆的切线的性质与判定

例3（2016·

海淀一模）如图1-12-22，AB，AD是⊙O的弦，AO平分∠BAD.过点B作⊙O的切线交AO的延长线于点C，连接CD，BO.延长BO交⊙O于点E，交AD于点F，连接AE，DE.

（1）求证：

CD是⊙O的切线；

（2）若AE=DE=3，求AF的长.

图1-12-22

（1）

【证明】如图1-12-23，连接OD.

图1-12-23

∵BC为⊙O的切线，

∴∠CBO=90°

∵AO平分∠BAD，

∴∠1=∠2.

∵OA=OB=OD，∴∠1=∠4=∠2=∠5，

∴∠BOC=∠DOC,∴△BOC≌△DOC，

∴∠CBO=∠CDO=90°

，

∴CD为⊙O的切线.

（2）

【解】∵AE=DE，∴=,∴∠3=∠4.

∵∠1=∠2=∠4，∴∠1=∠2=∠3.

∵BE为⊙O的直径，

∴∠BAE=90°

∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°

∴∠AFE=90°

在Rt△AFE中，∵AE=3，∠3=30°

∴AF=.

【名师点评】

（1）要证明CD是⊙O的切线，连接半径OD，证明∠ODC=90°

，结合角平分线和等腰三角形的知识，证明△BOC≌△DOC即可.

（2）利用“在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”可以得到∠DAE=∠ABE=30°

.又由BE为⊙O直径，可知∠BAE＝90°

，即而∠BAF=60°

，故∠AFE=90°

，在△AFE中，AF可解.

考点四切线长定理的应用

例4如图1-12-24,PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，已知∠P＝60°

，OA＝3，那么∠AOB所对劣弧的长度为（）

图1-12-24

A.6πB.5πC.3πD.2π

【名师点评】此题考查切线的性质和四边形内角和定理，先求出∠AOB的度数，再利用弧长公式计算弧AB的长.

昌平期末）已知⊙O的半径长为5，若点P在⊙O内，那么下列结论正确的是（）

A.OP＞5B.OP=5C.0＜OP＜5D.0≤OP＜5

通州一模）如图1-12-25，在5×

5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（－2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（）

图1-12-25

A.（0，0）B.（－1，1）C.（－1，0）D.（－1，－1）

西城期末）如图1-12-26，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P.若∠AOB=90°

，OP=6，则OC的长为（）

图1-12-26

A.12B.12C.6D.6

东城期末）如图1-12-27，AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使AC=3BC，CD与⊙O相切于D点，若CD=,则⊙O半径的长为.

图1-12-27

【答案】1

东城期末）阅读下面材料：

在数学课上，老师提出如下问题：

尺规作图：

如图1-12-28，过圆外一点作圆的切线.

⊙O和点P.

过点P的⊙O的切线.

图1-12-28

小涵的主要作法如下：

如图1-12-29，

（1）连接OP，作线段OP的中点A；

（2）以A为圆心，OA长为半径作圆，交⊙O于点B，C；

（3）作直线PB和PC，

所以PB和PC就是所求的切线.

图1-12-29

老师说：

“小涵的作法正确.”

请回答：

小涵的作图依据是.

【答案】直径所对的圆周角为直角；

经过半径的外端，并且垂直于半径的直线是圆的切线

朝阳一模）如图1-12-30，点D在⊙O上，过点D的切线交直径AB的延长线于点P，DC⊥AB于点C.

DB平分∠PDC；

（2）若DC=6，tan∠P=，求BC的长.

图1-12-30

【证明】如图1-12-31，连接OD.

图1-12-31

∵DP是⊙O的切线，

∴OD⊥DP，∴∠ODP=90°

∴∠ODB+∠BDP=90°

又∵DC⊥OB，

∴∠DCB=90°

∴∠BDC+∠OBD=90°

∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD,

∴∠OBD+∠BDP=90°

∴∠BDP=∠BDC,∴DB平分∠PDC.

（2）

【解】如图1-12-32，过点B作BE⊥DP于点E.

图1-12-32

∵∠BDP=∠BDC，BC⊥DC，

∴BC=BE.

∵DC=6，tan∠P=，

∴DP=10，PC=8.

设BC=x，则BE=x，BP=8－x.

∵△PEB∽△PCD，∴=,

∴x=3,∴BC=3.

东城一模）如图1-12-33，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB.

（1）求证：

PB是⊙O的切线.

（2）若PB=3，DB=4，求DE的长.

图1-12-33

（1）

【证明】∵∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，

∴∠PBO=∠E=90°

∴PB是⊙O的切线.

【解】∵PB=3，DB=4，

∴PD=5.

设⊙O的半径的长是r，

如图1-12-34，连接OC.

图1-12-34

∵PD切⊙O于点C，

∴OC⊥PD.

∴.

∴.∴r=.

可求出PO=.

易证△DEO∽△PBO,∴=.

解得DE=.

石景山一模）如图1-12-35，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交CA的延长线于点F.

EF⊥AB.

（2）若∠C=30°

，EF=，求EB的长.

图1-12-35

【证明】如图1-12-36,连接OD，AD，

图1-12-36

∵AC为⊙O的直径，

∴∠ADC=90°

又∵AB=AC，

∴CD=DB.又CO=AO，∴OD∥AB.

∵FD是⊙O的切线，

∴OD⊥DF,∴EF⊥AB.

【解】∵∠C=30°

∴∠AOD=60°

在Rt△ODF中，∠ODF=90°

，∴∠F=30°

∴OA=OD=OF.

在Rt△AEF中，∠AEF=90°

，∠F=30°

∵EF=，∴AE=.

∵OD∥AB，OA=OC=AF，

∴OD=2AE=2，AB=2OD=4.

∴EB=AB－AE=3.

丰台一模）如图1-12-37，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F.

图1-12-37

∠CBF=∠CAB；

（2）连接BD，AE交于点H，若AB=5，tan∠CBF=，求BH的长.

【证明】连接AE，如图1-12-38.

图1-12-38

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB=90°

∵AB=AC，

∴∠EAB=∠CAB.

∵BF是⊙O的切线，

∴∠ABE+∠CBF=90°

∵∠ABE+∠EAB=90°

∴∠CBF=∠EAB,∴∠CBF=∠CAB.

【解】如图1-12-39.

图1-12-39

∵tan∠EAB=tan∠CBF=，

又∵AB=5，

∴在Rt△ABE中，由勾股定理可得BE=.

∵=，

∴∠EBD=∠EAC=∠EAB.

∴tan∠EBD=tan∠EAB=,∴=,

∴EH=.∴BH==.

西城一模）如图1-12-40，在△ABC中，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点D.点E在上，连接DE，AE，连接CE并延长交AB于点F，∠AED=∠ACF.

CF⊥AB；

（2）若CD=4，CB=4，cos∠ACF=，求EF的长.

图1-12-40

【证明】连接BD，如图1-12-41.

图1-12-41

∴∠ADB=90°

∴∠DAB+∠1=90°

∵∠1=∠2，∠2＝∠3，

∴∠1＝∠3.∴∠DAB+∠3=90°

∴∠CFA=180°

－（∠DAB+∠3）=90°

∴CF⊥AB.

【解】连接OE，如图1-12-42.

图1-12-42

∵∠ADB=90°

，∴∠CDB=180°

－∠ADB=90°

∵在Rt△CDB中，CD=4，CB=4，

∴DB==8.

∵∠1＝∠3，

∴cos∠1=cos∠3=.

∵在Rt△ABD中，cos∠1==，∴AB=10.

∴OA=OE=5，AD==6.

∵CD=4，∴AC=AD+CD=10.

∴在Rt△ACF中，CF=AC·

cos∠3=8.

∴AF==6.∴OF=AF－OA=1.

∴在Rt△OEF中，EF==2.

西城二模）如图1-12-43，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CB的延长线上，连接AC，AE，∠ACB=∠BAE=45°

图1-12-43

AE是⊙O的切线；

（2）若AB=AD，AC=2，tan∠ADC=3，求CD的长.

【证明】连接OA，OB，如图1-12-44.

图1-12-44

∵∠ACB=45°

∴∠AOB=2∠ACB=90°

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA=45°

∵∠BAE=45°

∴∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°

∴OA⊥AE.

∵点A在⊙O上，∴AE是⊙O的切线.

【解】过点A作AF⊥CD于点F，如图1-12-45.

图1-12-45

∵AB=AD，∴=.

∴∠ACB=∠ACD=45°

∵AF⊥CD于点F，∴∠AFC=∠AFD=90°

∴∠ACF=∠CAF=45°

∴AF=CF.

∵AC=2，

∴在Rt△AFC中，AF=CF=AC·

sin∠ACF=2.

∵在Rt△AFD中，tanD==3，

∴DF=.

∴CD=CF+DF=.

朝阳二模）如图1-12-46，O是∠MAN的边AN上一点，以OA为半径作⊙O，交∠MAN的平分线于点D，DE⊥AM于点E.

图1-12-46

DE是⊙O的切线；

（2）连接OE，若∠EDA=30°

，AE=1，求OE的长.

【证明】如图1-12-47,连接OD.

图1-12-47

∵AD平分∠MAN，

∴∠EAD=∠OAD.

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD.

∴∠EAD=∠ODA.

∵DE⊥AM于E，∴∠AED=90°

∴∠EAD+∠EDA=90°

∴∠ODA+∠EDA=90°

∴OD⊥ED.∴DE是⊙O的切线.

【解】如图1-12-48,

图1-12-48

∵∠EDA=30°

∴∠ODA=60°

∴△ADO为等边三角形.

在Rt△AED中，AE=1，可得AD=2，ED=.

∴OD=AD=2.

在Rt△ODE中，由勾股定理可得OE=.

13.（2016·

东城二模）如图1-12-49，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F.

∠ABC=2∠FAC；

（2）若AC=2，sin∠CAF=,求BE的长.

图1-12-49

【证明】如图1-12-50，连接BD.

图1-12-50

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°

∴∠DAB+∠DBA=90°

∵BA=BC，∴∠ABC=2∠DBA，AD=AC.

∵AF为⊙O的切线，

∴∠FAB=90°

∴∠FAC+∠CAB=90°

∴∠FAC=∠DBA.∴∠ABC=2∠FAC.

【解】如图1-12-51,连接AE,

∴∠AEB=∠AEC=90°

图1-12-51

∵sin∠CAF=，∠ABD=∠CAF=∠CBD=∠CAE，

∴sin∠ABD=sin∠CAF=.

，AD=AC=,

∴AB==10,∴BC=BA=10.

∵∠AEC=90°

，AC=2，

∴CE=AC·

sin∠CAE=2.

∴BE=BC－CE=10－2=8.

海淀二模）如图1-12-52，在△ABC中，∠C=90°

，点E在AB上，以AE为直径的⊙O切BC于点D，连接AD.

图1-12-52

AD平分∠BAC；

（2）若⊙O