中考数学 几何专项突破等腰三角形和直角三角形含详解版Word格式文档下载.docx

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F

图2

巩固练习

1、若等腰三角形的一个内角为50°

，则这个等腰三角形顶角的度数为 

. 

2．在△ABC中，AB＝AC，D为AC边上一点，且BD＝BC＝AD．则∠A等于（）

A．30°

B．36°

C．45°

D．72°

3.已知：

如图，AC和BD相交于点O，AB∥CD，OA=OB，求证：

OC=OD

4.如图，已知P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求∠BAC的度数。

5.已知：

如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别为AB，BC，AC上的点，且BD=CE，∠DEF=∠B。

△DEF是等腰三角形。

6.若三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形的形状是 

．

7.在直角三角形中，若一锐角为30°

，而斜边与30°

角所对的边的和为15cm，则斜边的长为（）

A、3cmB、7.5cmC、10cmD、12cm

8.如图，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且△DEF是等边三角形

（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等的线段，并证明你的猜想是正确的。

（2）你所证明相等的线段可以通过怎么样的变化相互得到？

写出变化过程。

9.已知：

如图，网格中的小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点在格点上。

△ABC是等腰直角三角形。

10．如图，在△ABC中，，，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（ 

）

A、5个 

B、4个 

C、3个 

D、2个

11．如图，已知OA＝

，P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝600，填空：

（1）当OP＝时，△AOP为等边三角形；

（2）当OP＝时，△AOP为直角三角形；

（3）当OP满足时，△AOP为锐角三角形；

（4）当OP满足时，△AOP为钝角三角形。

12.如图，

中，

于

一定能确定

为直角三角形的条件的个数是（）

①

②

③

④

⑤

A．1　B．2．3D．4

2

12

13.数学活动课上，老师在黑板上画直线平行于射线AN（如图），让同学们在直线l和射线AN上各找一点B和C，使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形．这样的三角形最多能画个．

14.如图，

是等边三角形ABC的外接圆，

的半径为2，

则等边三角形ABC的边长为（）

A．B．C．D．

15．一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）

A．7B．9C．12D．9或12

16．已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为 

（ 

A. 

B. 

C.或 

D.或

17．如图，在等腰三角形

，

为底边

上一动点（不与点

重合），

，垂足分别为

，求

的长．

18.如图，在等腰

，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持

．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：

是等腰直角三角形；

②四边形CDFE不可能为正方形，

③DE长度的最小值为4；

④四边形CDFE的面积保持不变；

⑤△CDE面积的最大值为8．

其中正确的结论是（）

A．①②③B．①④⑤C．①③④D．③④⑤

19．在

中，AC=BC，

，点D为AC的中点．

（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°

得到线段DF，连结CF，过点F作

，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明．

（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，

（1）中的其他条件不变，你在

（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．

参考答案

例1【答案】：

D．

【解析】根据等腰三角形的性质等边对等角得到∠C=∠B=70°

，再根据三角形内角和定理得∠A=180°

-∠C-∠B=180°

-70°

=40°

.故选D.

【方法指导】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理.等腰三角形性质：

等边对等角；

“三线合一”.三角形内角和定理：

三角形内角和为180°

.

例2：

等腰三角形的性质；

三角形三边关系．

分析：

因为已知长度为4和8两边，没由明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．

解答：

解：

①当4为底时，其它两边都为8，

4、8、8可以构成三角形，

周长为20；

②当4为腰时，

其它两边为4和8，

∵4+4=8，

∴不能构成三角形，故舍去，

∴答案只有20．

故选C．

点评：

本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；

已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

例3【答案】

【解析】直接求解．另外，也可以过点C作CF⊥DE，根据DE＝2EF，将问题转化为求EF，这又可以通过在Rt△CEF中运用勾股定理或锐角三角函数求解．

例4【思路分析】

（1）证△ABE≌△ACE即可．

（2）△AEF和△BCF已具备两组角对应相等，因此只需证有一组对应边相等．由∠BAC＝45°

可知ABF为等腰直角三角形，于是找到对应边AF，BF相等．

【解】证明：

（1）∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠BAE＝∠CAE．

在△ABE和△ACE中，

∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，

△ABE≌△ACE．

∴BE＝CE．

（2）∵∠BAC＝45°

，BF⊥AF，

∴△ABF为等腰直角三角形．∴AF＝BF．

由

（1）知AD⊥BC，∴∠EAF＝∠CBF．

在△AEF和△BCF中，AF＝BF，∠AFE＝∠BFC＝90°

，∠EAF＝∠CBF，

∴△AEF≌△BCF．

【方法指导】证三角形全等，关键是证角相等或边相等．全等三角形的判定方法有：

SAS、ASA、AAS、SSS和HL（HL为直角三角形专用）．等腰三角形的三线合一性在三角形全等的证明中有较广泛的应用.

1、【答案】50°

或80°

2．【答案】B

3. 

证明：

∵AB∥CD 

（已知）

∴∠A=∠C，∠B=∠D 

（两直线平行，内错角相等）

∵OA=OB 

∴∠A=∠B 

（等边对等角）

∴∠C=∠D 

（等量代换）

∴OC=OD 

（等角对等边）

4. 

【答案】

∵AP=PQ=AQ（已知）

∴△APQ是等边三角形（等边三角形的定义）

∴∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°

（等边三角形的性质）

∵AP=BP（已知）

∴∠PBA=∠PAB（等边对等角）

又∠APQ=∠PAB+∠PBA=60°

∴∠PBA=∠PAB=30°

同理∠QAC=30°

∴∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC=30°

+60°

+30°

=120°

5.【答案】证明：

∵∠B+∠BDE+∠BED=180°

（三角形内角和定理）

∠BED+∠DEF+∠FEC=180°

（平角性质）

∠B=∠DEF（已知）

∴∠BDE=∠FEC（等角的补角相等）

在△BED和△CFE中

∠BDE=∠FEC中 

（已证）

BD=CE 

∠B=∠C 

∴△BED≌△CFE（ASA）

∴DE=EF 

（全等三角形对应边相等）

∴△DEF是等腰三角形 

（等腰三角形定义）

6. 

【答案】直角三角形

7. 

【答案】C

8.【答案】解：

（1）图中还有相等的线段 

AE=BF=CD，AF=BD=CE

（2）线段AE、BF、CD绕△ABC的中心按顺时针方向旋转120°

互相得到线段。

AF、BD、CE绕△ABC的中心按顺时针方向旋转120°

互相得到。

9.【答案】通过勾股定理计算得到AC=

=BC

10．【答案】A

11．【答案】

（1）

；

（2）

或

（3）

＜OP＜

（4）0＜OP＜

或OP＞

12.【答案】C

13.【答案】3

14.【答案】C

15．【答案】C

16．【答案】C

17．．【答案】3

18.【答案】B

19．【答案】

（1）FH与FC的数量关系是：

．…1分

延长

交

于点G，

由题意，知∠EDF=∠ACB=90°

，DE=DF．

∴DG∥CB．

∵点D为AC的中点，

∴点G为AB的中点，且

∴DG为

的中位线．

∴

∵AC=BC，

∴DC=DG．

∴DC-DE=DG-DF．

即EC=FG．

∵∠EDF=90°

∴∠1+∠CFD=90°

，∠2+∠CFD=90°

∴∠1=∠2．

∵

与

都是等腰直角三角形，

∴∠DEF=∠DGA=45°

∴∠CEF=∠FGH=135°

．

∴△CEF≌△FGH．

∴CF=FH．

（2）FH与FC仍然相等．