小学四年级拓展课程教案文档格式.docx

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任务5-1问题展示

任务5-2尝试小练习

任务5-3小组交流总结方法

盈亏问题

（一）

任务6-1问题展示

任务6-2尝试小练习

任务6-3小组交流总结方法

盈亏问题

（二）

任务7-1问题展示

任务7-2尝试小练习

任务7-3小组交流总结方法

盈亏问题（三）

任务8-1问题展示

任务8-2尝试小练习

任务8-3小组交流总结方法

倍数问题

任务9-1问题展示

任务9-2尝试小练习

任务9-3小组交流总结方法

鸡兔同笼

任务10-1问题展示

任务10-2尝试小练习

任务10-3小组交流总结方法

小学拓展课程教案

授课日期

指导教师

胡柏灿

学生人数

20人

缺席学生姓名

教学目标

1.会求等差数列的和利用首项和末项以及公差之间的关系求项数，求末项，求公差，求首项。

教具学具

投影仪

教

过

第1讲高斯求和

　　德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：

　　1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？

　　老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。

高斯为什么算得又快又准呢？

原来小高斯通过细心观察发现：

　　1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

　　1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。

于是，小高斯把这道题巧算为

　（1+100）×

100÷

2＝5050。

　　小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

　　若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。

后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。

例如：

（1）1，2，3，4，5，…，100；

（2）1，3，5，7，9，…，99；

（3）8，15，22，29，36，…，71。

　　其中

（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；

（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；

（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。

　　由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：

和=（首项+末项）×

项数÷

2。

例11＋2＋3＋…＋1999＝？

分析与解：

这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。

由等差数列求和公式可得

　　原式=（1＋1999）×

1999÷

2＝1999000。

　　注意：

利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。

例211＋12＋13＋…＋31＝？

这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。

原式=（11+31）×

21÷

2=441。

在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。

根据首项、末项、公差的关系，可以得到

项数=（末项-首项）÷

公差+1，

末项=首项+公差×

（项数-1）。

例33＋7＋11＋…＋99＝？

3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，

项数=（99－3）÷

4＋1＝25，

原式=（3＋99）×

25÷

2＝1275。

例4求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。

解：

末项=25＋3×

（40-1）＝142，

和=（25＋142）×

40÷

2＝3340。

利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。

效

果

及

反

思

求和基本上都能完成要求，但求项数往往漏加1，或者对加1不了解，还是求末项往往多加一个公差，就是学生对首项到底增加多少等于末项不理解。

应该多让学生体会增加的公差个数+1才等于项数。

一、练习

1.计算下列各题：

（1）2＋4＋6＋…＋200；

（2）17＋19＋21＋…＋39；

（3）5＋8＋11＋14＋…＋50；

（4）3＋10＋17＋24＋…＋101。

2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。

3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。

4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。

问：

时钟一昼夜敲打多少次？

5.求100以内除以3余2的所有数的和。

6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？

二、小组讨论

1.如何才能对求末项和项数之间的求解熟练掌握

基本上能掌握练习要求，只是对增加几个公差和项数之间的联系还不是很熟练。

利用数量关系解决实际问题中的行程问题

1．学会解决实际的行程问题

2．学会画线段图解决问题

行程问题

（一）

　　路程、时间、速度是行程问题的三个基本量，它们之间的关系如下：

路程=时间×

速度，

时间=路程÷

速度=路程÷

时间。

　　这一讲就是通过例题加深对这三个基本数量关系的理解。

　　例1一个车队以4米/秒的速度缓缓通过一座长200米的大桥，共用115秒。

已知每辆车长5米，两车间隔10米。

这个车队共有多少辆车？

　　分析与解：

求车队有多少辆车，需要先求出车队的长度，而车队的长度等于车队115秒行的路程减去大桥的长度。

由“路程=时间×

速度”可求出车队115秒行的路程为4×

115=460（米）。

　　故车队长度为460-200=260（米）。

再由植树问题可得车队共有车（260-5）÷

（5+10）+1=18（辆）。

　　例2骑自行车从甲地到乙地，以10千米/时的速度行进，下午1点到；

以15千米/时的速度行进，上午11点到。

如果希望中午12点到，那么应以怎样的速度行进？

这道题没有出发时间，没有甲、乙两地的距离，也就是说既没有时间又没有路程，似乎无法求速度。

这就需要通过已知条件，求出时间和路程。

　　假设A，B两人同时从甲地出发到乙地，A每小时行10千米，下午1点到；

B每小时行15千米，上午11点到。

B到乙地时，A距乙地还有10×

2=20（千米），这20千米是B从甲地到乙地这段时间B比A多行的路程。

因为B比A每小时多行15-10=5（千米），所以B从甲地到乙地所用的时间是

　　20÷

（15-10）=4（时）。

　　由此知，A，B是上午7点出发的，甲、乙两地的距离是

　　15×

4=60（千米）。

　　要想中午12点到，即想（12-7=）5时行60千米，速度应为

　　60÷

（12-7）=12（千米/时）。

　　例3划船比赛前讨论了两个比赛方案。

第一个方案是在比赛中分别以2.5米/秒和3.5米/秒的速度各划行赛程的一半；

第二个方案是在比赛中分别以2.5米/秒和3.5米/秒的速度各划行比赛时间的一半。

这两个方案哪个好？

路程一定时，速度越快，所用时间越短。

在这两个方案中，速度不是固定的，因此不好直接比较。

在第二个方案中，因为两种速度划行的时间相同，所以以3.5米/秒的速度划行的路程比以2.5米/秒的速度划行的路程长。

用单线表示以2.5米/秒的速度划行的路程，用双线表示以3.5米/秒的速度划行的路程，可画出下图所示的两个方案的比较图。

其中，甲段+乙段=丙段。

　　在甲、丙两段中，两个方案所用时间相同；

在乙段，因为路程相同，且第二种方案比第一种方案速度快，所以第二种方案比第一种方案所用时间短。

　　综上所述，在两种方案中，第二种方案所用时间比第一种方案少，即第二种方案好。

学生能完成用数量关系来解决实际问题，但是在应用能力上有待加强，主要是在线段图的利用上更应注重。

3．学会解决实际的行程问题

4．学会画线段图解决问题

本讲重点讲相遇问题和追及问题。

在这两个问题中，路程、时间、速度的关系表现为：

相遇问题：

追击问题：

在实际问题中，总是已知路程、时间、速度中的两个，求另一个。

　　例1甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米。

两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，相遇后3时，甲车到达B地。

求A，B两地的距离。

先画示意图如下：

　　图中C点为相遇地点。

因为从C点到B点，甲车行3时，所以C，B两地的距离为40×

3=120（千米）。

　　这120千米乙车行了120÷

60=2（时），说明相遇时两车已各行驶了2时，所以A，B两地的距离是　（40+60）×

2=200（千米）。

　　例2小明每天早晨按时从家出发上学，李大爷每天早晨也定时出门散步，两人相向而行，小明每分钟行60米，李大爷每分钟行40米，他们每天都在同一时刻相遇。

有一天小明提前出门，因此比平时早9分钟与李大爷相遇，这天小明比平时提前多少分钟出门？

因为提前9分钟相遇，说明李大爷出门时，小明已经比平时多走了两人9分钟合走的路，即多走了（60+40）×

9=900（米），

　　所以小明比平时早出门900÷

60=15（分）。

　　例3小刚在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步，他散步的速度是2米/秒，这时迎面开来一列火车，从车头到车尾经过他身旁共用18秒。

已知火车全长342米，求火车的速度。

　　在上图中，A是小刚与火车相遇地点，B是小刚与火车离开地点。

由题意知，18秒小刚从A走到B，火车头从A走到C，因为C到B正好是火车的长度，所以18秒小刚与火车共行了342米，推知小刚与火车的速度和是342÷

18=19（米/秒），

　　从而求出火车的速度为19-2=17（米/秒）。

　　例4铁路线旁边有一条沿铁路方向的公路，公路上一辆拖拉机正以20千米/时的速度行驶。

这时，一列火车以56千米/时的速度从后面开过来，火车从车头到车尾经过拖拉机身旁用了37秒。

求火车的全长。

　　分析与解

　　与例3类似，只不过由相向而行的相遇问题变成了同向而行的追及问题。

由上图知，37秒火车头从B走到C，拖拉机从B走到A，火车比拖拉机多行一个火车车长的路程。

用米作长度单位，用秒作时间单位，求得火车车长为

　　速度差×

追及时间

=[（56000-20000）÷

3600]×

37

=370（米）。

对所学情况掌握还可以，但是自己画图能力还有待加强，应该在学生会画图的基础上理解数量关系，这样学生才能更好的理解，掌握和应用甚至创造性的解决问题。

5．学会解决实际的行程问题

6．学会画线段图解决问题

行程问题练习

　　1.甲、乙二人上午8时同时从东村骑车到西村去，甲每小时比乙快6千米，中午12点甲到达西村后立即返回东村，在距西村15千米处遇到乙。

东、西两村相距多远？

2.红星小学组织学生排成队步行去郊游，步行的速度是1米/秒，队尾的王老师以2.5米/秒的速度赶到排头，然后立即返回队尾，共用10分钟。

求队伍的长度。

3.甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，两人同向而行，甲26分钟赶上乙；

两人相向而行，6分钟可相遇。

已知乙每分钟行50米，求A，B两地的距离。

4.某人沿公路前进，迎面来了一辆汽车，他问司机：

“后面有骑自行车的人吗？

”司机回答：

“10分钟前我超过一个骑自行车的人。

”这人继续走了10分钟，遇到了这个骑自行车的人。

如果自行车的速度是人步行速度的3倍，那么，汽车速度是人步行速度的多少倍？

5.某人沿着电车道旁的便道以4.5千米/时的速度步行，每7.2分钟有一辆电车迎面开过，每12分钟有一辆电车从后面追过。

如果电车按相等的时间间隔发车，并以同一速度不停地往返运行，那么电车的速度是多少？

电车发车的时间间隔是多少？

6.铁路旁有一条小路，一列长110米的火车以30千米/时的速度向南驶去，8点时追上向南行走的一名工人，15秒后离他而去，8点6分迎面遇到一个向北行走的农民，12秒后离开这个农民。

工人与农民何时相遇？

7.小红从家到火车站赶乘火车，每小时行4千米，火车开时她还离车站1千米；

每小时行5千米，她就早到车站12分钟。

小红家离火车站多少千米？

这些练习题都需要画线段图和仔细的审题才能发现规律，学生自主解答这些题目的难度比较大，尽量安排学生能够在课后自己在能自主的解答这些题目。

盈亏问题

1、掌握盈亏问题的解答方法并理解其意思

盈亏问题

（一）

人们在分东西的时候，经常会遇到剩余（盈）或不足（亏），根据分东西过程中的盈或亏所编成的应用题叫做盈亏问题。

例1小朋友分糖果，若每人分4粒则多9粒；

若每人分5粒则少6粒。

有多少个小朋友分多少粒糖？

　　分析：

由题目条件可以知道，小朋友的人数与糖的粒数是不变的。

比较两种分配方案，第一种方案每人分4粒就多9粒，第二种方案每人分5粒就少6粒，两种不同的方案一多一少相差9＋6＝15（粒）。

相差的原因在于两种方案的分配数不同，第一种方案每人分4粒，第二种方案每人分5粒，两次分配数之差为5－4＝1（粒）。

每人相差1粒，多少人相差15粒呢？

由此求出小朋友的人数为15÷

1＝15（人），糖果的粒数为

　　4×

15＋9＝69（粒）。

（9＋6）÷

（5-4）＝15（人），

　　答：

有15个小朋友，分69粒糖。

例2小朋友分糖果，若每人分3粒则剩2粒；

有多少个小朋友？

多少粒糖果？

本题与例1基本相同，例1中两次分配数之差是5-4=1（粒），本题中两次分配数之差是5-3＝2（粒）。

例1中，两种分配方案的盈数与亏数之和为9＋6＝15（粒），本题中，两种分配方案的盈数与亏数之和为2＋6=8（粒）。

仿照例1的解法即可。

（6＋2）÷

（4——2）＝4（人），

　　3×

4＋2＝14（粒）。

有4个小朋友，14粒糖果。

　　由例1、例2看出，所谓盈亏问题，就是把一定数量的东西分给一定数量的人，由两种分配方案产生不同的盈亏数，反过来求出分配的总人数与被分配东西的总数量。

解题的关键在于确定两次分配数之差与盈亏总额（盈数+亏数），由此得到求解盈亏问题的公式：

分配总人数=盈亏总额÷

两次分配数之差。

　　需要注意的是，两种分配方案的结果不一定总是一“盈”一“亏”，也会出现两“盈”、两“亏”、一“不盈不亏”一“盈”或“亏”等情况。

例3小朋友分糖果，每人分10粒，正好分完；

若每人分16粒，则有3个小朋友分不到糖果。

有多少粒糖果？

第一种方案是不盈不亏，第二种方案是亏16×

3＝48（粒），所以盈亏总额是0＋48=48（粒），而两次分配数之差是16——10＝6（粒）。

由盈亏问题的公式得

　　有小朋友（0＋16×

3）÷

（16——10）＝8（人），

　　有糖10×

8＝80（粒）。

学生完成度还可以，但就是表达意思上面有所欠缺。

尽量安排学生能够在课上表述自己在解答这些题目的想法。

盈亏问题

（二）

　　例4一批小朋友去买东西，若每人出10元则多8元；

若每人出7元则少4元。

东西的价格是多少？

两种购物方案的盈亏总额是8＋4＝12（元），两次分配数之差是10——7＝3（元）。

由公式得到

　　小朋友的人数（8＋4）÷

（10——7）＝4（人），

　　东西的价格是10×

4——8＝32（元）。

例5顾老师到新华书店去买书，若买5本则多3元；

若买7本则少1.8元。

这本书的单价是多少？

顾老师共带了多少元钱？

买5本多3元，买7本少1.8元。

盈亏总额为3＋1.8=4.8（元），这4.8元刚好可以买7——5＝2（本）书，因此每本书4.8÷

2=2.4（元），顾老师共带钱

　　2.4×

5＋3＝15（元）。

例6王老师去买儿童小提琴，若买7把，则所带的钱差110元；

若买5把，则所带的钱还差30元。

儿童小提琴多少钱一把？

王老师带了多少钱？

本题在购物的两个方案中，每一个方案都出现钱不足的情况，买7把小提琴差110元，买5把小提琴差30元。

从买7把变成买5把，少买了7——5=2（把）提琴，而钱的差额减少了110——30＝80（元），即80元钱可以买2把小提琴，可见小提琴的单价为每把40元钱。

（110——30）÷

（7——5）＝40（元），

　　40×

7——110＝170（元）。

小提琴40元一把，王老师带了170元钱。

盈亏问题（三）

1．小朋友分糖果，每人3粒，余30粒；

每人5粒，少4粒。

多少粒糖？

2．一个汽车队运输一批货物，如果每辆汽车运3500千克，那么货物还剩下5000千克；

如果每辆汽车运4000千克，那么货物还剩下500千克。

这个汽车队有多少辆汽车？

要运的货物有多少千克？

3．学校买来一批图书。

若每人发9本，则少25本；

若每人发6本，则少7本。

有多少个学生？

买了多少本图书？

4．参加美术活动小组的同学，分配若干支彩色笔。

如果每人分4支，那么多12支；

如果每人分8支，那么恰有1人没分到笔。

有多少同学？

多少支彩色笔？

5．红星小学去春游。

如果每辆车坐60人，那么有15人上不了车；

如果每辆车多坐5人，那么恰好多出一辆车。

有多少辆车？

多少个学生？

6．某数的8倍减去153，比其5倍多66，求这个数。

7．某厂运来一批煤，如果每天烧1500千克，那么比原计划提前一天烧完；

如果每天烧1000千克，那么将比原计划多用一天。

现在要求按原计划烧完，那么每天应烧煤多少千克？

8．同学们为学校搬砖，每人搬18块，还余2块；

每人搬20块，就有一位同学没砖可搬。

共有砖多少块？

1、通过本课学习让学生充分体会“画线段图”对分析解决问题的好处。

2、培养学生根据题意画出线段图，以及根据线段图解决问题的能力。

　　《用线段图解决倍数问题》教学设计

一、激趣引入。

1、出示智力题，让学生解答。

2、让学生谈一谈做题的感受。

3、师：

我愿意为同学们表演一个节目，这里有四个题，做对了第一题，我给同学们摆pose，做对了第二题我给同学们背首诗，做对了第三题我给同学们唱首歌，做对了第四题我给同学们跳个舞。

请选择。

4、多数学生：

选择第四题！

5、教师出示第四题，学生思考。

6、教师统计做出来的同学有多少。

（可能没有）师：

看来还得从简单一点的坐起，看能否从简单的题中获得一些方法，再来解决难一点的题吧。

二、探究方法解决问题

（一）教学第一题

1、出示第一题：

果园里有桃树和杏树共240棵，其中桃树的棵数是杏树的2倍，两种树各种了多少棵？

2、让学独立完成。

（这个题可能有二学生会做，有的学生不会做）

3、让会做的学生将他们的解题思路讲出来（学生有可能讲得不太清楚），然后引导学生画线段图来表达他们的意思。

4、教师演示线段图的画法。

然后让学生根据线段图解决问题。

5、总结方法。

（二）教学第二题

1、出示第二题：

饲养场养的鸡比鸭多80只，