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下面让我们从更多的事例、更多的方面来领略数学文化的风采。
第一节《几何原本》与理性思维
《几何原本》欧几里得（Euclid，公元前330—公元前275）通过收集、整理前人和别人的成果并加以自己的独特的构造设计完成了一部划时代的著作《几何原本》。
全书13卷，共有467个命题。
在开卷里，欧几里得首先精心选择了23个定义；
其次分别列出了五个公设和五个公理（按亚里士多德规定：
公理是一切科学所共有的真理，而公设则是各门科学所特有的原理）；
最后，欧几里得通过逻辑演绎由公设和公理（并依据相应的定义）逐一引出了467个命题。
《几何原本》的第一卷到第四卷主要是直边形和圆的基本性质及有关的命题；
第五卷是比例理论，这一卷把比例关系的理论推广到不可公度的量从而避免了无理数；
第六卷是利用比例理论讨论和研究相似形的问题；
第七、八、九卷是数论理论，它讨论研究了有关整数和整数之比性质的有关命题；
第十卷是不可公度量的分类；
第十一、十二、十三卷是立体几何的有关命题。
对于欧几里得的贡献，人们给予了高度的评价。
欧几里得系统地收集、整理、筛选了古希腊已有的数学成果，并对此进行精心的安排和处理，不仅很好地避开了当时还没有解决的困难，更是按照逻辑方法将其组织成了一个演绎系统，从而，在人类数学史上第一次给出了一个公理化了的数学理论体系。
也正因为如此，《几何原本》就跨越地域、民族、语言和时间的一切障碍而传播到了整个世界，公理化方法作为数学的一种理论形式更为人们所普遍接受。
即人们普遍有了这样的认识：
所有的数学理论，都必须按照数学的定义、公理（公设）和三段论式的逻辑论证来组织，并由此构成数学结构的大厦。
从而，《几何原本》事实上就已成为数学发展中高高树起的一面旗帜，西方数学乃至今日全部的数学都跟随这个飘扬的旗帜而前进着。
也正是在这样的意义下，可以毫不夸张地说，《几何原本》作为人类智慧的光辉结晶，它在数学史上的作用是没有任何一本著作可以与之比拟的。
综述把《几何原本》放在古希腊文化的系统中，并从文化史的宏观角度去进行分析，可以看到她有着更为广泛和重要的意义。
《几何原本》依据柏拉图哲学、亚里士多德的逻辑学和欧几里得的精心构思，所表现出的已不仅是一种数学命题的真理特征，更为重要的是它借助数学表现了一种认识世界、表述世界的独特文化意义，并由此给人们提供一种思维的理性方式：
从几个简单的原理出发，可以逻辑演绎出整个理论体系，进而表现这个理论所揭示的真理。
一种数学方法能最终演化成为一种认识世界的理性思维方式，这不能不说是数学所能达到的最高的文化意义。
第二节微积分与西方文化
微积分微积分——这部无限的交响乐是由全世界千千万万的数学工作者经历了2500年之久用才智、汗水、血泪等谱写而成的，正如著名数学家R.柯朗所指出的：
“微积分乃是一种撼人心灵的智力奋斗的结晶”。
微积分是自古希腊《几何原本》建立以来最伟大的成就，她是数学史上一座高峰。
因此熟悉这学科的历史发展，了解人类的这一巨大精神财富、文化财富的积累过程和历代数学家艰苦卓绝的奋斗精神，对于陶冶一个人的数学思想情操，增长与提高数学意识与思维能力，形成数学世界观都将具有重要的意义。
17世纪前后，正是欧洲封建主义日趋没落，新兴的资本主义急剧发展的时期，由于生产力的不断提高、科学技术的不断进步，航海、天文、力学、军事、机械都向数学提出了大量迫切需要解决的数学问题，这促使了微积分的产生和发展。
牛顿、莱布尼茨于17世纪后半叶正式发明微积分，并在18世纪里获得了蓬勃发展，当19世纪的数学家们为这一学科奠定了牢固的逻辑基础时，古典微积分才基本完成，到了20世纪它又在不同的方向上有了新的发展。
促使微积分理论的建立，主要有以下四类问题：
第一类是研究物体运动时出现的问题，即已知物体移动的距离表示为时间的函数公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；
反之，已知物体的加速度表示为时间的函数公式，求物体的速度和距离。
第二类是光学研究中出现的问题，此类问题在研究物体运行轨迹时也会遇到，即如何求取曲线的切线。
第三类是在战争中火炮应用方面的问题。
例如，由于炮弹的射程依赖于炮筒与地面的倾斜角度（发射角），因此，一个具体而又实际的问题就是要求得具有最远射程的发射角——从数学的角度看，这就是要求取函数的最大值（与最小值）。
第四类问题包括求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心等。
就微积分的创建而言，有许许多多的数学家作过贡献，而所有这些工作的一个共同特征就是运用了“无穷小方法”。
微积分的建立意味着数学结束了“常量数学”时期，而进入了一个新的“变量数学”时期，具体分析为：
第一，微积分的诞生结束了从古希腊以来几何学统治数学发展的历史。
第二，微积分的确立改变了数学概念的来源。
从古希腊开始，数学的对象都是来自直观、形象化的概念，然而微积分中的概念却更多地带有思维创造的特征而并非直接立足于直观经验。
第三，微积分的创立以及微积分代数化的发展方向，不仅改变了以往以几何为主流的数学方向，更为重要的是无穷小的出现及其运算破坏了古希腊几何逻辑运演的严谨性和完美性，使人们不得不重新考虑数学的基础和数学的理论依据等问题。
综述微积分作为一种新的数学方法，引起了众多的讨论甚至争论，如果这些讨论和争论只局限在数学家的群体之中，那就是一个纯粹的学术问题，一代解决不了留给下一代去解决。
然而事实并非如此，这些讨论和争论已进入到一个宗教和哲学的层面，进而在整个西方文化的核心层面引起了争论。
微积分学说与上帝的对立，使整个西方的宗教、哲学界都积极参与到这场表面上是数学而实质上则是文化的争论中去。
这里不得不提到参与这场讨论与争论的有作为红衣主教的贝克莱和作为马克思主义学说创造人的马克思，这充分说明，西方的数学与文化之间存在着一种特殊的关系，西方文化中数学作为一种理性、作为一种宗教或哲学解释世界的形式有何等的重要，当数学与传统文化出现矛盾时会产生多么大的震动！
第三节非欧几何的创立与数学的变革
非欧几何非欧几何是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果，它的创立，不仅带来了近百年来数学的巨大进步，而且对现代物理学、天文学以及人类时空观念的变革都产生了深远的影响。
《几何原本》作为古希腊数学的一种总结性再创造，作为欧几里得精心雕琢的数学模式，成为古希腊文化中的一块瑰宝。
但是，无论是把欧氏几何作为一种哲学的表现，还是把它作为一种基督教神的教义理性，欧氏几何中有关第五公设（即：
同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧面两个内角的和小于两直角，则这两条直线无限延长后在这一侧相交）的论述总让人感到有某些不尽人意的遗憾，比如语言叙述冗长，与公理、公设应有的明显、直观性和不证自明的真理程度似乎有些差别。
特别是，在第五公设的叙述中还隐含有直线可以无限延长的涵义，由于古希腊人在数学中对无限基本上采取了一种完全排斥的态度，因此这也引起了人们的关注和不安。
出于对柏拉图哲学的领悟，或是出于对欧氏几何体系的爱护，再加上后来对神学宗教的信仰，人们一直都希望能对欧几里得的第五公设做出新的叙述或能对它进行证明将其从公设中去掉而成为一个定理。
从公元前300年到公元1800年的这两千多年的时间里，几乎所有有作为的数学家、神学家都在第五公设上投入了大量的精力：
哲学家、神学家希望能由此进一步完善欧氏几何的理想化地位，数学家则希望能使几何的逻辑演绎体系更加完美。
然而，在长达两千多年的时间中尽管数学家使用了不同的方法，结果却都没能获得成功。
这里有数学家萨开里（Saccheri1667-1733）、兰伯特（Lambert1728-1777）和陶里努斯（Taurinus1794-1874）等人对非欧几何逻辑可能性的初步认识，但他们的努力离非欧几何的确立只有一步之遥。
两千多年的失败历史无疑促使人们对这种证明的方法和目的等做出一定的反思，特别是由于正面的努力始终未能获得成功，因此，一些数学家就开始了反面的努力，即是希望能从相反的规定引出矛盾而用反证法证明第五公设。
这种反证法的基本思想是，为证“第五公设不可证”，首先对第五公设加以否定，然后用这个否定命题和其它公理公设组成新的公理系统，并由此展开逻辑推演。
假设第五公设是可证的，即第五公设可由其它公理公设推演出来，那么，在新公理系统的推演过程中一定能出现逻辑矛盾，至少第五公设和它的否定命题就是一对逻辑矛盾；
反之，如果推演不出矛盾，就反驳了“第五公设可证”这一假设，从而也就间接证得“第五公设不可证”。
经过了漫长的时间旅途，最终登上最高峰的非欧几何创立人是三位数学家：
高斯、鲍耶和罗切夫斯基。
在这三位数学家中，高斯的突出贡献在于：
他清楚地认识到非欧几何像欧氏几何一样也可能被用于描述物质空间。
他有明确的非欧几何观念，相当完整地完成了非欧几何的创建工作。
但是，由于他害怕别人不理解，却没有将这方面的研究成果公布于世。
在他去世以后，他的书信的公布才大大地推动了人们对非欧几何的认同和理解；
鲍耶对非欧几何的创立也做出了杰出的贡献，他对于非欧几何在数学上的意义考虑了比较深入，对新几何的无矛盾性进行了长时间思索，并力图找到一种有关新几何无矛盾的证明；
非欧几何，这个从欧几里得时代开始就纠缠数学家的噩梦，最终得到了完美的解决，而最完整、最先出版非欧几何的研究成果、并最早得到社会承认的是俄国数学家罗巴切夫斯基，他所做的主要工作是对第五公设的等价命题普列菲尔公理“过平面上直线外一点，只能引一条直线与已知直线不相交”作以否定，得到否定命题“过平面上直线外一点，至少可引两条直线与已知直线不相交”，并用这个否定命题和其它公理公设组成新的公理系统展开逻辑推演。
在推演过程中，他得到一连串古怪的命题，但是经过仔细审查，却没有发现它们之间含有任何逻辑矛盾。
于是，远见卓识的罗巴切夫斯基大胆断言，这个“在结果中并不存在任何矛盾”的新公理系统可构成一种新的几何，它的逻辑完整性和严密性可以和欧几里得几何相媲美。
而这个无矛盾的新几何的存在，就是对第五公设可证性的反驳，也就是对第五公设不可证性的逻辑证明。
由于尚未找到新几何在现实世界的原型和类比物，罗巴切夫斯基慎重地把这个新几何称之为“想象几何”，后称为非欧几何。
综述尽管非欧几何的建立结束了数学界中的两千多年的一件“公案”，但是值得思考的是：
为什么萨开里、兰伯特和陶里努斯等人已经站在了非欧几何的大门口，但却没有能够成功地跨出最后的一步？
这里除了有个人的因素外，主要是整体性的文化环境，特别是思想观念在这过程中所发挥的重要作用。
而高斯、鲍耶和罗切夫斯基能够创立非欧几何，一个首要的原因在于他们敢向欧氏几何的绝对真理性提出明确的挑战。
因为事实上，非欧几何所表现出来的是对欧氏几何真理性、客观性和实在性的挑战。
非欧几何的建立在西方的数学史上，是引起数学观念根本性变革的一件大事，因为对非欧几何的确认，实际上就已经意味着从古希腊以来的、以数学为代表的绝对真理观的终结；
同时更是促进了西方数学在整个文化中的地位、发展方向和价值观念的重大变化，它标志着人类的数学脱离了原有文化加在数学上的各种非数学自身所应有的重负。
第四节数学与理性
综述就一个民族或国家的生存与发展而言，理性精神应当说是特别的重要，因为它集中地体现了人们对于外部的客观世界与自身的总体性看法或基本态度。
就西方理性精神的形成和发展而言，数学应当说发挥了十分重要的作用，这就从宏观的角度最为清楚地表明了数学的文化价值。
可以从以下几方面理解数学理性的主要内涵：
1．主客体的严格区分。
在自然界的研究中，我们应当采取纯客观的、理智的态度，而不应掺杂有任何主观的、情感的成分。
显然，从数学的角度去分析，这种客体化的研究立场是十分自然的，这正是数学研究的一个主要特征，即尽管数学对象并非现实世界中的真实存在，而只是抽象思维的产物，但是在数学研究中，我们采取纯客观的立场，也即把数学对象看成是一种不依赖于人类的独立存在，并通过严格的逻辑分析去揭示其固有的性质和相互关系。
2．对自然界的研究应当是精确的、定量的，而不应是含糊的、直觉的。
这不仅直接关系到科学研究的基本方法，而且也表明了科学研究的基本目标，即是要揭示自然界内在的数学规律；
另外，从根本上说，这又可以被看成“自然界是有规律的，这些规律是可以认识的”这一基本思想的具体体现和进一步展开。
由于这一思想清楚地表明了“数学理性”的“数学”特征，因此，在所说的意义上，就可以被看成“数学理性”的核心所在。
3．批判的精神和开放的头脑。
所谓“批判的精神”，实质上就是表明了这样一种真理观，即任何权威，或是自身的强烈信念，都不能被看成判断真理性的可靠依据；
恰恰相反，一切真理都必须接受理性法庭的裁决。
事实上，数学既是在古希腊，批判的精神就可被看成理性精神的一个重要内涵。
例如，尽管亚里士多德是柏拉图的学生，但他仍然对柏拉图的理念论进行了尖锐的批判，“吾爱吾师，但吾更爱真理”，亚里士多德的这一名言即集中地体现了理性的批判精神。
而在对数学真理的探索过程中要求人们始终保持头脑的“开放性”。
这就是说，如果一个假说或理论已被证明是错误的，那么，无论自己先前曾有过怎样强烈的信念，现在都应与之划清界限；
同样地，如果一个假说或理论已经得到了理性的确证，那么，无论自己先前对此具有怎样的反感，现在又都应当自觉地去接受这一真理。
4．抽象的、超验的思维取向。
数学作为“模式的科学”，她并非对真实事物或现象的直接研究，而是以抽象思维的产物——量化模式——作为直接的研究对象。
也正因为如此，数学规律所反映的就并非个别事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象的共同性质。
总之，数学对人类理性精神发展的有着特殊的意义。
这正如克莱因所说的：
“在最广泛的意义上说，数学是一种精神，一种理性的精神。
正是这种精神，激发、促进、鼓舞和驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；
试图回答有关人类自身存在提出的问题；
努力去理解和控制自然；
尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。
”
第五节数学与美学
综述数学文化的美学观是构成数学文化的重要内容。
古代哲学家、数学家普洛克拉斯断言：
“哪里有数，哪里就有美。
”开普勒也说：
“数学是这个世界之美的原型”。
对数学文化的审美追求已成为数学得以发展的重要原动力，以致法国诗人诺瓦利也曾高唱：
“纯数学是一门科学，同时也是一门艺术”，“既是科学家同时又是艺术家的数学工作者，是大地上唯一的幸运儿”。
古往今来，许多数学家、哲学家都把“美”作为决定选题、选题标准和成功标准的一种评价尺度，甚至把“美的考虑”放在高于一切的位置。
著名数学家冯·
诺伊曼就曾写道：
“我认为数学家无论是选择题材还是判断成功的标准，主要都是美学的”。
庞加莱则更明确地说：
“数学家们非常重视他们的方法和理论是否优美，这并非华而不实的作风，那么到底是什么使我们感到一个解答、一个证明优美呢？
那就是各个部分之间的和谐、对称，恰到好处的平衡。
一句话，那就是井然有序、统一协调，从而使我们对整体以及细节都能有清楚的认识和理解，这正是产生伟大成果的地方。
数学家L•斯思也曾指出：
“在数学定理的评价中，审美的标准既重于逻辑的标准，也重于实用的标准；
美观与高雅对数学概念的评价来说，比是否严格正确、是否可能应用都重要得多。
”显然，这种“美学至上”的观点是片面的。
因为，数学的“审美标准”与“实践的标准”事实上是互相联系的，而且美学的考虑之所以有意义，主要也就因为它能预示相应的研究是否会“富有成果”。
审美追求作为数学发展的重要原动力，其中一个主要内容就是创造性的需要，它起着一种激活作用。
冯·
诺伊曼说：
“数学家成功与否和他的努力是否值得的主观标准，是非常自足的、美学的、不受（或近乎不受）经验的影响。
”因此，冯·
诺伊曼断言：
“数学思想一旦…被构思出来，这门科学就开始经历它本身所特有的生命，把它比作创造性的、受几乎一切审美因素支配的学科，就比把它比作别的事物特别是经验科学要更好一些”。
可见，审美作为一种支配因素，对数学科学的发展是多么重要。
数学美的主要内容一般反映在对称美、简洁美、奇异美等方面。
奇异美是建立在求异思维的基础上的。
比如，有理数稍一扩展，新数就被称为“无理”的；
实数再一扩展，新数就被叫做“虚”的。
实数之后出现“超实数”，复数之后出现“超复数”，有穷数之后又有“超穷数”……
和谐是数学美的最高境界。
实际上，和谐就是一个度，是一种中庸的最佳状态。
比例是关于模数与整体在测量上的协调，比例给人一种和谐，莫过于黄金分割法。
数学所讨论的宇宙，远比现实的所谓宇宙宏伟雄大，通常所说的宇宙只是三维空间，而数学则建立起了仅把3维空间作为一部分的4维空间、5维空间、……、n维空间。
数学是一座远远地超越了我们想象的华丽宫殿，站在这个无比庄严、宏伟的宫殿前的数学家们，以崇敬赞叹的目光远眺着它的壮观、它的美妙，那些能够感受到这种数学美、宇宙美的人，是可以被称之为爱因斯坦所谓的“有宇宙宗教性的人”。
如果我们的数学教学使学生感到数学的这些美，以致于对数学有很大的兴趣，无疑，这种教学将是极大的成功，它本身也是一种极高的艺术。
我们太需要这种艺术了。
数学是冷而严肃的，这是一方面，另一方面，数学中有艺术，有美，数学的创造过程中有数学家的情感。
冷漠、严肃主要是相对于数学的真理性而言的，但是数学真理之中也凝结着数学家的情感，那情感却是热烈的、激动的。
第六节数学与金融
事例华尔街的两次数学革命华尔街的两次数学革命是指1952年马科维茨的证券组合选择理论和1973年布莱克－肖尔斯的期权定价理论。
马科维茨所解决的是如何给出最优的证券组合问题。
所谓证券组合（portfolio，原意为“文件包”）是指一组不同的证券。
我们知道，在证券市场中进行任何一种证券交易都会因为其未来的不确定性而有风险。
投资者如果把他所有的资金都对一种证券投资，那么就像把所有鸡蛋装在一个篮子里一样，一旦这种证券出现不测，投资者就会全赔在这种证券上。
因此，为分散风险，投资者应该同时对多种证券进行交易。
于是就有这样的问题：
这些证券应该如何搭配为好。
马科维茨是这样来考虑的：
对于每种证券，他用根据历史数据所计算的证券的隔天价格差的平均值来衡量证券的收益率（可正可负）；
又根据历史数据计算每天的证券价格差对平均收益率的偏离的平均值来衡量证券的风险。
而一组证券的收益率和风险也同样可根据历史数据来估计。
把证券间的搭配比例（可正可负，表示有的是买入，有的是卖出）作为变量，就可提出一个在怎样的搭配比例下，对于固定的收益率使其风险最小的问题。
马科维茨由此提出一个所谓有效证券组合前沿的概念。
这是一些特殊的证券组合，其中有一个是风险最小的证券组合，但其收益率也是所有有效证券组合中最小的；
有效证券组合前沿中的其他证券组合，其风险比最小者要大，但其收益率也较大，而在有同样收益率的证券组合全体中，证券组合前沿中的那个组合的风险又最小。
这样，投资者就可根据计算得到的有效证券组合前沿，在收益与风险之间进行权衡，决定他的投资组合。
尽管马科维茨的研究在今天已被认为是金融经济学理论前驱工作而获得1990年的诺贝尔经济学奖，但在当年他刚提出他的理论时，计算机才问世不久，从而使他的理论成为纸上谈兵，根本无法实际计算。
今天的计算技术自然早已使马科维茨的思想得到完全的实现。
布莱克和肖尔斯讨论的则是如何为期权定价。
期权是一种衍生证券。
以布莱克和肖尔斯讨论的欧式买入期权为例，它是在某个到期日，以某个固定价格买入某种股票的权利。
期权交易早在本世纪初就已出现。
但在1973年芝加哥期权交易所正式开牌推出12种股票的期权交易前，期权交易始终是一种场外交易。
期权可以用来减少股票交易风险。
例如，某人在卖出某股票时，他当然期望股票落价而获利。
但他也有可能因股票的突然涨价而蒙受损失。
如果他同时买进该股票的买入期权，那么他就可以通过执行期权，低价再把股票买回，使他不但补偿了损失，甚至还能获利。
也就是说，期权交易可看作股票交易的一种“保险”。
期权既然也是一种可交易的证券，它就也有自己的价格。
于是就要问它的价格是如何确定的。
布莱克和肖尔斯在假设股票价格的相对变动为不可预测的所谓布朗运动的条件下，竟然导出了一个与实际非常吻合的期权定价公式。
金融经济学界经过几年的讨论，终于承认这是一项极为重要的研究。
布莱克和肖尔斯的观念并不复杂。
他们认为，既然卖出股票的风险与买入期权的风险可以“对冲”，那么，它们的按一定比例的随时间变化的组合就相当于一种无风险的证券，即有固定利率的债券。
由此就可导出期权价格与股票价格之间的关系，其中依赖的参数是股票的报酬率、债券的利率、期权的执行价格以及时间。
布莱克--肖尔斯公式问世后立即引起大量的后继研究。
在数学中，由于他们在公式推导中用到了随机分析、偏微分方程等现代数学工具，这促使许多数学家投身到衍生证券的研究中来，并且逐渐形成一个新学科－－金融数学。
在金融经济学中，他们实际上提出了一种比马科维茨更进一步的思想。
马科维茨只是认为不同的证券经过适当的组合可以减少风险，而布莱克和肖尔斯则认为，如果随时间不断改变这种组合（即所谓执行一种投资策略），那么在一定条件下，几种证券的组合可以用来模拟另一种证券。
就像股票与期权的适当组合能相当于债券一样，股票与债券的适当组合自然也
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