微分及其应用Word格式.docx
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y（xx）x
3300
3xx3x（x）（x）.
223
当x（是x的高阶无穷小ox
很小时,2）（）,
y3xx.
既容易计算又是较好的近似值
问题:
这个线性函数（改变量的主要部分）是否
所有函数的改变量都有?
它是什么?
如何求?
2、微分的定义
定义设函数yf（x）在某区间内有定义,
x及
x在这区间内,
如果
y
f（
x）
f（x）
A
o（x
成立（其中A是与x无关的常数）,则称函数
yf（x）在点
x可微,并且称A
x为函数
x相应于自变量增量x的微分,
记作dy
x
x00xx
或即dy
df（x）,Ax.
微分dyy（微分的实质）
叫做函数增量的线性主部.
由定义知:
（dy是自变量的改变量x的线性函数
1）;
（ydyox是比x高阶无穷小
2）（）;
（当A时dy与y是等价无穷小
3）0,;
dy
1o（x）1（x0）.
Ax
（4）
是与x无关的常数但与fx）和x0有关;
（
（当x很小时ydy线性主部
5）,（）.
如果函数y=f（x）在区间I上处处可微，则称f（x）
在区间I上可微。
函数yf（x）Ix,
在区间上任意点的微分称为函
数的微分（）,（）.
记作dy或dfx即dyAxx
两个基本问题：
（1）函数可微的条件是什么？
（2）若函数可微，则定义中的A（x）=?
3、可微的条件
定理
函数f（x）在点
x可微的充要条件是函
数f（x）在点
x处可导,且A
f
（
）.
证
（1）必要性f（x）在点x0可微,
yo（x）
yAxo（x）,A
xx
limAlim
则A.
x
0x0
即函数
f在点可导且
（x）x0,Af（x
（2）充分性
函数f（x）在点x0可导,
limf（x）,
x0
即
f（x）,
从而
y
f（x0）x（x）,
0x
0）,
fxxox
（）（）,
注
函数
f在点可微且
（x）0,f（x）A.
可导可微
.
A
函数yf（x）在任意点x的微分,称为函数的
微分,记作dy或df（x）,即dyf（x）x.
求函数yxxx例1
解
Q
dyxx
（）
3
3x2x.
0.24.
dy3xx
2
x2x2
x0.02x0.02
例2：
考虑函数y=x的微分：
d（x）'
xx即dxx.
ydx
通常把自变量xx
的增量称为自变量的微分.
dy
dy（）f（）f（x）.
fxxxdx
dx
即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于
该函数的导数.导数也叫"
微商"
4、微分的几何意义
几何意义:
（如图）
T
当y是曲线的纵
N
o
（x）
dyy
坐标增量时,dy
M
yf
（x）
就是切线纵坐标
对应的增量.
o
x0x
0
当
x很小时,在点M的附近,
切线段MP可近似代替曲线段MN.
二、微分的求法
dy（）
fxdx
求法:
计算函数的导数,乘以自变量的微分.
1.基本初等函数的微分公式
d（C）0d（x）xdx
1
d（sinx）cosxdxd（cosx）sinxdx
d（tanx）secxdxd（cotx）cscxdx
22
d（secx）secxtanxdxd（cscx）cscxcotxdx
xxxx
d（a）alnadxd（e）edx
11
d（logx）dxd（lnx）dx
a
xlnax
d（arcsinx）dxd（arccosx）dx
1x1x
22
d（arctanx）dxd（arccotx）dx
2.函数和、差、积、商的微分法则
d（uv）dudvd（Cu）Cdu
uvduudv
d（uv）vduudvd（）
vv
例2求函数在点x=0和x=1处的微分。
yx
e
/
dy0（e）|dxdx
dyedxedx
x/
1（）|1
yxdy
cos
例3设，求。
dyfxdxxxdxxdx
'
（）（cos）'
sin1sin
'
2x
例4
2dy
设yx求
ln（xe）,.
12
xe
xe
12xex
x
dydx.
例5
设
yx求
ecos,.
13xdy
dyxdeedx
cos（x）x（cos）
1313
（ex）3ex,（cosx）sinx.
dyxedxexdx
cos（3x）x（sin）
e13x（3cosxsinx）dx.
3、微分形式的不变性
设函数f（x）f（x）,
y有导数
（若x是自变量时dyfxdx
1）,（）;
（2）若x是中间变量时,即另一变量t的可
dy（）（）微函数x（t）,则
fxtdt
dyf（x）dx.
（tdtdx
）,
结论：
无论x是自变量还是中间变量,函数
yf（x）的微分形式总是fxdx
dy（）
微分形式的不变性
ysin（2x1）,求dy.
例6
Qsin,21.
yuux解
cos（2x1）d（2x1）
dycosudu
2cos（2x1）dx.
cos（2x1）2dx
例7
yax求
esinbx,dy.
dyebxdbxbxedax
cos（）sin（）
axax
ebxbdxbxeadx
cossin（）axax
eaxbbxabxdx
（cossin）.
练习2.设求
解:
利用一阶微分形式不变性,有
dyxxy
（sin）d（cos（））0
sinsin（xy）（dxdy）0
xdyycosxdx
dycosxsin（xy）
ydx
xy）sinx
sin（
练习3.在下列括号中填入适当的函数使等式成立:
（
1）d（1xC）xdx
2
（C为任意常数）
（1sin
2）d（tC）costdt
说明:
上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.
注意:
数学中的反问题往往出现多值性.
注意
例8在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使
等式成立.
（1）d（）costdt;
（2）d（sinx）（）d（x）.
（1）Qd（sint）costdt,解
1
costdtd（sint）
dt
（sin）;
dtCtdt
（sin）cos.
d（sinx）2xcosxdx
（2）Q4xxcosx2,
dxdx
d（sinx）（4xxcosx）d（x）.
三微分在近似计算应用1、函数的近似计算
当xfx
很小,
且（0）0时
y
dyf
（x0）x
（1）
f（x0x）f（x0
fxxfxfxx
（）（）（）
000
令xx0x,
则
fxfxfxxx
（）（）（）（）
（2）
特别xf（x）f（0）f（0）x（3）
当0时
0,
几个常用的近似公式（x很小时）
n
（1）1x1x
n
;
（xxx的单位弧度
2）sin（:
）;
3）tan（:
（exx
4）1;
（xx
5）ln
（1）.
例9：
计算arctan1.05的近似值。
解：
设f（x）=arctanx,利用式f（x
f（x）f（x）x,
有
arctan（x
x）arctanxx.
02
1x
这里x1,x1.05,于是有
0
arctan1.05arctan（10.05）
arctan10.05
0.05
0.8104
42
lffn（1xx）xffxfx
（0））0,（0）（0）（10）
例10证明如下近似公式：
。
e1x
x
（1）；
ln（1x）x
（2）
f（x）exf（x）exx0证
（1）令，，当时，
fff（x）f（0）f（0）x
（0）1,（0）1，由
f（x）1xex1x得，即
fxxf（x）
（）ln
（1）
（2）令，，当
ff
（0）0,（0）1
时，，由
fxffx
（）（0）（0）
fxx
（）
ln（1x）x得，即
2.误差估计
•间接测量误差
例：
计算圆钢的截面积：
AD.
4其中D为测量直径。
D的测量误差将导致计算A时出现误差，称之为间接测量误差。
•绝对误差和相对误差
设某个量的精确值为A，测量值（或近似值）为a,
则称|A–a|为a的绝对误差。
而称
为a的相对误差。
|
|a
a
实际中，精确值A往往无法知道，因此绝对误差和相对误差也就无法求得，但可以确定他们的范围。
例如假设A|
|a
则称
为测量A的绝对误差限，简称为绝对误差。
叫做测量A的相对误差限，简称为相对误差。
例1：
设测得的圆钢截面的直径D=60.03mm,测量D
的绝对误差限D0.05mm，利用公式
AD
计算圆钢的截面积时，试估计面积的误差。
4
设测量D时产生的误差为D，则面积A的间接
测量误差为：
2
A（DD）D
44
dA
DD
dA
AD
dD2
D
D
|A||dA|||
|D
|0.05,
60.030.05
4.715mm
D
一般地，设y=f（x）,测量x时的误差记为x
x的绝对误差限为
|x|,
则函数y的绝对误差为
|yfxxfx
||（）（）|
|dyfxx
||（）|
|f（）|
因此y的绝对误差限为y|f（x）|x
而y的相对误差限为
y
|f（x）|
|y||f（x）|
f
|
f（x）
四、小结
1.
微分学所要解决的两类问题:
函数的变化率问题导数的概念
函数的增量问题微分的概念
求导数与微分的方法,叫做微分法.
研究微分法与导数理论及其应用的科学,
叫做微分学.
2.导数与微分的联系:
可导可微.
3.导数与微分的区别:
1.函数f（x）
在点x处的导数是一个定数
）,
而微分dyf
x）（x
x）
是x
x的线性函数,它
的定义域是R,实际上,它是无穷小.
0.
limdylimf（x）（xx）
2.从几何意义上来看,f
x）是曲线yf（x）
在
点（
x,f
（x））处切线的斜率,而微分dy
（x
x）是曲线yf（x）在点
（x,
x））
处的切
线方程在点
的纵坐标增量.
因为一元函数yf（x）在
x的可微性与
可导性是等价的，所以有人说“微分就是导
数，导数就是微分”，这说法对吗？
从概念上讲，微分是从求函数增
量引出线性主部而得到的，导数是从
函数变化率问题归纳出函数增量与自
变量增量之比的极限，它们是完全不
同的概念.
所以这种说法不对.
练习1.求
d（1e）
1e
ex
dx2
2
e2
x
2xe
2xdx
练习题2.41.填空题：
f2在点x处的自变量的
（x）x
（1）（已知函数
增量为0.2，对应的函数增量的线性全部是
dy=0.8，那么自变量x的始值为__________.
（2）微分的几何意义是__________.
（3）若yf（x）是可微函数，则当x0时，
y是关于x的________无穷小.
（4）d____________sinxdx.
（5）d____________e2xdx.
（6）d____________sec23xdx.
（7）yx2e2x,dye2xd______x2d______.
2x
（8）d）_________dex________dx.
（arctan
2.求下列函数的微分：
y；
x12
（2）y[ln（1x）]2；
（3）yarcsin1x2；
1x2
2
；
arctan
（5）yex，求dy；
3xcos3
3.求由方程cos（xy）x2y2所确定的y微分.
4.当x很小时，证明：
（1）ln（1+x）x;
（2）tanxx;
5.利用微分求近似值：
1.01o
（1）e;
（2）cos151;
（3）1.02;
（4）lg11.
6.水管壁的正截面是一个圆环，设
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