线性代数4试卷及答案.doc

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线性代数（经管类）试题B

试卷满分100分考试时间120分钟

（出卷人：

廖磊）

试卷说明：

AT表示矩阵A的转置矩阵，表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．若行列式|A|=0，则A中（　　　）

A．必有一行全为0 B．行向量组线性相关

C．有两列成比例 D．所有元素全为0

2．设行列式D==3，D1=，则D1的值为（　）

A．-15 B．-6

C．6 D．15

3．设A，B，C，D均为n阶矩阵，E为n阶单位方阵，下列命题正确的是（）

A．若，则

B．若，则或

C．若，且，则

D．若，则

4．设A、B为n阶方阵，满足A2=B2，则必有（　　　）

A．A=B B．A=-B

C．|A|=|B| D．|A|2=|B|2

5．设3阶方阵A的秩为2，则与A等价的矩阵为（　）

A． B．

C． D．

6.设A，B为同阶可逆方阵，则下列等式中错误的是（　　　）

A.|AB|=|A||B| B.（AB）-1=B-1A-1

C.（A+B）-1=A-1+B-1 D.（AB）T=BTAT

7．设2阶矩阵A＝，则A*＝（　）

A．　　　　　　　　B．

C．　　　　　　　　D．

8．设2阶矩阵A＝，则A＊＝（　　　）

A． B．

C． D．

9．设矩阵A＝，则A中（　）

A．所有2阶子式都不为零　　　　B．所有2阶子式都为零

C．所有3阶子式都不为零　　　　D．存在一个3阶子式不为零

10．设是，的两个解，则（　　　）

A．是，的解

B．是，的解

C．2是，的解

D．2是，的解

11．设均为n维向量，又线性相关，线性无关，则下列正确的是（）

A．线性相关

B．线性无关

C．可由线性表示

D．可由线性表示

12．设向量，则下列命题中正确的是（　　　）

A．若线性相关，则必有线性相关

B．若线性无关，则必有线性无关

C．若线性相关，则必有线性无关

D．若线性无关，则必有线性相关

13．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax＝0有非零解的充分必要条件是（　）

A．A的列向量组线性相关　　　　B．A的列向量组线性无关

C．A的行向量组线性相关　　　　D．A的行向量组线性无关

14．设α1，α2，α3，α4为向量空间V的一个基，则V的维数=（　　　）

A．1 B．2

C．3 D．4

15.设A与B是两个相似n阶矩阵，则下列说法错误的是（　）

A. B.秩（A）=秩（B）

C.存在可逆阵P，使P-1AP=B D.E-A=E-B

16．正交矩阵的行列式为（　　　）

A．0 B．+1

C．-1 D．±1

17．矩阵A＝的非零特征值为（　）

A．4　　　　　B．3　　　　　　C．2　　　　　D．1

18．当矩阵A满足A2=A时，则A的特征值为（　　　）

A．0或1 B．±1

C．都是0 D．都是1

19．二次型的正惯性指数p为（　　　）

A．0 B．1

C．2 D．3

20.设有二次型则（）

A.正定 B.负定

C.不定 D.半正定

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

21．若则行列式=_____________.

22．三阶行列式，则__________.

23.设A=,B=则AB=__________.

24．行列式中元素9的代数余子式A32=____________

25.若则k=___________.

26．设A，B均为n阶矩阵，，则=__________.

27．若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式的值为______________.

28.设矩阵A=，若齐次线性方程组Ax=0有非零解，则数t=____________.

29．设矩阵A=，矩阵B=A-E，则矩阵B的秩r（B）=______________.

30.已知A有一个特征值-2,则B=A+2E必有一个特征值___________.

31.方程组的通解是___________.

32.已知向量α=（2，1，0，3）T，β=（1，-2，1，k）T，α与β的内积为2，则数k=____________.

33.设向量α=（b,,）T为单位向量，则数b=______________.

34．设为一个4元齐次线性方程组，若为它的一个基础解系，则秩（A）=_________.

35．已知某个3元非齐次线性方程组Ax＝b的增广矩阵经初等行变换化为：

，若方程组无解，则a的取值为．

36．已知3维向量，则内积=____________.

37.设三阶方阵A的特征值分别为-2,1,1,且B与A相似,则=___________.

38.设三阶方阵A的特征值分别为-2,1,1,且B与A相似,则=___________.

39.矩阵A=所对应的二次型是___________.

40．设3元实二次型经正交变换化成的标准形为，则矩阵A的特征值为_________.

三、计算题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）

41.计算四阶行列式的值.

42．设A=,B=求矩阵AB.

43.已知矩阵A=，B=，

（1）求A的逆矩阵A-1；

（2）解矩阵方程AX=B.

44．设A=,求A.

45.设A=,B=,且A,B,X满足（E-BA）求X,X

46．求向量组=（1，2，1，3），=（4，-1，-5，-6），=（1，-3，-4，-7）的秩和其一个极大线性无关组.

47．设向量组，，，，求该向量组的秩，并判断其线性相关性。

48．求线性方程组的通解.

49.设矩阵A=，

（1）求矩阵A的特征值与对应的全部特征向量.

（2）判定A是否可以与对角矩阵相似，若可以，求可逆矩阵P和对角矩阵，使得P-1AP=.

50．已知二次型f（x1，x2，x3）＝2x＋3x＋3x＋2ax2x3通过正交变换可化为标准形f＝y＋2y＋5y，求a．

四、证明题（本大题10分）

51.设是齐次方程组Ax=0的基础解系.证明：

，一定是Ax=0的基础解系．

52．设A，B均为正交矩阵，且，试证.

21、

22、（A,E）=………………………..3分

……….………………….1分

………………………2分

………………………..1分

……2分

所以…………………………………………1分

23、令A=（=………………………….2分

………………………………………………….2分

………………………………………………………….2分

所以向量组的秩为2………………………………………….2分

极大线性无关组为或或……………………….2分

24、………………………………………………..2分

……………………………………2分

………………………………………………………….1分

所以非齐次方程的一般解为

……………………………………………1分

所以齐次方程组的一个特解为…………………………..1分

对应的齐次方程组为得基础解系为…………….2分

所以原方程组的通解为,其中为任意常数………………….1分

25、

（1）项式=（

所以特征值…………………………………………………..1分

当时，

即，所以特征向量为………………………………..1分

对应特征值全部特征向量为，为任意非零常数………..1分

当时，

即，所以得到对应的特征向量………………………..1分

对应特征值的全部特征向量为，为任意非零常数……….1分

（2）因为矩阵A有两不同的特征值1和9,（或者说存在两个线性无关的特征向量

）,所以矩阵A可以对角化……………………………………………..2分

可逆矩阵P=,即P=,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分

且有，所以对角矩阵为．．．．．．．．．．．．．．．．１分

2６、

证明：

首先，的个数与所给的基础解系个数相同，都为３，即

n-r=3………………………………………………………………………1分

其次,,

所以，都是方程组Ax=0的解………………………………………2

最后，根据提设条件可以写出矩阵等式

=………………………………………2分

把它记为.因为标出矩阵的行列式=1…….1分

P是可逆矩阵………………………………………………………..1分

所以，，这说明线性无关………………………2分

所以，必是Ax=0的基础解系……………………………………….1分

21、解：

D==

=

=

22、解：

（1）

（2）

23、解：

24、解：

令

所以向量组的秩为3。

因为未知数的个数大于向量组的秩，所以向量组线性相关。

……4分

25、解：

的矩阵为……2分

先求A的特征值，

……

（1）……2分

由已知，二次型可通过正交变换可化为标准形f＝y＋2y＋5y，得

矩阵A的特征值为1，2，5。

……2分

将λ1=1代入

（1）式，得

四、证明题

26、证：

由已知可知……2分

……4分

再由，又正交阵的行列式为……1分

不妨设，则

则，故……3分