期权价格计算公式.doc
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期权价格计算公式
股票的价格变化遵循一维维纳过程,其微分方程如下
式中:
dz的差分满足如下条件的正态分布
在一般情况下,ds可用下式表示:
-----------
(1)
或表示为:
式中:
股票价格的期望漂移率,为一个恒定参数;为股票价格波动的方差,为股票价格的波动率,可以通过观察股票价格的动态系列数据获得。
如果存在一个变量G,它是股票S的一种衍生证卷,它的价格是S和t的函数,G(s,t),那么,S和G都受到同一个基本的不确定性因素的影响。
根据ITO定理,函数G的行为遵循如下微分方程描述的过程:
-------------
(2)
函数G的漂移率为
方差为
如果G代表股票S的一种期权,我们想用S和G构造一组风险中性的证卷组合。
为此,首先将公式
(1)、
(2)改写成对应的差分形式:
---------------(3)
----------(4)
由于公式(3)、(4)中的)是相同的维纳过程,只要证卷数量的搭配合理,整卷组合就可以消除。
恰当的证卷组合是:
-1;卖空一个期权
;买入期权价值变化对股票价格的敏感度,也就是他的偏微分那样多的股票。
定义这个证卷组合的价值为,表达式为
---------(5)
时间后,这个证卷组合的价值变化为:
-----------(6)
将(3)、(4)带入(6),消去,得:
---------(7)
由于这个证卷组合是风险中性的,所以,它的收益一定与任何一个无风险证卷的收益相同,就是
---------(8)
将(5)、(7)带入(8),得:
将上式进一步化简,得:
--------(9)
这就是获得诺贝尔奖的Black-Scholes微分方程。
这个微分方程的解,与它的边界条件有关。
欧式看涨期权的边界条件是,
G=max(S-X,0)当t=T时
欧式看跌期权的边界条件是:
G=max(X-S,0)当t=T时
在风险中性世界中,欧式看涨期权到期日的期望价值是:
Black-Scholes证明,欧式看涨期权的价格c是这个数学期望值的贴现结果,解析表达式为
------(10)
其中:
式中,N(x)表示标准正态分布变量的累积概率分布函数,所有小于x的随机变量出现的机会的总和。
同理,看跌期权价格的计算公式如下:
------(11)
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