最新高中数学 第二章 随机变量及其分布章末复习学案 新人教A版选修23考试专用Word文档下载推荐.docx
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②如果B和C是两个互斥事件，
则P（B∪C|A）＝P（B|A）＋P（C|A）．
5．相互独立事件
（1）对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A，B是相互独立事件．
（2）若A与B相互独立，则P（B|A）＝P（B），
P（AB）＝P（B|A）P（A）＝P（A）P（B）．
（3）若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．
（4）若P（AB）＝P（A）P（B），则A与B相互独立．
6．二项分布
（1）独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．
（2）在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P（X＝k）＝Cpk（1－p）n－k（k＝0,1,2，…，n），此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B（n，p），并称p为成功概率．
7．离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
（1）均值
称E（X）＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
（2）方差
称D（X）＝（xi－E（X））2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E（X）的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．
（3）均值与方差的性质
①E（aX＋b）＝aE（X）＋b.
②D（aX＋b）＝a2D（X）．（a，b为常数）
（4）两点分布与二项分布的均值、方差
①若X服从两点分布，则E（X）＝p，D（X）＝p（1－p）．
②若X～B（n，p），则E（X）＝np，D（X）＝np（1－p）．
8．正态分布
（1）正态曲线：
函数φμ，σ（x）＝
，x∈（－∞，＋∞），其中μ和σ为参数（σ>
0，μ∈R）．我们称函数φμ，σ（x）的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
（2）正态曲线的性质：
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；
σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．
（3）正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b（a<
b），随机变量X满足P（a<
X≤b）＝ʃφμ，σ（x）dx，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N（μ，σ2）．
正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P（μ－σ<
X≤μ＋σ）＝0.6826；
②P（μ－2σ<
X≤μ＋2σ）＝0.9544；
③P（μ－3σ<
X≤μ＋3σ）＝0.9974.
类型一 条件概率的求法
例1 设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2＋bx＋c＝0实根的个数（重根按一个计）．求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率．
考点 条件概率的定义及计算公式
题点 直接利用公式求条件概率
解 记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，则基本事件总数为6×
6＝36.其中先后两次出现的点数中有5，共有11种．从而P（M）＝.
记“方程x2＋bx＋c＝0有实根”为事件N，
若使方程x2＋bx＋c＝0有实根，
则Δ＝b2－4c≥0，即b≥2.
∵b，c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，
∴当先后两次出现的点数中有5时，
若b＝5，则c＝1,2,3,4,5,6；
若c＝5，则b＝5,6.b＝5，c＝5只能算一种情况，从而P（MN）＝.
∴在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为P（N|M）＝＝.
反思与感悟 条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清要求的条件概率是在什么条件下发生的概率．一般地，计算条件概率常有两种方法
（1）P（B|A）＝.
（2）P（B|A）＝.在古典概型下，n（AB）指事件A与事件B同时发生的基本事件个数；
n（A）是指事件A发生的基本事件个数．
跟踪训练1 已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人．
（1）求此人患色盲的概率；
（2）如果此人是色盲，求此人是男人的概率．（以上各问结果写成最简分式形式）
考点 条件概率的性质及应用
题点 条件概率的性质的简单应用
解 设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女人”为事件B，“任选一人是色盲”为事件C.
（1）此人患色盲的概率
P（C）＝P（AC）＋P（BC）
＝P（A）P（C|A）＋P（B）·
P（C|B）
＝×
＋×
＝.
（2）由
（1）得P（AC）＝，又因为P（C）＝，
所以P（A|C）＝＝＝.
类型二 相互独立事件的概率与二项分布
例2 天气预报，在元旦期间甲、乙两地都降雨的概率为，至少有一个地方降雨的概率为，已知甲地降雨的概率大于乙地降雨的概率，且在这段时间甲、乙两地降雨互不影响．
（1）分别求甲、乙两地降雨的概率；
（2）在甲、乙两地3天假期中，仅有一地降雨的天数为X，求X的分布列、均值与方差．
考点 二项分布的计算及应用
题点 求二项分布的分布列
解
（1）设甲、乙两地降雨的事件分别为A，B，且P（A）＝x，P（B）＝y.
由题意得解得
所以甲地降雨的概率为，乙地降雨的概率为.
（2）在甲、乙两地中，仅有一地降雨的概率为P＝P（A）＋P（B）＝P（A）P（）＋P（）P（B）
X的可能取值为0,1,2,3.
P（X＝0）＝C3＝，
P（X＝1）＝C12＝，
P（X＝2）＝C2＝，
P（X＝3）＝C3＝，
所以X的分布列为
2
3
所以E（X）＝0×
＋1×
＋2×
＋3×
方差D（X）＝×
2＋×
2＝.
反思与感悟
（1）求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题
①“P（AB）＝P（A）P（B）”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．
②涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系．
③公式“P（A∪B）＝1－P（）”常应用于相互独立事件至少有一个发生的概率．
（2）二项分布的判定
与二项分布有关的问题关键是二项分布的判定，可从以下几个方面判定：
①每次试验中，事件发生的概率是相同的．
②各次试验中的事件是相互独立的．
③每次试验只有两种结果：
事件要么发生，要么不发生．
④随机变量是这n次独立重复试验中某事件发生的次数．
跟踪训练2 在一次抗洪抢险中，准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是.
（1）求油灌被引爆的概率；
（2）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ不小于4的概率．
考点 互斥、对立、独立重复试验的概率问题
题点 互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题
解
（1）油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆，没有引爆的可能情况是：
射击5次只击中一次或一次也没有击中，故该事件的概率为
P＝C×
×
4＋5，
所以所求的概率为
1－P＝1－＝.
（2）当ξ＝4时，记事件为A，
则P（A）＝C×
2×
＝，
当ξ＝5时，意味着前4次射击只击中一次或一次也未击中，记为事件B.
则P（B）＝C×
3＋4＝，
所以所求概率为P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝＋＝.
类型三 离散型随机变量的均值与方差
例3 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：
每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．
（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：
①顾客所获的奖励额为60元的概率；
②顾客所获的奖励额的分布列及均值；
（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．
考点 均值与方差的应用
题点 均值与方差的综合应用
解
（1）设顾客所获的奖励额为X，
①依题意，得P（X＝60）＝＝，
即顾客所获的奖励额为60元的概率为.
②依题意得X的所有可能取值为20,60，
P（X＝20）＝＝，P（X＝60）＝，
即X的分布列为
20
60
所以这位顾客所获奖励额的均值为E（X）＝20×
＋60×
＝40.
（2）根据商场的预算，每位顾客的平均奖励额为60元，所以先寻找均值为60元的可能方案．
对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择（10,10,10,50）的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以均值不可能为60元．
如果选择（50,50,50,10）的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以均值也不可能为60元，因此可能的方案是（10,10,50,50）记为方案1，对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除（20,20,20,40）和（40,40,40,20）的方案，所以可能的方案是（20,20,40,40），
记为方案2，
以下是对这两个方案的分析：
对于方案1，即方案（10,10,50,50），设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为
X1
100
X1的均值E（X1）＝20×
＋100×
＝60.
X1的方差D（X1）＝（20－60）2×
＋（60－60）2×
＋（100－60）2×
对于方案2，即方案（20,20,40,40），设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为
X2
40
80
X2的均值E（X2）＝40×
＋80×
＝60，
X2的方差D（X2）＝（40－60）2×
＋（80－60）2×
由于两种方案的奖励额的均值都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1小，所以应该选择方案2.
反思与感悟 求离散型随机变量X的均值与方差的步骤
（1）理解X的意义，写出X可能的全部取值；
（2）求X取每个值的概率或求出函数P（X＝k）；
（3）写出X的分布列；
（4）由分布列和均值的定义求出E（X）；
（5）由方差的定义，求D（X），若X～B（n，p），则可直接利用公式求，E（X）＝np，D（X）＝np（1－p）．
跟踪训练3 某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；
乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．
（1）已知甲厂产品的等级系数X1的分布列如下表：
5
6
7
8
0.4
a
b
0.1
且X1的均值E（X1）＝6，求a，b的值；
（2）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用该样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的均值；
（3）在
（1）
（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具有可购买性？
说明理由．
注：
①产品的“性价比”＝；
②“性价比”高的产品更具有可购买性．
解
（1）∵E（X1）＝6，
∴5×
0.4＋6a＋7b＋8×
0.1＝6，
即6a＋7b＝3.2，
又由X1的分布列得0.4＋a＋b＋0.1＝1，
即a＋b＝0.5.
由解得
（2）由已知得，样本的频率分布表如下：
4
f
0.3
0.2
用该样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的分布列如下：
∴E（X2）＝3×
0.3＋4×
0.2＋5×
0.2＋6×
0.1＋7×
0.1＋8×
0.1＝4.8，即乙厂产品的等级系数的均值为4.8.
（3）乙厂的产品更具有可购买性，理由如下：
甲厂产品的等级系数的均值为6，价格为6元/件，
其性价比为＝1，
乙厂产品的等级系数的均值等于4.8，价格为4元/件，
其性价比为＝1.2.
∴乙厂的产品更具有可购买性．
类型四 正态分布的应用
例4 为了评估某大米包装生产设备的性能，从该设备包装的大米中随机抽取100袋作为样本，称其重量为
重量kg
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
10.0
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
10.8
合计
包数
19
34
18
经计算：
样本的平均值μ＝10.10，标准差σ＝0.21.
（1）为评判该生产线的性能，从该生产线中任抽取一袋，设其重量为X（kg），并根据以下不等式进行评判．
X≤μ＋σ）≥0.6826；
②P（μ－2σ<
X≤μ＋2σ）≥0.9544；
X≤μ＋3σ）≥0.9974；
若同时满足三个不等式，则生产设备为甲级；
满足其中两个，则为乙级；
仅满足其中一个，则为丙级；
若全不满足，则为丁级．请判断该设备的等级；
（2）将重量小于或等于μ－2σ与重量大于μ＋2σ的包装认为是不合格的包装，从设备的生产线上随机抽取5袋大米，求其中不合格包装袋数Y的均值E（Y）．
考点 正态分布的应用
题点 正态分布的综合应用
解
（1）由题意得
P（μ－σ<
X≤μ＋σ）＝P（9.89<
X≤10.31）＝＝0.8>
0.6826，
P（μ－2σ<
X≤μ＋2σ）＝P（9.68<
X≤10.52）＝＝0.94<
0.9544，
P（μ－3σ<
X≤μ＋3σ）＝P（9.47<
X≤10.73）＝＝0.99<
0.9974，
所以该生产设备为丙级．
（2）由表知，不合格的包装共有6袋，则从设备的生产线上随机抽一袋不合格的概率P＝＝，
由题意知Y服从二项分布，即Y～B，
所以E（Y）＝5×
＝0.3.
反思与感悟 正态曲线的应用及求解策略
解答此类题目的关键在于将待求的问题向（μ－σ，μ＋σ]，（μ－2σ，μ＋2σ]，（μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想．
跟踪训练4 某市去年高考考生成绩X服从正态分布N（500,502），现有25000名考生，试确定考生成绩在550分～600分的人数．
题点 正态分布的实际应用
解 ∵考生成绩X～N（500,502），∴μ＝500，σ＝50，
∴P＝（550<
X≤600）
＝[P（500－2×
50<
X≤500＋2×
50）－P（500－50<
X≤500＋50）]
＝（0.9544－0.6826）＝0.1359.
故考生成绩在550分～600分的人数约为25000×
0.1359≈3398.
1．抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过4，则出现的点数是奇数的概率为（ ）
A.B.C.D.
题点 利用缩小基本事件空间求条件概率
答案 D
解析 设抛掷一枚骰子出现的点数不超过4为事件A，抛掷一枚骰子出现的点数是奇数为事件B，则P（B|A）＝＝＝.故选D.
2．国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是，，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为（ ）
考点 相互独立事件的性质及应用
题点 独立事件与互斥事件的综合应用
答案 B
解析 设“国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游”分别为事件A，B，C，则A，B，C相互独立且P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝，∴至少有1人去北京旅游的概率为1－P（）＝1－P（）·
P（）·
P（）＝1－×
＝1－＝，故选B.
3．某班有50名学生，一次考试后的数学成绩ξ～N（110,102），若P（100≤ξ≤110）＝0.34，则估计该班学生的数学成绩在120分以上（含120分）的人数为（ ）
A．10B．9C．8D．7
答案 C
解析 ∵数学成绩ξ服从正态分布N（110,102），
且P（100≤ξ≤110）＝0.34，
∴P（ξ≥120）＝P（ξ<
100）＝×
（1－0.34×
2）＝0.16，
∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.16×
50＝8.
4．设随机变量ξ的分布列为P（ξ＝k）＝m·
k，k＝1,2,3，则m的值为．
考点 离散型随机变量分布列的性质及应用
题点 根据分布列的性质求参数
答案
解析 因为P（ξ＝1）＋P（ξ＝2）＋P（ξ＝3）＝1，
即m＝1，所以m＝.
5．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数，若P（X＝0）＝，则随机变量X的均值E（X）＝.
题点 独立事件与分布列
解析 随机变量X的可能取值是0,1,2,3.
由题意知P（X＝0）＝（1－p）2＝，所以p＝，于是P（X＝1）＝×
＝，P（X＝3）＝×
＝，P（X＝2）＝1－P（X＝0）－P（X＝1）－P（X＝3）＝1－－－＝，所以均值E（X）＝0×
1．条件概率的两个求解策略
（1）定义法：
计算P（A），P（B），P（AB），利用P（A|B）＝求解．
（2）缩小样本空间法：
利用P（B|A）＝求解．
其中
（2）常用于古典概型的概率计算问题．
2．求解实际问题的均值与方差的解题思路：
先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的分布列，同时要注意运用两点分布、二项分布等特殊分布的均值、方差公式以及均值与方差的线性性质．
一、选择题
1．已知某一随机变量X的分布列如下，且E（X）＝6.3，则a的值为（ ）
9
0.5
A.5B．6C．7D．8
考点 离散型随机变量的可能取值
题点 离散型随机变量的结果
解析 由题意和分布列的性质得0.5＋0.1＋b＝1，
且E（X）＝4×
0.5＋0.1a＋9b＝6.3，
解得b＝0.4，a＝7.
2．某工程施工在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X（单位：
mm）对工期延误天数Y的影响及相应的概率P如下表所示：
年降水量X
X<
100≤X<
200
200≤X<
300
X≥300
工期延误天数Y
15
30
概率P
在年降水量X至少是100的条件下，工期延误小于30天的概率为（ ）
A．0.7B．0.5
C．0.3D．0.2
解析 设事件A为“年降水量X至少是100”，事件B为“工期延误小于30天”，则P（B|A）＝＝＝0.5，故选B.
3．从应届高中毕业生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，其他几项标准合格的概率为，从中任选一名学生，则该生均合格的概率为（假设各项标准互不影响）（ ）
A.B.
C.D.
考点 相互独立事件同时发生的概率计算
题点 求多个相互独立事件同时发生的概率
解析 该生各项均合格的概率为×
4．设随机变量X服从正态分布N（3,4），则P（X<
1－3a）＝P（X>
a2＋7）成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．a＝1或2B．a＝±
1或2
C．a＝2D．a＝
考点 正态分布密度函数的概念
题点 正态曲线性质的应用
解析 ∵X～N（3,4），P（X<
a2＋7），
∴（1－3a）＋（a2＋7）＝2×
3，∴a＝1或2.故选B.
5．（2017·
福建莆田二十四中高二期中）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮
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