类比探究 Word 文档Word格式.docx

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平分线CF于点F．

（1）AE与EF相等吗？

小聪同学的思路是：

在AB上截取BH=BE，

连接HE，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．

（2）如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC

上（除B，C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论

“AE=EF”仍然成立吗？

说明理由．

（3）如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，

其他条件不变，结论“AE=EF”是否成立？

4.以△ABC的边AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD，AB=AE，AC=AD，

∠BAE=∠CAD=90°

，M是BC中点，连接AM，DE．

（1）如图1，在△ABC中，当∠BAC=90°

时，求AM与DE的数

量关系和位置关系．

（2）如图2，当△ABC为一般三角形时，

（1）中的结论是否

成立，并说明理由．

（3）如图3，若以△ABC的边AB，AC为直角边向内作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD，其他条件不变，

（1）中的结论是否成立，并说明理由．

【参考答案】

1.

证明：

（1）如图，

∵∠ACB=90°

∴∠1+∠2=90°

∵AD⊥MN，BE⊥MN

∴∠ADC=∠CEB=90°

∴∠3+∠2=90°

∴∠1=∠3

在△ADC和△CEB中

∴△ADC≌△CEB（AAS）

∴AD=CE，DC=EB

∴DE=CE+DC

=AD+BE

（2）如图，

∴∠CBE+∠2=90°

∴∠1=∠CBE

∴DE=CE-DC

=AD-BE

（3）DE=BE-AD，理由如下：

如图，

∴DE=DC-CE

=BE-AD

2.

（1）证明：

如图，在BN上截取BE=AD．

∵AC平分∠DAB，∠MAN=120°

∴∠1=∠2=60°

在△CDA和△CBA中

∴△CDA≌△CBA（AAS）

∴DC=BC，AD=AB

在△CDA和△CBE中

∴△CDA≌△CBE（SAS）

∴AC=EC，AD=EB

∵∠2=60°

∴AC=AE

=BE+AB

=AD+AB

（2）成立，证明如下：

如图，过C作CG⊥AM于G，CF⊥AN于F，在BN上截取BE=AD．

∵CG⊥AM，CF⊥AN

∴

，CG=CF

∵∠ABC+∠ADC=180°

∠CDG+∠ADC=180°

∠ABC+∠EBC=180°

∴∠CDG=∠CBF，∠ADC=∠EBC

在△CGD和△CFB中

∴△CGD≌△CFB（AAS）

∴CD=CB

∴CA=CE

（3）不成立，AC=AB-AD

3.解：

（1）AE=EF，理由如下：

如图，在AB上截取BH=BE，连接HE．

∵AB=BC

∴AH=EC

∵∠B=90°

∴∠1=∠2=45°

∴∠AHE=135°

∵∠BCD=90°

∴∠DCG=90°

∵CF平分∠DCG

∴∠GCF=45°

∴∠ECF=135°

∴∠AHE=∠ECF

∵∠AEF=90°

，∠B=90°

∴∠AEB+∠3=90°

，∠AEB+∠4=90°

∴∠3=∠4

在△AHE和△ECF中

∴△AHE≌△ECF（ASA）

∴AE=EF

（2）AE=EF仍成立，理由如下：

（3）AE=EF仍成立，理由如下：

如图，延长BA到H，使BH=BE，连接HE．

∴∠H=45°

∴∠1=45°

∴∠H=∠1

，∠AEB+∠2=90°

∴∠2=∠3

∵∠HAE+∠2=180°

，∠CEF+∠3=180°

∴∠HAE=∠CEF

4.解：

（1）DE=2AM，AM⊥DE，理由如下：

如图，延长AM到F，使MF=AM，连接BF，延长MA交DE于G．

∴AF=2AM

∵M是BC中点

∴BM=CM

在△BMF和△CMA中

∴△BMF≌△CMA（SAS）

∴FB=AC，∠3=∠4

∴BF∥AC

∴∠FBA+∠BAC=180°

∵∠BAE=∠CAD=90°

∴∠DAE+∠BAC=180°

∴∠FBA=∠DAE

∵AC=AD

∴BF=AD

在△FBA和△DAE中

∴△FBA≌△DAE（SAS）

∴AF=ED，∠5=∠6

∴DE=2AM

∵∠BAE=90°

∴∠5+∠7=90°

∴∠6+∠7=90°

∴∠EGA=90°

即AM⊥DE

（2）

（1）中的结论成立，理由如下：

（3）

（1）中的结论成立，理由如下：

如图，延长AM到F，使MF=AM，交DE于G，连接BF．

∴FB=AC，∠FBM=∠ACM

∴AF=ED，∠BAF=∠AED

∴∠BAF+∠EAF=90°

∴∠AED+∠EAF=90°

类比探究每日一题

1.（5月5日）如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，且

直线CD经过∠BCA的内部，点E，F在直线CD上，已知

CA=CB且∠BEC=∠CFA=∠α．

（1）如图1，若∠BCA=90°

，∠α=90°

，问EF=BE-AF成立

吗？

（2）如图2，若0°

<

∠BCA<

90°

，请你添加一个关于∠α与

∠BCA关系的条件，使结论EF=BE-AF仍然成立．你添加的

条件是___________________，并给出证明．

（3）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，

请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想，并给出

证明．

2.（5月6日）如图1，在正方形ABCD和正方形CGEF（CG>

BC）

中，点B，C，G在同一直线上，点M是AE的中点，连接

DM，FM．

（1）探究线段MD，MF的位置及数量关系，并证明．

（2）若将图1中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使D，

C，G三点在一条直线上，如图2，其他条件不变，则

（1）

中得到的两个结论是否发生变化？

写出你的猜想并加以证明．

（3）将图1中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使正方形

CGEF的对角线CE恰好与正方形ABCD的边BC在同一条

直线上，如图3，其他条件不变，则

（1）中得到的两个结论

是否发生变化？

3.（5月7日）

（1）方法感悟：

如图1，在正方形ABCD中，点E，

F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°

，连接EF．

DE+BF=EF．

（2）方法迁移：

如图2，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，

点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=

∠DAB．试

猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．

（3）问题拓展：

如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F

分别为DC，BC上的点，满足∠EAF=

∠DAB，试猜想当

∠ABC与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接

写出你的猜想．

（4）延伸：

如图4，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，

CB延长线上的点，且满足∠EAF=45°

DE-BF=EF．

1.解：

（1）EF=BE-AF成立．理由如下：

如图1：

∵∠BEC=90°

∵∠BCA=90°

∴∠2+∠3=90°

∴在△BCE和△CAF中

∴△BCE≌△CAF（AAS）

∴BE=CF，CE=AF

∴EF=CF-CE

=BE-AF

（2）增加条件是∠α+∠BCA=180°

，理由如下：

如图2：

∵∠1+∠2+∠α=180°

∴∠1=180°

-∠α-∠2

∵∠BCA=∠2+∠3

∠α+∠BCA=180°

∴∠3=180°

（3）EF=BE+AF，理由如下：

如图3：

∵∠α+∠1+∠2=180°

∵∠BCA=∠α

∴∠2+∠α+∠3=180°

∴EF=FC+CE

=BE+AF

2.解：

（1）MD=MF且MD⊥MF，理由如下：

延长DM交EF于点N．

在正方形ABCD和正方形CGEF中，

AD=CD，FC=FE，∠ADC=∠CFE=90°

∴∠ADF=∠CFE=90°

∴AD∥EF

∴∠1=∠2

∵M是AE的中点

∴AM=EM

在△ADM和△ENM中

∴△ADM≌△ENM（ASA）

∴AD=EN，DM=NM

∵AD=CD

∴CD=EN

∴FC-CD=FE-EN

即FD=FN

∵DM=NM

∴MD⊥MF，∠DFM=

∠DFN=45°

∴∠DFM=∠FDM=45°

∴MD=MF

（2）MD⊥MF且MD=MF．理由如下：

延长DM交GE于点N，连接FD，FN．

AD=CD，FC=FE

∠ADC=∠G=∠CFE=∠NEF=90°

∴AD∥GE，∠DCF=∠NEF=90°

∵M是AE中点

△ADM≌△ENM（ASA）

在△FCD和△FEN中

∴△FCD≌△FEN（SAS）

∴FD=FN，∠5=∠6

∵∠CFE=90°

∴∠6+∠CFN=90°

∴∠5+∠CFN=90°

即∠DFN=90°

∴∠MDF=∠DFM=45°

（3）

（1）中的两个结论不变．理由如下：

延长DM交CE于N，连接FD，FN．

在正方形ABCD中，

AD=CD，AD∥BC，∠DCB=90°

∴∠DCE=90°

，∠1=∠2

在正方形CGEF中，

∠CFE=90°

，∠FCE=∠FEC=45°

，FC=FE

∴∠DCF=∠NEF=45°

∵M为AE中点

在△FDC和△FNE中

∴△FDC≌△FNE（SAS）

∴∠5=∠6

∴FM⊥DM，∠DFM=

3.

（1）观察到所求为DE+BF=EF，是线段和的形式，所以考虑

截长补短，根据图中提示，辅助线描述为：

延长CB至点G，使得BG=DE，连接AG．

AB=AD，∠ABC=∠ABG=∠BAD=∠D=90°

在△ABG和△ADE中

∴△ABG≌△ADE（SAS）

∴∠1=∠2，AG=AE

∵∠EAF=45°

∴∠2+∠3=45°

∴∠1+∠3=45°

即∠GAF=∠EAF

在△GAF和△EAF中

∴△GAF≌△EAF（SAS）

∴GF=EF

∴DE+BF=EF

（2）照搬第一问的辅助线、字母、解题方法解决此问．

如图，延长CB至点G，使得BG=DE，连接AG．

由题意可知

AB=AD，∠ABC=∠ABG=∠D=90°

∵∠EAF=

∠DAB

（3）∠B+∠D=180°

（4）观察到所求为DE-BF=EF，是线段差的形式，所以同样

考虑截长补短，可用截长的方法．

如图，在DE截取DG=BF，连接AG．

AD=AB，∠D=∠ABC=∠ABF=∠BAD=90°

在△ABF和△ADG中

∴△ABF≌△ADG（SAS）

∴∠1=∠2，AF=AG

∵∠2+∠BAG=90°

∴∠1+∠BAG=90°

即∠GAF=90°

∴∠GAE=∠FAE=45°

在△AFE和△AGE中

∴△AFE≌△AGE（SAS）

∴EF=GE

∴DE-EF=BF

类比探究（随堂测试）

在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°

，P是CD边上一点，连接PA，过点B，D作BE⊥PA，DF⊥PA，垂足分别为E，F，如图1．

（1）请探究BE，DF，EF这三条线段有怎样的数量关系？

（2）若点P在DC的延长线上，如图2，则这三条线段又具

有怎样的数量关系？

（3）若点P在CD的延长线上，如图3，则这三条线段又具

1.证明略

提示：

（1）BE=DF+EF，由垂直转互余可以得到∠ABE=∠DAF，结合正方形的边AB=DA证明△AEB≌△DFA，得到对应边相等，可以得到BE=DF+EF．

（2）BE=DF-EF，照搬第一问的字母、思路和过程可以得到BE=DF-EF．

（3）BE=EF-DF，照搬第一问的字母、思路和过程可以得到BE=EF-DF．

类比探究（作业）

1.已知AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，BC=DE．如图1．

（1）求证：

AC=CE．

（2）若将CD沿CB方向平移，如图2，其余条件不变，结论

AC1=C2E还成立吗？

请说明理由．

（3）若将CD沿CB方向平移，如图3，其余条件不变，结论

2.如图1所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，

∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，

M，N分别为BE，CD的中点，连接AM，AN，MN．

①BE=CD；

②△AMN是等腰三角形．

（2）在图1的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转

180°

，其他条件不变，得到图2所示的图形．

（1）中的两个

结论是否仍然成立，若成立，请给予证明；

若不成立，请说明

理由．

（1）AC=CE，由垂直转互余可以得到∠A=∠DCE，结合BC=DE证明△ABC≌△CDE，得到对应边相等，可以得到AC=CE．

（2）成立，照搬第一问的字母、思路和过程可以得到AC1=C2E．

（3）成立，照搬第一问的字母、思路和过程可以得到AC1=C2E．

2.证明略

（1）由已知条件先证明△BAE≌△CAD（SAS），得到BE=CD，结合第一次全等提供的条件证明△ABM≌△ACN（SAS）得到AM=AN，因而△AMN是等腰三角形．

（2）成立，照搬第一问的字母、思路和过程可以得到BE=CD，△AMN是等腰三角形．