四川省成都市龙泉第二中学届高三月考数学理试题Word版附详细解析.docx
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四川省成都市龙泉第二中学届高三月考数学理试题Word版附详细解析
成都龙泉二中2015级高三上学期10月月考试题
数学（理工类）
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.集合，集合，全集，则（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
故选A
2.是虚数单位，复数，则的共轭复数是（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】由，得＝1−i，
的共轭复数是
故选C．
3.已知等比数列的各项都为正数,且成等差数列,则的值是（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】由题意，等比数列的各项都为正数,且成等差数列，则（负舍），，选A
点睛：
本题主要考查等比数列的性质，灵活应用等比数列的性质和注意题设等比数列的各项都为正数是解题的关键
4.已知随机变量，若，则的值为（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】由题意有正态密度函数的图象关于直线对称,正态密度函数的图象与轴围成的面积为,所以有,选.
5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A.B.C.D.
【答案】D
........................
故选D
6.已知函数，，用表示，中的最小值，设函数，则函数的零点个数为（）
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【解析】由题意，作出的图象如图所示，由图象，得函数的零点有三个：
；故选C.
7.在中，，是角A，B，C，成等差数列的（）
A.充要条件B.必要不充分条件
C.充分不必要条件D.既不充分也必要条件
【答案】B
【解析】在中，
或
故是角成等差数列的必要不充分条件．
故选B．
【点睛】本题考查三角函数的同角三角函数关系，两角和的余弦公式等，对进行恒等变形，探究其与成等差数列是否等价是解答本题的关键．
8.某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为（ ）
A.0.3B.0.5C.0.6D.0.9
【答案】B
【解析】试题分析：
此射手在一次射击中成绩不超过8环的概率．故C正确．
考点：
对立事件概率．
9.若函数（，，，）的图象如图所示，则（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
10.若函数上不是单调函数，则实数k的取值范围（）
A.B.不存在这样的实数k
C.D.
【答案】D
【解析】，令解得或
即函数极值点为
若函数上不是单调函数，
则或解得
故选D
【点睛】本题考查函数单调性与导数的关系，其中根据连续函数在定区间上不是单调函数，则函数的极值点在区间上，构造不等式是解答的关键．
11.如右图所示的程序框图输出的结果是（）
A.6B.
C.5D.
【答案】C
【解析】略
12.已知函数，若函数在区间上有4个不同的零点，则实数的取值范围是（）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】,显然函数为增函数,且,所以函数在上为减函数,在上为增函数,,由于,所以在上为增函数,在同一坐标系中画出与的图象,由于有4个不同的交点,所以有,求出，选C.
点睛:
本题主要考查函数零点的个数,属于中档题.本题思路:
分析函数在上的单调性,画出函数和在上的图象,函数在有4个不同的零点,等价于函数和在上的图象有4个不同的交点,根据图象,找出条件,解出不等式即可.考查了等价转化和数形结合思想.
二、填空题：
本题共4题，每小题5分，共20分
13.已知是锐角的外心，，若＋＝，则_____
【答案】1
【解析】如图，由得：
设外接圆半径为，则|
在中由正弦定理得：
即|
故答案为
14.在的展开式中，含项的系数是__（用数字填写答案）
【答案】64
【解析】试题分析：
，所以由，得含项的系数是
考点：
二项式定理
【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
（1）求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.
（2）已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.
15.抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于______
【答案】
【解析】试题分析：
抛物线的准线方程为，双曲线的渐近线方程为，所以所要求的三角形的面积为；
考点：
1．抛物线的几何性质；2．双曲线的几何性质；
16.对某同学的6次物理测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学物理成绩的以下说法：
①中位数为84；②众数为85；③平均数为85；④极差为12.其中，正确说法的序号是________.
【答案】①③
【解析】试题分析：
将图中各数按从小到大排列为：
78，83，83，85，90，91，所以中位数为，众数为83，平均数为，极差为，故①③正确．
考点：
1、茎叶图；2、中位数、众数、平均数；3、极差．
三、解答题.
17.设数列各项为正数，且，（）
（1）证明：
数列为等比数列；
（2）令，数列的前项和为，求使成立时的最小值．
【答案】
（1）见解析；
（2）6
【解析】试题分析：
（Ⅰ）根据题目条件，并结合构造数列，即可证明数列为等比数列；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，先求出数列的通项公式，然后再求出数列的前项和，并通过解不等式，即可求得使成立时的最小值.
试题解析：
（Ⅰ）由已知，，则，因为数列各项为正数，所以，由已知，，得，又，所以，数列是首项为，公比为的等比数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，，则.
不等式，即.所以，于是成立时的最小值为.
考点：
1、等比数列；2、数列的前项和.
18.如图，在中，．为边上的点，为上的点，且，，．
（1）求的长；
（2）若，求的值．
【答案】
（1）；
（2）
【解析】试题分析：
本题是正弦定理、余弦定理的应用。
（1）中，在中可得的大小，运用余弦定理得到关于的一元二次方程，通过解方程可得的值；
（2）中先在中由正弦定理得，并根据题意判断出为钝角，根据求出。
试题解析：
（1）由题意可得，
在中，由余弦定理得
，
所以，
整理得，
解得：
．
故的长为。
（2）在中，由正弦定理得，
即
所以，
所以．
因为点在边上，所以，
而，
所以只能为钝角，
所以，
所以
．
19.近几年出现各种食品安全问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病，为了解三高疾病是否与性别有关，医院随机对入院的60人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：
患三高疾病
不患三高疾病
合计
男
6
30
女
合计
36
（1）请将如图的列联表补充完整：
若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽9人，其中女性抽多少人？
（2）为了研究三高疾病是否与性别有关，请计算出统计量K2，并说明你有多大的把握认为三高疾病与性别有关？
下面的临界值表供参考：
P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式，其中）
【答案】
（1）3；
（2）有的把握认为是否患三高疾病与性别有关系
【解析】试题分析：
（1）根据题中所给数据，通过2×2连列表，直接将如图的列联表补充完整；通过分层抽样求出在患三高疾病的人群中抽9人的比例，即可求出女性抽的人数．
（2）通过题中所给共识计算出，结合临界值表，即可说明有多大的把握认为三高疾病与性别有关．
试题解析：
解
（1）：
患三高疾病
不患三高疾病
合计
男
24
6
30
女
12
18
30
合计
36
24
60
在患三高疾病人群中抽人，则抽取比例为
∴女性应该抽取人．6分
（2）∵8分
，10分
那么，我们有的把握认为是否患三高疾病与性别有关系．12分．
考点：
1．分成抽样；2．独立性检验．
20.已知椭圆C：
的右焦点为F，右顶点为A，设离心率为e，且满足，其中O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点的直线l与椭圆交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．
【答案】
（1）；
（2）
【解析】试题分析：
（1）根据，解得c值，即可得椭圆的方程；
（Ⅱ）联立l与椭圆C的方程，得,
得，．所以，又O到l的距离．所以△OMN的面积求最值即可.
试题解析：
（Ⅰ）设椭圆的焦半距为c，则|OF|=c，|OA|=a，|AF|=．
所以，其中，又，联立解得，．
所以椭圆C的方程是．
（Ⅱ）由题意直线不能与x轴垂直，否则将无法构成三角形．
当直线l与x轴不垂直时，设其斜率为k，那么l的方程为．
联立l与椭圆C的方程，消去y，得．
于是直线与椭圆有两个交点的充要条件是Δ=，这显然大于0．
设点，．
由根与系数的关系得，．所以，又O到l的距离．
所以△OMN的面积．，那么，当且仅当t=3时取等．
所以△OMN面积的最大值是．
点睛:
本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：
因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．
21.已知函数，．
（1）当时，恒成立，求的取值范围；
（2）当时，研究函数的零点个数；
（3）求证：
（参考数据：
）．
【答案】
（1）；
（2）见解析；（3）见解析
【解析】【试题分析】
（1）构造函数借助导数知识运用分类整合思想分析探求；
（2）构造函数运用导数知识研究函数的图像变化情况，确定函数的图像的交点的个数；（3）借助
（1）、
（2）的结论运用缩放的方法进行分析推证：
（Ⅰ）令则
①若，则，，在递增，，即在恒成立，满足，所以；
②若，在递增，且
且时，，则使进而在递减，在递增，
所以当时，即当时，，不满足题意，舍去；
综合①，②知的取值范围为.
（Ⅱ）依题意得，则，
则在上恒成立，故在递增，
所以，且时，；
若，即，则，故在递减，所以，
在无零点；②若，即，则使，进而在递减，在递增，且时，，在上有一个零点，在无零点，故在有一个零点.
综合①②，当时无零点；当时有一个公共点.
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当时，对恒成立，
令，则即；
由（Ⅱ）知，当时，对恒成立，
令，则，所以；
故有.
点睛：
本题以含参数的函数解析式为背景，设置了三个问题，旨在考查导数在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。
求解第一问时，先构造函数借助导数知识运用分类整合思想分析探求出参数的取值范围；解答第二问时，构造函数运用导数求导法则对函数求导，再结合导数与函数的单调性的关系研究函数的图像变化情况，进而确定函数的零点的个数；解答第三问时充分借助
（1）、
（2）的结论，巧妙地运用缩放的方法进行分析推证，从而使得问题获解。
22.选修4-4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，
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