年秋季学期新人教版九年级数学上册2124一元二次方程的根与系数的关系第一课时导学案含答案解析.docx

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年秋季学期新人教版九年级数学上册2124一元二次方程的根与系数的关系第一课时导学案含答案解析

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系（第一课时）

导学探究：

阅读教材P15-16，回答下列问题：

1、回忆：

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是__________________.由求根公式可知,一元二次方程的根的大小由系数a、b、c决定。

2.

（1）方程（x-x1）（x-x2）=0与方程x2-（x1+x2）x+x1x2=0是同一个方程吗？

_____（答“是”或“否”）。

（2）方程（x-x1）（x-x2）=0的两个根据是_________________.方程x2-（x1+x2）x+x1x2=0的两个根是_____________________>

（3）方程x2-（x1+x2）x+x1x2=0的二次三项式系数为_______,一次项系数p=________,常数项q=________,反之，方程x2+px+q=0两根x1x2的和、积分别与系数的关系是x1+x2=________,x1x2=__________.

3、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=__________,x2=___________.

（1）计算x1+x2和x1x2的值。

（2）请你根据

（1）的结果，试着用文字表述这一结论。

归纳梳理

1、若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，它们与系数a、b、c的关系是x1+x2=________,x1x2=__________.

一元二次方程的根与系数的关系：

如果一元二次方程有实数根，那么两根的和等于_______________,两根的积等于____________________.

2、运用一元二次方程根与系数的关系的前提条件是方程有实数根，即△______0.

典例探究

1．不解方程求两个根之和与积

【例1】不解方程，求方程3x2+2=1﹣4x两根的和与积．

总结：

在使用根与系数的关系时，应注意：

不是一般式的要先化成一般式；

前提条件是；

在使用时，注意“-”不要漏掉．

练1．（2014•碑林区校级模拟）方程2x2﹣6x﹣5=0的两根为x1与x2，则x1+x2和x1x2的值分别是（　　）

A．﹣3和﹣B．﹣3和C．3和D．3和

2．已知一元二次方程的两根求系数

【例2】（2014春•富阳市校级期末）关于x的方程x2﹣px+q=0的两个根是0和﹣3，求p和q的值．

总结：

对于含有字母系数的一元二次方程，已知两根的值求字母系数的值，通常根据一元二次方程根与系数的关系求解，并用根的判别式进行检验．此方法要比直接将根代入求系数方便快捷得多．

练2．（2015•枣庄）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（　　）

A．﹣10B．10C．﹣6D．2

3．已知一元二次方程的一个根求另一个根

【例3】（2015•北塘区二模）已知一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2，则另一根为　　．

总结：

已知含字母系数的一元二次方程的一根求另一根，一般有两种方法：

把已知根代入方程，求得字母的值，解一元二次方程求出另一根；

（2）根据方程系数中的已知数，利用根与系数的关系，选用两根之和或两根之积，直接求另一根．

练3．（2014秋•秭归县校级期中）已知2﹣是一元二次方程x2﹣4x﹣c=0的一个根，求另一个根及c的值．

4．根据一元二次方程的系数判断两根的正负

【例4】（2008•南汇区二模）方程2x2+3x﹣5=0的两根的符号（　　）

A．同号B．异号C．两根都为正D．两根都为负

总结：

不解方程判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定；

首先计算判别式，看是大于0还是等于0，如果是等于0，则两根相等，同号；

如果判别式大于0，则计算的值，如果，可判断方程的根为一正一负；如果，再计算的值，若为正，则两根同为正，若为负，则两根同为负．

练4．（2014秋•夷陵区校级月考）方程ax2+bx﹣c=0（a＞0、b＞0、c＞0）的两个根的符号为（　　）

A．同号B．异号C．两根都为正D．不能确定

夯实基础

一、选择题

1．（2015•溧水县一模）一元二次方程2x2﹣3x﹣5=0的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2的值为（　　）

A．B．﹣C．﹣D．

2．（2015•金华）一元二次方程x2+4x﹣3=0的两根为x1、x2，则x1•x2的值是（　　）

A．4B．﹣4C．3D．﹣3

3．（2014•浠水县校级模拟）已知x1、x2是方程x2+3x﹣1=0的两根，则（　　）

A．x1+x2=﹣3，x1•x2=﹣1B．x1+x2=﹣3，x1•x2=1

C．x1+x2=3，x1•x2=﹣1D．x1+x2=3，x1•x2=1

4．（2015•衡阳）若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（　　）

A．﹣2B．2C．4D．﹣3

5．（2015•广西）已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　）

A．x2﹣7x+12=0B．x2+7x+12=0C．x2+7x﹣12=0D．x2﹣7x﹣12=0

6．（2015•平南县一模）一元二次方程x2+px=2的两根为x1，x2，且x1=﹣2x2，则p的值为（　　）

A．2B．1C．1或﹣1D．﹣1

7．（2015•东西湖区校级模拟）已知x=2是方程x2﹣6x+m=0的根，则该方程的另一根为（　　）

A．2B．3C．4D．8

8．关于方程式49x2﹣98x﹣1=0的解，下列叙述正确的是（　　）

A．无解B．有两正根C．有两负根D．有一正根及一负根

二、填空题

9．（2015•滨湖区一模）已知方程x2﹣5x+2=0的两个解分别为x1、x2，则x1+x2的值为　　．

10．（2015•南京）已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是　　，m的值是　　．

11．（2015春•遂宁校级期中）已知关于x的方程x2﹣4x+2=0的两个根是m和n，则mn=　　，m+n=　　．

三、解答题

12．（2015•东莞模拟）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）的两个根x1、x2；求证：

x1+x2=﹣p，x1•x2=q．

13．（2014秋•番禺区校级月考）已知方程x2﹣kx﹣6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．

14．（2013•防城港）已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m．求m，n的值．

典例探究答案：

【例1】不解方程，求方程3x2+2=1﹣4x两个根的和与积．

分析：

先把方程化为一般式，然后根据根与系数的关系求解．

解答：

解：

设x1，x2是方程的两实数根，

方程化为一般式为3x2+4x+1=0，

根据题意得，x1+x2=﹣，x1x2=．

点评：

本题考查了根与系数的关系：

若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．

练1．（2014•碑林区校级模拟）方程2x2﹣6x﹣5=0的两根为x1与x2，则x1+x2和x1x2的值分别是（　　）

A．﹣3和B．﹣3和C．3和D．3和

分析：

根据根与系数关系，已知方程2x2﹣6x﹣5=0的两根为x1与x2．x1+x2=；x1x2=即可．

解答：

解：

已知方程为2x2﹣6x﹣5=0的两根为x1与x2，

根据根与系数的关系：

x1+x2==3；x1x2==．

故选D．

点评：

本题主要考查根与系数关系，已知系数确定根的相关问题，属于基础题，关键熟练掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q．

【例2】（2014春•富阳市校级期末）关于x的方程x2﹣px+q=0的两个根是0和﹣3，求p和q的值．

分析：

根据根与系数的关系得到0﹣3=p，0×（﹣3）=q，然后解两个方程即可．

解答：

解：

根据题意得0﹣3=p，0×（﹣3）=q，

所以p=﹣3，q=0．

点评：

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系．

练2．（2015•枣庄）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（　　）

A．﹣10B．10C．﹣6D．2

分析：

根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，求出即可．

解答：

解：

∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，

∴﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，

解得：

m=﹣2，n=﹣8，

∴m+n=﹣10，

故选A．

点评：

本题考查了根与系数的关系的应用，能根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n是解此题的关键．

【例3】（2015•北塘区二模）已知：

一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2，则另一根为　．

分析：

设方程另一根为t，根据根与系数的关系得到2+t=6，然后解一次方程即可．

解答：

解：

设方程另一根为t，

根据题意得2+t=6，

解得t=4．

故答案为4．

点评：

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系．

练3．（2014秋•秭归县校级期中）已知2﹣是一元二次方程x2﹣4x﹣c=0的一个根，求另一个根及c的值．

分析：

设方程另一个根为x1，先利用两根之和计算出x1，然后利用两根之积求出c的值．

解答：

解：

设方程另一个根为x1，

根据题意得x1+2﹣=4，x1•（2﹣）=c，

∴x1=2+，

∴c=（2﹣）（2+）=4﹣3=1．

点评：

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：

若方程两个为x1，x2，则x1+x2=，x1x2=．．

【例4】（2008•南汇区二模）方程2x2+3x﹣5=0的两根的符号（　　）

A．同号B．异号C．两根都为正D．两根都为负

分析：

根据一元二次方程根与系数的关系，得到方程的两根之和与两根之积，再进一步结合有理数的运算法则进行分析．

解答：

解：

设方程的两根是a，b，根据一元二次方程根与系数的关系，得

a+b=＞0，ab=﹣＜0，

根据两数的积为负数，则两数必异号，则a，b异号．

故选B．

点评：

此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，同时能够结合有理数的运算法则判断方程的两根的符号．

练4．（2014秋•夷陵区校级月考）方程ax2+bx﹣c=0（a＞0、b＞0、c＞0）的两个根的符号为（　　）

A．同号B．异号C．两根都为正D．不能确定

分析：

首先由△=b2+4ac＞0，可知方程有两个不等的实数根，再由x1x2=﹣＜0可知两根异号．

解答：

解：

∵ax2+bx﹣c=0（a＞0、b＞0、c＞0），

∴△=b2+4ac＞0，

∴方程有两个不等的实数根，

设方程ax2+bx﹣c=0（a＞0、b＞0、c＞0）的两个根为x1，x2，

∵x1x2=﹣＜0，

∴两根异号．

故选B．

点评：

本题考查了根与系数的关系：

x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．同时考查了根的判别式．

夯实基础答案：

一、选择题

1．（2015•溧水县一模）一元二次方程2x2﹣3x﹣5=0的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2的值为（　　）

A．B．﹣C．﹣D．

解：

根据题意得x1+x2=﹣=．

故选D．

2．（2015•金华）一元二次方程x2+4x﹣3=0的两根为x1、x2，则x1•x2的值是（　　）

A．4B．﹣4