高考理科数学试题及答案福建卷.docx

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高考理科数学试题及答案福建卷

2006年高考试题理科数学（福建卷）

一．选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设则复数为实数的充要条件是

（A）　　（B）　　（C）　　（D）

（2）在等差数列中，已知则等于

（A）40　　　　（B）42　　　　（C）43　　　　（D）45

（3）已知则等于

（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）

（4）已知全集且则等于

（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）

（5）已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于

（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）

（6）在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同。

从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于

（A）　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）

（7）对于平面和共面的直线、下列命题中真命题是

（A）若则　　　　（B）若则

（C）若则　　　　（D）若、与所成的角相等，则

（8）函数的反函数是

（A）　　　　（B）

（C）　　　　（D）

（9）已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等于

（A）　　　　（B）　　　　（C）2　　　　（D）3

（10）已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是

（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）

（11）已知点C在。

设，则等于

（A）　　　　（B）3　　　　（C）　　　　（D）　

（12）对于直角坐标平面内的任意两点，定义它们之间的一种“距离”：

给出下列三个命题：

①若点C在线段AB上，则

②在中，若则

③在中，

其中真命题的个数为

（A）0　　　　（B）1　　　　（C）2　　　　（D）3

二．填空题：

本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案填在答题卡的相应位置。

（13）展开式中的系数是＿＿＿＿＿（用数字作答）。

（14）已知直线与抛物线相切，则

（15）一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标

以数2。

将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是＿＿＿＿＿。

（16）如图，连结的各边中点得到一个新的又连

结的各边中点得到，如此无限继续下

去，得到一系列三角形：

，，，，

这一系列三角形趋向于一个点M。

已知

则点M的坐标是＿＿＿＿。

三．解答题：

本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

已知函数

（I）求函数的最小正周期和单调增区间；

（II）函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到？

（18）（本小题满分12分）

如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

（I）求证：

平面BCD；

（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；

（III）求点E到平面ACD的距离。

（19）（本小题满分12分）

统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗

油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：

已知甲、乙两地相距100千米。

（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？

最少为多少升？

（20）（本小题满分12分）

已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。

（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；

（II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，

线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。

（21）（本小题满分12分）

已知函数

（I）求在区间上的最大值

（II）是否存在实数使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？

若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。

（22）（本小题满分14分）

已知数列满足

（I）求数列的通项公式；

（II）证明：

2006年高考（福建卷）数学理试题答案

一．选择题：

本大题考查基本概念和基本运算。

每小题5分，满分60分。

（1）D　　　

（2）B　　　（3）A　　　（4）C　　　（5）D　　　（6）A

（7）C　　　（8）A　　　（9）B　　　（10）C　　（11）B　　　（12）B

二．填空题：

本大题考查基础知识和基本运算。

每小题4分满分16分。

（13）10　　　（14）　　　（15）　　　（16）

三．解答题：

本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。

满分12分。

解：

（I）

的最小正周期

由题意得

即　

的单调增区间为

（II）方法一：

先把图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度，就得到的图象。

方法二：

把图象上所有的点按向量平移，就得到的图象。

（18）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。

满分12分。

方法一：

（I）证明：

连结OC

在中，由已知可得

而

即

平面

（II）解：

取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知

直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角

在中，

是直角斜边AC上的中线，

异面直线AB与CD所成角的大小为

（III）解：

设点E到平面ACD的距离为

在中，

而

点E到平面ACD的距离为

方法二：

（I）同方法一。

（II）解：

以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则

异面直线AB与CD所成角

的大小为

（III）解：

设平面ACD的法向量为则

令得是平面ACD的一个法向量。

又

点E到平面ACD的距离

（19）本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力。

满分12分。

解：

（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，

要耗没（升）。

答：

当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。

（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，

依题意得

令得

当时，是减函数；

当时，是增函数。

当时，取到极小值

因为在上只有一个极值，所以它是最小值。

答：

当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。

（20）本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。

满分12分。

解：

（I）

圆过点O、F，

圆心M在直线上。

设则圆半径

由得

解得

所求圆的方程为

（II）设直线AB的方程为

代入整理得

直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。

记中点

则

的垂直平分线NG的方程为

令得

点G横坐标的取值范围为

（21）本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。

满分12分。

解：

（I）

当即时，在上单调递增，

当即时，

当时，在上单调递减，

综上，

（II）函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，即函数

的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。

当时，是增函数；

当时，是减函数；

当时，是增函数；

当或时，

当充分接近0时，当充分大时，

要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须

　　即

所以存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，的取值范围为

（22）本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。

满分14分。

（I）解：

是以为首项，2为公比的等比数列。

即　

（II）证法一：

　　　　　　　　　　　　　①

　　　　　　②

②－①，得

即

　③－④，得　

即　

是等差数列。

证法二：

同证法一，得

令得

设下面用数学归纳法证明　

（1）当时，等式成立。

（2）假设当时，那么

这就是说，当时，等式也成立。

根据

（1）和

（2），可知对任何都成立。

是等差数列。

（III）证明：