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第二，社会科学的各分支逐步走向成熟，社会科学理论体系
的发展也需要精确化。
第三，随着数学的进一步发展，它出现了一些适合研究社会
历史现象的新的数学分支。
第四，电子计算机的发展与应用，使非常复杂社会现象经过
量化后可以进行数值处理。
2、论述数学的三次危机对数学发展的作用。
第一次数学危机促使人们去认识和理解无理数，导致
了公理几何与逻辑的产生。
第二次数学危机促使人们去深入探讨实数理论，导致了分析
基础理论的完善和集合论的产生。
第三次数学危机促使人们研究和分析数学悖论，导致了数理
逻辑和一批现代数学的产生。
由此可见，数学危机的解决，往往给数学带来新的内容，新
的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发
展的历史动力这一基本原理。
整个数学的发展史就是矛盾斗争的
历史，斗争的结果就是数学领域的发展。
三、分析题
1、
分析《几何原本》思想方法的特点，为什么?
（1）封闭的演绎体系
因为在《几何原本》中，除了推导时所需要的逻辑规则外，
每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过
的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上
对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。
因此《几何原
本》是一个封闭的演绎体系。
另外，《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生
活有关的应用问题，因此对于社会生活的各个领域来说，它也是
封闭的。
所以，《几何原本》是一个封闭的演绎体系。
（2）抽象化的内容
:
《几何原本》中研究的对象都是抽象的概念和命题，它所探
讨的是这些概念和命题之间的逻辑关系，不讨论这些概念和命题
与社会生活之间的关系，也不考察这些数学模型所由之产生的现实原型。
因此《几何原本》的内容是抽象的。
（3）公理化的方法:
《几何原本》的第一篇中开头5个公设和5个公理，是全书其
它命题证明的基本前提，接着给出23个定义，然后再逐步引入
和证明定理。
定理的引入是有序的，在一个定理的证明中，允许采用的论据只有公设和公理与前面已经证明过的定理。
以后各篇
除了不再给出公设和公理外也都照此办理。
这种处理知识体系与
表述方法就是公理化方法。
2、分析《九章算术》思想方法的特点，为什么?
（1）开放的归纳体系:
从《九章算术》的内容可以看出，它是以应用问题解法集成
的体例编纂而成的书，因此它是一个与社会实践紧密联系的开放
体系。
在《九章算术》中通常是先举出一些问题，从中归纳出某一
类问题的一般解法;
再把各类算法综合起来，得到解决该领域中
各种问题的方法;
最后，把解决各领域中问题的数学方法全部综
合起来，就得到整个《九章算术》。
另外该书还按解决问题的不同数学方法进行归纳，从这些
方法中提炼出数学模型，最后再以数学模型立章写入《九章算
术》。
因此，《九章算术》是一个开放的归纳体系。
（2）算法化的内容
《九章算术》在每一章内先列举若干个实际问题，并对每
个问题都给出答案，然后再给出“术”，作为一类问题的共同解
法。
因此，内容的算法化是《九章算术》思想方法上的特点之
一。
（3）模型化的方法
《九章算术》各章都是先从相应的社会实践中选择具有典
型意义的现实原型，并把它们表述成问题，然后通过“术”使其转
化为数学模型。
当然有的章采取的是由数学模型到原型的过
程，即先给出数学模型，然后再举出可以应用的原型。
数学思想与方法作业2
一、简答题
1、叙述抽象的含义及其过程。
抽象是指在认识事物的过程中，舍弃那些个别的、偶然的非本质属性，抽取普遍的、必然的本质属性，形成科学概念，从而把握事物的本质和规律的思维过程。
人们在思维中对对象的抽象是从对对象的比较和区分开始的。
所谓比较，就是在思维中确定对象之间的相同点和不同点;
而所谓区分，则是把比较得到的相同点和不同点在思维中固定下来，利用它们把对象分为不同的类。
然后再进行舍弃与收括，舍弃是指在思维中不考虑对象的某些性质，收括则是指把对象的我们所需要的性质固定下来，并用词表达出来。
这就形成了抽象的概念，同时也就形成了表示这个概念的词，于是完成了一个抽象过程。
2、叙述概括的含义及其过程。
概括是指在认识事物属性的过程中，把所研究各部分事物得到的一般的、本质的属性联系起来，整理推广到同类的全体事物，从而形成这类事物的普遍概念的思维过程。
概括通常可分为经验概括和理论概括两种。
经验概括是从事实出发，以对个别事物所做的观察陈述为基础，上升为普遍的认识--由对个体特性的认识上升为对个体所属的种的特性的认识。
理论概括则是指在经验概括的基础上，由对种的特性的认识上升为对种所属的属的特性的认识，从而达到对客观世界的规律的认识。
在数学中经常使用的是理论概括。
一个概括过程包括比较、区分、扩张和分析等几个主要环节。
3、简述公理方法历史发展的各个阶段
公理方法经历了具体的公理体系、抽象的公理体系和形式化的公理体系三个阶段。
第一个具体的公理体系就是欧几里得的《几何原本》。
非欧几何是抽象的公理体系的典型代表。
希尔伯特的《几何基础》开创了形式化的公理体系的先河，现代数学的几乎所有理论都是用形式公理体系表述出来的，现代科学也尽量采用形式公理法作为研究和表述手段。
4、简述化归方法并举例说明。
所谓“化归”，从字面上看，应可理解为转化和归结的意思。
数学方法论中所论及的“化归方法”是指数学家们把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中去，最终求获原问题之解答的一种手段和方法。
例如:
要求解四次方程
可以令
，将原方程化为关于
的二次方程
这个方程我们会求其解:
和
，从而得到两个二次方程:
这也是我们会求解的方程，解它们便得到原方程的解:
，
.这里所用的就是化归方法。
二、论述题
1、叙述不完全归纳法的推理形式，并举一个应用不完全归纳法的例子。
不完全归纳法的一般推理形式是:
设S=;
由于具有属性p，具有属性p，……具有属性p，因此推断S类事物中的每一个对象都可能具有属性p。
2、叙述类比推理的形式。
如何提高类比的可靠性?
类比推理通常可用下列形式来表示:
A具有性质
B具有性质
因此，B也可能具有性质。
其中，分别相同或相似。
欲提高类比的可靠性，应尽量满足条件:
（1）A与B共同（或相似）的属性尽可能地多些;
（2）这些共同（或相似）的属性应是类比对象A与B的主要属性;
（3）这些共同（或相似）的属性应包括类比对象的各个不同方面，并且尽可能是多方面的;
（4）可迁移的属性d应该是和属于同一类型。
符合上述条件的类比，其结论的可靠性虽然可以得到提高，但仍不能保证结论一定正确。
3、试比较归纳猜想与类比猜想的异同。
归纳猜想与类比猜想的共同点是:
他们都是一种猜想，即一种推测性的判断，都是一种合情推理，其结论具有或然性，或者经过逻辑推理证明其为真，或者举出反例予以反驳。
归纳猜想与类比猜想的不同点是:
归纳猜想是运用归纳法得到的猜想，是一种由特殊到一般的推理形式，其思维步骤为“特例-归纳-猜测”。
类比猜想是运用类比法得到的猜想，是一种由特殊到特殊的推理形式，其思维步骤为“联想-类比-猜测”。
三、设计题
设计运用“猜想”进行数学教学的一个片断。
以“认识长方形的对边相等”为内容，设计一个教学片断。
将教学过程设计成四个层次:
让学生说一说:
我们周围有哪些长方形物体?
学生会举出黑板、桌面、教室的门、课本的封面等例子。
要求学生仔细观察:
看一看、想一想，这些长方形的四条边的长短有什么关系?
学生经过观察后，会猜想:
长方形相对的两条边长度相等。
教师进一步提出问题:
同学们敢于大胆猜想的精神值得鼓励!
我们怎样才能验证长方形相对的两条边的长短相等呢?
这时，学生会想出许多办法，如:
用尺量、将图形对折等方法。
教师顺势引导学生通过量量、折折的具体操作，确信长方形相对的两条边长短相等。
教师板书:
长方形对边相等。
接着，师生讨论长方形“对边”的含义，以及一个长方形有几组对边的问题。
巩固长方形对边相等的认识。
利用多媒体展示下面的长方形:
（3厘米）
（2厘米）
（
）
教师提问:
如何填写括号内的数字?
为什么?
要求学生会用“因为…所以…”句式回答。
如“因为长方形的对边相等，已知长方形的一条边是3厘米，所以它的对边也是3厘米。
”
数学思想与方法作业3
1、简述计算和算法的含义。
计算是指根据已知数量通过数学方法求得未知数的过程，是一种最基本的数学思想方法。
随着电子计算机的广泛应用，计算的重要意义更加凸现，主要表现在以下几个方面:
（1）推动了数学的应用;
（2）加快了科学的数学化进程;
（3）促进了数学自身的发展。
算法是由一组有限的规则所组成的一个过程。
所谓一个算法它实质上是解决一类问题的一个处方，它包括一套指令，只要按照指令一步一步地进行操作，就能引导到问题的解决。
在一个算法中，每一个步骤必须规定得精确和明白，不会产生歧义，并且一个算法在按有限的步骤解决问题后必须结束。
数学中的许多问题都可以归结为寻找算法或判断有无算法的问题，因此，算法对数学中的许多问题的解决有着决定性作用。
另外，算法在日常生活、社会生产和科学技术中也有着重要意义。
算法在科学技术中的意义主要体现在如下几个方面:
（1）用于表述科学结论的一种形式;
（2）作为表述一个复杂过程的方法;
（3）减轻脑力劳动的一种手段;
（4）作为研究和解决新问题的手段;
（5）作为一种基本的数学工具。
2、简述数学教学中引起“分类讨论”的原因。
数学教学中引起“分类讨论”的原因有:
数学中的许多概念的定义是分类给出的，因此涉及到这些概念时要分类讨论;
数学中有些运算性质、运算法则是分类给出的，进行这类运算时要分类讨论;
有些几何问题，根据题设不能只用一个图形表达，必须全面考虑各种不同的位置关系，需要分类讨论;
许多数学问题中含有字母参数，随着参数取值不同，会使问题出现不同的结果。
因此需要对字母参数的取值情况进行分类讨论。
1、什么是数学模型方法?
并用框图表示MM方法解题的基本步骤。
所谓数学模型方法是利用数学模型解决问题的一般数学方法，简称MM方法。
MM方法解题的基本步骤框图表示如下:
2、特殊化方法在数学教学中有哪些应用?
特殊化方法在数学教学中的应用大致有如下几个方面:
利用特殊值（图形）解选择题;
利用特殊化探求问题结论;
利用特例检验一般结果;
利用特殊化探索解题思路。
三、计算题
1、用程序框图表述如下问题的求解过程:
在1~500中，找出能同时满足用3除余2，用5除余3，用7除余2的所有整数。
解:
设计算法:
（1）给出初始值I=9（因为小于等于8的数显然不满足条件）。
（2）判断I的值是否小于或等于500;
若是，则进一步判断I是否满足用3除余2，用5除余3，用7除余2三个条件，若满足则输出I，否则I递增1。
（3）返回第
（2）步，直至I大于500，结束。
画出程序框图如下图8-1:
图8-1
2、一个星级旅馆有150个房间。
经过一段时间的经营实践，经理得到数据:
如果每间客房定价为160元，住房率为55%;
如果每间客房定价为140元，住房率为65%;
如果每间客房定价为120元，住房率为75%;
如果每间客房定价为100元，住房率为85%。
欲使每天收入提高，问每间住房的定价应是多少?
（1）、弄清实际问题加以化简。
经分析，为了建立旅馆一天收入的数学模型，可作如下假设:
①设每间客房的最高定价为160元;
②根据题中提供的数据，设随着房价的下降，住房率呈线性增长;
③设旅馆每间客房定价相等。
（2）、建立数学模型。
根据题意，设表示旅馆一天的总收入，为与160元相比降低的房价。
由假设②，可得每降低1元房价，住房率增加为
因此一天的总收入为
（*）
由于。
于是问题归结为:
当时，求的最大值点，即求解
（3）、模型求解。
将（*）左边除以（150×
0.005）得
由于常数因子对求最大值没有影响，因此可化为求的最大值点。
利用配方法得
易知当=25时最大，因此可知最大收入对应的住房定价为
160元-25元=135元
相应的住房率为
0.55+0.005×
25=67.5%
最大收入为
150×
135×
67.5%=13668.75（元）
（4）、检验。
容易验证此收入在已知各种客房定价的对应收入中确实是最大的，这可从下面表格中看出。
定价
160元
140元
120元
100元
135元
收入
13200元
13650元
13500元
12750元
13668.75元
如果为了便于管理，那么定价140元也是可以的，因为这时它与最高收入只差18.75元。
如果每间客房定价为180元，住房率为45%，其相应收入只有12150元。
由此可见假设①是合理的。
实际上二次函数在之内只有一个极值点。
3、已知∠AOB及点P，连接OP，若P点不在OB边上，且∠BOP表示以OB为始边、按逆时针方向旋转到OP的角，试比较∠AOB与∠BOP的大小。
可以有多种情形。
情形一:
∠AOB<
∠BOP
情形二:
∠AOB>
情形三:
∠AOB
=∠BOP
数学思想与方法作业4
1、简述《国家数学课程标准》的几个主要特点。
把“现实数学”作为数学课程的一项内容;
把“数学化”作为数学课程的一个目标;
把“再创造”作为数学教育的一条原则。
把“已完成的数学”当成是“未完成的数学”来教，给学生提供“再创造”的机会;
把“问题解决”作为数学教学的一种模式;
把“数学思想方法”作为课程体系的一条主线。
要求学生掌握基本的数学思想方法;
把“数学活动”作为数学课程的一个方面。
强调学生的数学活动，注重“向学生提供充分从事数学活动的机会”，帮助他们“获得广泛的数学活动的经验”;
把“合作交流”看成学生学习数学的一种方式。
要让学生在解决问题的过程中“学会与他人合作”，并能“与他人交流思维的过程和结果”;
把“现代信息技术”作为学生学习数学的一种工具。
2、简述数学思想方法教学的主要阶段。
数学思想方法教学主要有三个阶段:
多次孕育、初步理解和简单应用三个阶段。
1、试述小学数学加强数学思想方法教学的重要性。
数学思想方法是联系知识与能力的纽带，是数学科学的灵魂，它对发展学生的数学能力，提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。
具体表现在:
（1）掌握数学思想方法能更好地理解数学知识。
（2）数学思想方法对数学问题的解决有着重要的作用。
（3）加强数学思想方法的教学是以学生发展为本的必然要求。
2、简述数学思想方法教学应注意哪些事项?
数学思想方法教学应注意以下事项:
（1）把数学思想方法的教学纳入教学目标;
（2）重视数学知识发生、发展的过程，认真设计数学思想方法教学的目标;
（3）做好数学思想方法教学的铺垫工作和巩固工作;
（4）不同数学思想方法应有不同的教学要求;
（5）注意不同数学思想方法的综合应用。
三、分析题
1、利用下列材料，请你设计一个“数形结合”教学片断。
材料:
如图13-3-18所示，相邻四点连成的小正方形面积为1平方厘米。
（1）分别连接各点，组成下面12个图形，你发现有什么排列规律?
（2）求出各图形外面一周的点子数、中间的点子数以及各图形的面积，找出一周的点子数、中间的点子数、各图形的面积三者之间的关系。
教学片断设计如下:
一、找图的排列规律
师:
同学们看图，找出图的排列规律来。
（学生可以讨论）
生:
老师我们发现，第一行的图中间没有点，第二行的图中间有一个点，第三行的图中间有两个点。
非常好!
二、数一数每个图周边的点数
现在我们来数一数每个图周边的点数。
并将结果填入下列表中。
（师生一起数）
三、计算面积
数完边点数，我们再来计算每个图的面积。
结果也填入表中。
（师生一起计算面积，过程略）
图形
边上点数
内部点数
面积
⑴
4
1
（2）
6
2
（3）
8
3
（4）
14
（5）
（6）
（7）
（8）
7
（9）
（10）
（11）
5
（12）
四、寻找每一列三个数之间的规律
我们根据这个表，找一找每列三个数之间的关系。
告诉同学们，希望找到相同的规律。
第一列，边点数等于面积乘以4。
这个规律能否用到第二列呢?
不能，因为6不等于2乘以4。
生2:
第一列，边点数除以2，减去面积等于1。
好!
看看这个规律能否用到第二列?
能。
还能用到第三、第四列。
老师，这个规律不能用到第五列。
很好!
我们看看这个规律到第五列可以怎样改一改。
我发现了，边点数除以2，加上内点数，再减去面积等于1。
大家一起算一算，是不是每一列都具有这个规律。
五、总结
我们把发现的规律总结成公式:
边点数/2+内点数-面积=1
也可以写为:
边点数/2+内点数-1=面积
2、假定学生已有了除法商的不变性知识和经验，在学习分数的性质时，请你设计一个孕育“类比法”教学片断。
提示:
所设计的教学片断要求
（1）以小组合作探究的形式，让学生举例说明除法的被除数和除数与分数的分子和分母之间存在什么样的关系（相似关系）?
商与分数又有什么关系（相似关系）?
那么与被除数、除数同时扩大或缩小相同的倍数其商不变相似的结论又是什么呢?
通过一系列层层递进式的问题情境，把学生的思维导向分数与商相似的特征上来，创设学生自主探究分数的性质的全过程;
（2）教学设计要体现教师引导学生归纳概括“分数的性质”的过程，并重视学习方法指导，使学生初步领会用“类比法”获取新知识的策略。
一、回忆除法和分数的有关概念
同学们还记得除法的哪些概念和记号?
被除数÷
除数=商
对。
我们再回忆分数的概念和记号。
好。
大家一起来比较这两个概念的相似性。
商好比分数，被除数好比分子。
除数好比分母。
二、回忆除法的性质
很好。
现在我们回忆除法有哪些性质。
被除数与除数同时扩大，商不变。
被除数与除数同时缩小，商也不变。
三、类比出分数的性质
刚才我们知道商好比分数，因此我们可以问:
除法的这些性质是否可以类比到分数上来呀?
可以。
应该怎样类比呢?
分子与分母同时扩大，分数不变。
分子与分母同时缩小，分数不变。
四、总结成公式
这些性质怎样用公式表示呢?
可以列表如下:
除法
分数
除法的表示:
A÷
B
分数的表示:
性质
（一）:
若M≠0，则（A×
M）÷
（B×
M）=A÷
分数的性质
（一）:
若M≠0，则
性质
（二）:
若M≠0，则（A÷
（B÷
分数的性质
（二）:
性质（三）:
B÷
C=A÷
C）
分数的性质（三）:
性质（四）:
（A÷
B）÷
（C÷
D）=（A×
D）÷
分数的性质（四）:
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