高中数学新课程创新教学设计案例50篇不等式Word下载.docx
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3.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种,按照生产的要求,600mm钢管的数量不能超过500mm的3倍,试写出满足上述所有不等关系的不等式.
设600mm钢管的数量为x,500mm的数量为y,则
通过上述实例,说明现实世界中,不等关系是十分丰富的,为了解决这些问题,须要我们学习不等式及基本性质.
二、建立模型
1.教师精讲,分析
我们知道,实数与数轴上的点是一一对应的,在数轴上不同的两点中,右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大,用不等式表示为a>b,即a减去b所得的差是一个大于0的数.
一般地,设a,b∈R,则
a>b
a-b>0,
a=b
a-b=0,
a<b
a-b<0.
由此可见,要比较两个实数的大小,只要考查它们的差就可以了.例如,比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小就可以作差变形,然后判断符号.
2.通过问题或复习,引导学生归纳和总结不等式的性质
(1)对于“甲的年龄大于乙的年龄”,你能换一种不同的叙述方式吗?
(2)如果甲的身高比乙高,乙的身高比丙高,你能得出甲与丙哪个高吗?
(3)回忆初中已学过的不等式的性质,试用字母把它们表示出来.
用数学符号表示出上面的问题,便可得出不等式的一些性质:
定理1 如果a>b,那么b<a;
如果b<a,那么a>b.
定理2 如果a>b,且b>c,那么a>c.
定理3 如果a>b,那么a+c>b+c.
定理4 如果a>b,且c>0,那么ac>bc;
如果a>b,且c<0,那么ac<bc.
3.定理1~4的证明
关于定理1~4的证明要注意:
(1)定理为什么要证明?
(2)证明定理的主要依据或出发点是什么?
(3)定理的证明要规范,每步推理要有根据.
(4)关于定理3的推论,定理4的推论1,可由学生独立完成证明.
4.考虑定理4的推论2:
“如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,且n>0)”的逆命题,得出定理5
定理5 如果a>b>0,那么
(n∈N,且n>1).
由于直接证明定理5较困难,故可考虑运用反证法.
三、解释应用
[例 题]
1.已知a>b,c<d,求证:
a-c>b-d.
证法1:
∵a>b,∴a-b>0.又c<d,∴d-c>0.
∴(a-c)-(b-d)=(a-b)+(d-c)>0,
∴a-c>b-d.
证法2:
∵c<d,∴-c>-d.又a>b,∴a-c>b-d.
[练 习]
1.判断下列命题的真假,并说明理由.
(1)如果ac2>bc2,那么a>b.
(2)如果a>b,c>d,那么a-d>b-c.
四、拓展延伸
1.如果30<x<42,16<y<24,求x+y,x-2y及
的取值范围.
2.如果a1>b1,a2>b2,a3>b3,…,an>bn,那么a1+a2+a3+…+an>b1+b2+b3+…+bn吗?
为什么?
3.如果a>b>0,那么
吗?
(其中
为正有理数)
49一元二次不等式
一元二次不等式的解法是高中数学的一个重要内容,它是进一步学习不等式的基础,同时是解决有关实际问题的重要方法之一.这节课通过具体例子,借助二次函数的图像求解不等式,进而归纳、总结出一元二次不等式,一元二次方程与二次函数的关系,得到利用二次函数图像求解一元二次不等式的方法.最后,说明一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组,由此又引出了简单分式不等式的解法.这节内容的重点是一元二次不等式的解法,难点是弄清一元二次不等式、一元二次方程与二次函数的关系.
1.让学生经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.
2.通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系,熟练掌握应用二次函数图像解一元二次不等式的方法.
3.通过一元二次不等式转化为一元一次不等式组的解法,让学生体会等价转化的数学思想,培养学生的逻辑推理能力.
1.出示问题
(1)某产品的总成本c(万元)与产量x(台)之间满足关系:
c=3000+20x-0.1x2,其中x∈(0,240),x∈N,若每台产品售价25万元,试求生产者不亏本时的最低产量x.
引导学生建立一元二次不等式模型:
由题意,得销售收入为25x(万元),
要使生产者不亏本,必须使
3000+20x-0.1x2≤25x,即x2+50x-30000≥0.
(2)国家为了加强对某特种商品生产的宏观管理,实行征收附加税政策.现知每件产品70元,不加收附加税时,每年大约产销100万件,若政府征收附加税,每销售100元要征税R元(即税率为R%),则每年的产销量要减少10R万件.要使每年在此项经营中所收取的附加税税金不少于112万元,问R应怎样确定.
2.引导学生建立一元二次不等式模型
设产销量为每年x(万件),则销售收入为每年70x(万元),从中征收的税金为70x·
R%(万元),并且x=100-10R.
由题意,知70(100-10R)·
R%≥112,
即R2-10R+16≤0.
如何求解以上两个一元二次不等式呢?
1.对于不等式x2+50x-30000≥0,可以借助二次函数的图像来解决
设二次函数f(x)=x2+50x-30000,抛物线开口向上,与x轴交点的横坐标是相应二次方程x2+50x-30000=0的解.此时x1=-200,x2=150.如图,所谓解不等式x2-50x-30000≥0,就相当于求使函数f(x)≥0的x的集合.考虑图像在x轴及其上方的部分,即f(x)≥0,相应的x的集合{x|x≤-200或x≥150}就是不等式的解集.结合实际,可知生产者不亏本时的最低产量为150台.
运用完全类似的方法,可以求解不等式R2-10R+16≤0的解集为{R|2≤R≤8}.
2.教师明晰
设a>0,解一元二次不等式ax2+bx+c>0(<0),
首先,设f(x)=as2+bx+c.
(1)计算Δ=b2-4ac,判断抛物线y=f(x)与x轴交点的情况.
(2)若Δ≥0,解一元二次方程ax2+bx+c=0,得两根为x1,x2,(x1≤x2).
(3)结合
(1)
(2)画出y=f(x)的图像.
(4)解不等式ax2+bx+c>0,就相当于使f(x)>0.考虑图像在x轴上方的部分,即f(x)>0,相应的x的集合就是ax2+bx+c>0的解集.
解不等式ax2+bx+c<0,就相当于使f(x)<0.考虑图像在x轴下方的部分,即f(x)<0,相应的x的集合就是ax2+bx+c<0的解集.
根据上述内容,结合图像写出不等式的解集.
思考:
对于一元二次不等式的二次项系数a,如果a<0,上述结论如何?
1.解不等式2x2-3x-2>0.
解:
∵Δ=(-3)2-4×
2×
(-2)=25>0,
方程2x2-3x-2=0的两根为x1=-
,x2=2,
∴不等式2x2-3x-2>0的解集为{x|x<-
或x>2}.
2.解不等式-x2+2x-3≥0.
3.已知不等式mx2-(m-2)x+m>0的解集为R,求m的取值范围.
(1)当m=0时,原不等式可化为2x>0,解集不是R.
(2)当m<0时,抛物线y=mx2-(m-2)x+m开口向下,解集也不是R.
(3)当m>0时,须满足
1.解下列不等式.
(1)-3x2+6x>2.
(2)4x2-4x-1>0.
(3)x2-3x+5>0. (4)-6x2-x+2≤0.
4.以每秒a(m)的速度从地面垂直向上发射子弹,t(s)后,子弹上升的高度x可由x=ab-4.9t2确定.已知发射后5s,子弹上升的高度为245m,问:
子弹保持在245m以上高度有多少秒?
一元二次不等式(ax+b)(cx+d)>0(<0)也可以根据实数运算的符号法则求解,如解不等式(x+4)(x-1)<0.
注意到不等式左边是两个x的一次式的积,右边是0,那么它可以根据积的符号法则化为一次不等式组:
50基本不等式:
“
”的证明学生比较容易理解,学生难理解的是“当且仅当a=b时取‘=’号”的真正数学内涵,所谓“当且仅当”就是“充分必要”.
教学重点是定理及其应用,难点是利用定理求函数的最值问题,进而解决一些实际问题.
1.理解两个实数的平方和不小于它们积的2倍这一重要不等式的证明,并能从几何意义的角度去解释,形成数形结合的完美统一.
2.理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理的证明,及其几何意义,会用这两个重要不等式解决简单的实际应用题.
3.通过定理的证明培养学生的逻辑推理能力,通过定理的应用揭示数学的应用价值.
教师出示问题,引导学生分析、思考:
某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?
最低总造价是多少元?
1.通过比较a2+b2与2ab的大小,引入重要不等式.
∵a2+b2-2ab=(a-b)2,
∴当a≠b时,(a-b)2>0;
当a=b时,(a-b)2=0.
即(a-b)2≥0,从而有a2+b2≥2ab.
2.结论明晰
定理1 如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时,取“=”号).
对于定理1和定理2,当且仅当a=b时取“=”号的具体含义是什么?
1.已知x,y都是正数,求证:
小结;
上述结论是我们用定理求最值的依据,可简述为和为定值积最大,积为定值和最小.
2.设法解决本节课开始提出的问题.
因此,当水池的底面是边长为40m的正方形时,水池的总造价最低,最低总造价为297600元.
3.0求证:
在直径为d的圆内接矩形中,面积最大的是正方形,并且这个正方形的面积等于
d2.
2.设计一幅宣传画,要求画面面积为4840cm2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8cm的空白,左、右各留5cm的空白.问:
怎样确定画面的高与宽的尺寸,才能使宣传画所用纸张面积最小?
答:
当画面高为88cm、宽为55cm时,所用纸张面积最小.
3.用一段长为L(m)的篱笆围成一个边靠墙的矩形菜园,问:
当这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?
上述两种解答的答案不同,哪一种方法是错误的,为什么?