天津科技大学数理金融复习.docx
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数理金融复习
填空判断：
1.单利和复利：
单利和复利都是计息的方式。
单利与复利的区别在于利息是否参与计息。
2.如果每年计算复利m次，t年后的终值为F=P1+immt
3.复利现值公式：
P=F1+in，普通年金现值公式：
P=A×1-1+i-ni，资金还原系数，记为（A/P，i，n）
4.例2-4
汽车每辆售价100000元，成交时付款34000元，其余66000元分11个月付款，即每月6000元，试以月息0.0042求其现值。
5.海赛行列式的正定性：
对称阵A为正定的充分必要条件是：
A的各阶主子式都为正。
例：
判定对称矩阵A=310130003正定性。
解：
因为a11=3>0，a11a12a21a22=3113=8>0，A=310130003=24>0，
所以A是正定的。
6.回归分析关心的是根据解释变量的已知或给定值，考察被解释变量的总体均值。
由样本函数尽可能的准确估计总体函数。
7.样本回归函数（SRF）：
基本形式是：
Yi=β0+β1Xi+μi
随机形式是：
Yi=Yi+μi=β0+β1Xi+ei
PRF:
Yi=EYXi=β1+β2Xi
SRF:
Yi=β1+β2Xi
Yi
Yi
μi
EYXi
μi
Xi
X
Y
EYXi
Yi
Yi
A
总体回归函数（PRF）：
Yi=EYXi+μi=β0+β1Xi+μi
8.可以证明σ2的最小二乘估计量为σ2=ei2n-2，它是关于σ2的无偏估计量。
9.总离差平方和：
TSS=yi2=Yi-Y2
回归平方和：
ESS=yi2=Yi-Y2
残差平方和：
RSS=ei2=Yi-Yi2
TSS=RSS+ESS
拟合优度：
R2=ESSTSS=1-RSSTSS=β12xi2yi2
10.变量的显著性检验：
计量经计学中，主要是针对变量的参数真值是否为零来进行显著性检验的。
11.小概率事件原理认为：
小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的。
12.假设一元线性回归方程的总体回归函数为Yi=β0+β1Xi+μi，样本回归函数为Yi=β0+β1Xi+μi，对解释变量Xi的显著性进行检验，设已计算出t=β1Sβ1，样本容量为n，查t分布表得临界值，则事件“|t|>tα/2n-2”是小概率事件。
13.假设一元线性回归方程的总体回归函数为Yi=β0+β1Xi+μi，样本回归函数为Yi=β0+β1Xi+μi，给定显著性水平α，则在1-α的置信度下，β1的置信区间为βi-tα/2×Sβi，βi+tα/2×Sβi。
14.
15.多元线性回归总体回归函数的随机表达形式：
Yi=β0+β1X1i+β2X2i+…+βkXki+μi
16.多元线性回归调整的可决系数R2=1-RSS/n-k-1TSS/n-1
调整的思路是:
将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响。
其中：
n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总体平方和的自由度。
17.多元线性回归显著性检验公式：
在原假设H0成立的条件下，统计量F=ESS/kRSS/n-k-1服从自由度为（k,n-k-1）的F分布。
给定显著性水平α，可得到临界值Fαk,n-k-1，由样本求出统计量F的数值，通过F>Fαk,n-k-1或F≤Fαk,n-k-1，来拒绝或接受原假设H0，以判定原方程总体上的线性关系是否显著成立。
18.方程的显著性检验（F检验），旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立作出推断。
19.单位根过程是非平稳序列。
考虑下式yt=α+yt-1+μt1，也可写成∆yt=yt-yt-1=α+μt
（2），其中α是常数，ut是平稳序列，若ut~i.i.d.N0,σ2，且ut是一个白噪声序列。
若令α=0，y0=0，则由式
（1）生成的序列yt，有Var（yt）=tσ2（t=1,2,…,T），显然违背了时间序列平稳性的假设。
而式
（2）的差分序列是含位移α的随机游走，说明yt的差分序列∆yt是平稳序列。
20.协整验证的是变量之间的长期稳定关系，误差修正验证的是变量之间的短期波动关系。
21.DF检验：
①如果-1<ρ<1，则yt平稳（或趋势平稳）。
②如果ρ=1，yt序列是非平稳序列。
③如果ρ的绝对值大于1，序列发散，且其差分序列是非平稳的。
22.随机过程：
一个随机过程X={X（t）,t∈T}是一族随机变量，即对指标集T中的每个t，X（t）是一个随机变量。
我们常常把t解释成时间，且称X（t）是过程在时刻t的状态。
如果指标集T是一个可数集，则称X为一个离散时间的随机过程，而如果T是一个连续统，则称它为连续时间过程。
23.宽平稳：
如果随机过程{X（t）,t∈T}的所有二阶矩阵都存在，并且E[X（t）]=μ，自协方差函数C_x（t,s）只与时间差（t-s）有关，则称{X（t）,t∈T}为宽平稳过程或二阶平稳过程。
24.拟合优度：
对样本回归直线与样本观测值之间拟合程度的检验，即要用拟合优度来说明这条样本回归线对数据拟合得有多么好（拟合得好，就有更多的样本观测值落在样本回归线上）。
度量拟合优度的指标：
判定系数（可决系数）R2。
25.风险厌恶者效用函数具有凹性
26.金融交易都要面对许多不确定性因素，这些不确定性因素都将影响并反映在金融产品的风险和收益上，因此，任何金融决策都必须在权衡风险和收益之后才能做出抉择。
27.数理金融的发展阶段
第一个时期：
发展初期（1954-1968）．代表人物有，阿罗，德布鲁，马柯维茨，夏普，莫迪利亚等．
第二个时期：
黄金时代（1969-1979）．代表人物有莫顿，布莱克，卢卡斯，哈里森等．
第三个时期：
完善时期（1980-至今）．代表人物有达菲，卡瑞撤斯和考克斯等．
28.一般经济均衡理论的创始人瓦尔拉斯
29.第一次“华尔街革命”是指：
马科维茨的证券组合是建立在一般经济均衡理论上。
30.年布莱克－肖尔斯期权定价公式是建立在无套利假设上，无套利假设比一般经济均衡理论更进一步。
31.简单的说：
一无所知而交易是赌博行为，依靠经验与技巧而交易是投机行为，根据市场的基本面（或某公司的基本情况）而买入并长期持有，然后从每年稳定的红利中获取收益是投资行为。
简答：
1.实际利率与名义利率联系与区别
在经济分析中，复利计算通常以年为计息周期。
但在实际经济活动中，计息周期有半年、季、月、周、日等多种。
当利率的时间单位与计息期不一致时，就出现了名义利率和实际利率的概念。
①在复利计算中，如果恰好是一年一计息，即计息周期为一年的话，则计息期利率就为年名义利率。
②然而如果计息周期短于一年，比如半年一计息，或每个月计一次洗的话，就会引起实际利率和名义利率的问题。
例子：
如果告诉你年利率为6%，半年计息一次，其含义就是指一年计息两次，半年的利息为6%÷2=3%，显然，如果本金为P，实际一年下来的本利和应为P1+3%2，如果扣除本金P，一年的实际利息为P1+3%2-P，将实际利息除以本金P就是实际年利率。
显然，实际年利率就是P1+3%2-PP=1+3%2-1=6.09%，而不是6%。
2.流量和存量
①凡是在任何一个时点上可观测的量，就是存量，换句话说，存量可以看作是时间变量t的函数，S=S（t）。
时间变量是可以连续取值的，这意味着对存量的观测是随时的。
流量是时段的函数，F＝F（T），T是时段，第一时段、第二时段……，是按照序数取值的，只能是自然序数，是不连续的整数。
②一件事物的存在状态是可以被观测的。
存量就是描述存在状态的，这个定义决定了存量可以在一个时点上被观测到，观测结果可以用来表述事物当时的存在状态即模样。
但是流量不行。
流量必须通过指定时段内的累加才能得到，是一个过程量，描述的是一个过程。
3.为什么要假设μi服从正态分布
①μi代表除解释变量Xi之外的其他因素对Yi产生的影响的总和。
利用中心极限定理就能证明，如果存在大量独立同分布的随机变量，那么，随着这些变量的个数无限增大，它们的总和将趋向正态分布。
即使变量个数并不是很大或者这些变量还不是严格独立的，它们的总和仍然是正态分布的。
②正态分布的一个性质是，正态分布变量的任何线性函数都是正态分布的。
下节课我们将学习到，普通最小二乘法估计量β0和β1是μi的线性函数。
因此，若μi是正态分布的，则β0和β1也是正态分布的，这就使接下来的假设检验工作十分简单。
4.假设一元线性回归方程的总体回归函数为Yi=β0+β1Xi+μi，样本回归函数为Yi=β0+β1Xi+μi，对变量Xi的显著性进行假设检验的一般步骤是什么？
①对总体参数提出假设
H0：
β1=0H1：
β1≠0
②以原假设H0构造t统计量，并由样本计算其值t=β1Sβ1
③给定显著性水平α，查t分布表，得临界值tα/2n-2
④比较，判断:
若|t|>tα/2n-2，则拒绝H0，接受H1；
若|t|计算：
1.给年金求现值，给现值求年金
例2-3:
某人贷款金额为20万，年利息为6%，计划办理5年银行按揭，每个月月末应向银行还款多少钱
所用公式：
A=P×i1-1+i-n
例2-4
汽车每辆售价100000元，成交时付款34000元，其余66000元分11个月付款，即每月6000元，试以月息0.0042求其现值。
2.总成本、平均成本与边际成本
例2-7：
（大题）
已知总成本函数TC=Q3-18Q2+750Q，利用微分知识做出总成本、平均成本和边际成本三者关系的图形
涉及到：
f''x≥0，弦在上方，凸函数
f''x≤0，弦在下方，凹函数
3.消费者剩余
例2-13
在垄断条件下所销售的数量和市场价格是由需求函数决定的，设一个利益最大化的垄断者的需求函数是P=274-Q2，边际成本函数MC=4+3Q，求消费者剩余。
4.差分方程：
一阶差分方程的通解
一阶差分方程yt=byt-1+a
通解：
b≠1时，yt=y0-a1-bbt+a1-b
b=1时，yt=y0+at
5.证券组合收益率和风险的测度
例2-18
某证券组合由一个风险证券和一个无风险证券构成，风险证券组合中包括两个证券A、B,他们的预期收益率分别为10%和8%，证券A的方差为σA2=200，证券B的方差为σB2=80，协方差σAB=50，两种证券权重均为0.5，无风险证券的预期收益率为5%，在证券组合中的权重为0.25，计算该证券组合的总预期收益率和总风险。
注意：
期望和方差可以用矩阵形式
6.例2-21
最优化函数y=-5x12+10x1+x1x3-2x22+4x2+2x2x3-4x32，利用海赛行列式检验二阶条件
所用定理：
若函数Z=fx,y在点x0,y0的的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,
且Zxx0,y0=0，Zyx0,y0=0
令A=Zxxx0,y0，B=Zxyx0,y0，C=Zyyx0,y0
则①当AC-B2>0时，具有极值，A<0时取极大值，A>0时取极小值
②当AC-B2<0时，没有极值
③当AC-B2=0时，不能确定，需另行讨论
7.证明白噪声序列是平稳过程
白噪声序列
设序列{Xn,n=0,1,…}满足EXn=0，EXn,Xm=0,m≠nσ2,m=n
则称{Xn,n=0,1,…}为白噪声，可以证明白噪声为平稳序列
8.习
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