一级倒立摆系统0.docx
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一级倒立摆系统0
实训报告
题目：
一阶倒立摆系统的控制器设计
学院：
信息与通信工程学院
指导老师：
涂兵老师
专业：
自动化
班级：
11级自动化2Bf
学号：
14112101440
姓名：
魏龙
序号：
27
课程设计指导教师评定成绩表
项目
分值
优秀
（100>x≥90）
良好
（90>x≥80）
中等
（80>x≥70）
及格
（70>x≥60）
不及格（x<60）
评分
参考标准
参考标准
参考标准
参考标准
参考标准
学习态度
15
学习态度认真，科学作风严谨，严格保证设计时间并按任务书中规定的进度开展各项工作
学习态度比较认真，科学作风良好，能按期圆满完成任务书规定的任务
学习态度尚好，遵守组织纪律，基本保证设计时间，按期完成各项工作
学习态度尚可，能遵守组织纪律，能按期完成任务
学习马虎，纪律涣散，工作作风不严谨,不能保证设计时间和进度
技术水平与实际能力
25
设计合理、理论分析与计算正确，实验数据准确，有很强的实际动手能力、经济分析能力和计算机应用能力，文献查阅能力强、引用合理、调查调研非常合理、可信
设计合理、理论分析与计算正确，实验数据比较准确，有较强的实际动手能力、经济分析能力和计算机应用能力，文献引用、调查调研比较合理、可信
设计合理，理论分析与计算基本正确，实验数据比较准确，有一定的实际动手能力，主要文献引用、调查调研比较可信
设计基本合理，理论分析与计算无大错，实验数据无大错
设计不合理，理论分析与计算有原则错误，实验数据不可靠，实际动手能力差，文献引用、调查调研有较大的问题
创新
10
有重大改进或独特见解，有一定实用价值
有较大改进或新颖的见解，实用性尚可
有一定改进或新的见解
有一定见解
观念陈旧
论文（计算书、图纸）撰写质量
50
结构严谨，逻辑性强，层次清晰，语言准确，文字流畅，完全符合规范化要求，书写工整或用计算机打印成文；图纸非常工整、清晰
结构合理，符合逻辑，文章层次分明，语言准确，文字流畅，符合规范化要求，书写工整或用计算机打印成文；图纸工整、清晰
结构合理，层次较为分明，文理通顺，基本达到规范化要求，书写比较工整；图纸比较工整、清晰
结构基本合理，逻辑基本清楚，文字尚通顺，勉强达到规范化要求；图纸比较工整
内容空泛，结构混乱，文字表达不清，错别字较多，达不到规范化要求；图纸不工整或不清晰
指导教师评定成绩：
指导教师签名：
年月日
一级倒立摆系统
引言
随着科学技术的迅速发展，新的控制方法不断出现，倒立摆系统作为检验新的控制理论及方法有效性的重要实验手段得到广泛研究。
本文选取平面一级倒立摆系统作为研究对象，进行了针对多变量复杂系统的智能控制方法。
倒立摆系统是一种绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统,是控制理论研究中理想的实验对象,它为控制理论的教学、实验和科研构建了一个良好的实验平台,促进了控制新理论和新思想的发展。
因为对倒立摆系统的控制可以比较真实地模拟火箭的飞行控制和步进机器人的稳定控制等,所以对倒立摆系统进行深入研究具有很重要的理论和实际意义。
目前,PID控制应用最广,这不仅仅是因为PID控制结构简单、易于实现,而且更重要的是因为PID适合于大多数控制对象。
在一些发达国家（如日本）,PID控制的使用率也达85.4%。
PID控制器实现且综合了关于系统过去（I）、现在（P）和未来（D）三方面的信息,对动态过程无需太多的预测知识,鲁棒性强,控制效果令人满意。
采用不同的PID参数,控的效果大不相同,系统的闭环特性很大程度上取决于PID控制器的性能,因此控制器参数的调节和优化决定着PID控制系统最终能达到的控制性能,也是PID控制系统研究中十分重要并有实践意义的领域。
图1.1系统的硬件框图
1、数学模型的建立
系统建模可以分为两种：
机理建模和实验建模。
对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。
机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学等学科的知识和数学手段建立起系统内部变量、输入变量以及输出变量之间的数学关系。
1.1模型的受力分析
在忽略了空气流动，各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示。
图1.2倒立摆模型
我们在本次试验中定义如下变量：
M小车质量1.096Kg
m摆杆质量0.109Kg
b小车摩擦系数0.1N/m/sec
l摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25m
I摆杆惯量0.0034kg*m*m
F加在小车上的力
x小车位置
θ摆杆与垂直方向的夹角
下面我们对这个一级倒立摆系统作受力分析，如下图所示N和P是小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量
图1.3小车及摆杆受力分
1.2模型的数学分析
图1.4小车受力模型
应用Newton方法来建立系统的动力学方程过程如下：
分析小车水平方向的合力，可得到以下方程：
-N
由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：
即
把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：
（1）
为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：
即
力矩平衡方程如下：
注意：
此方程中力矩的方向，由于，故等式前面有负号。
合并这两个方程，约去和，由得到第二个运动方程：
（2）
设（是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设与1（单位是弧度）相比很小，即《1，则可以进行近似处理：
，，。
用来代表被控对象的输入力，线性化后两个运动方程如下：
（3）
2、传递函数
假设初始条件为0，对方程组（3）进行拉普拉斯变换，得到
（4）
由于输出为角度，求解方程组（4）的第一个方程，可以得到
把上式代入方程组（4）的第二个方程，得到
整理后得到传递函数：
（5）
其中
3、系统的MATLAB仿真和开环响应
在Matlab中，拉普拉斯变换后得到的传递函数可以通过计算并输入分子和分母矩阵来实现。
求系统传递函数的m-文件内容如下：
执行上面的文件，就可以求出系统传递函数的分子与分母多项式的Matlab表示：
可以得到系统开环脉冲响应的曲线如下：
图1.5系统开环脉冲响应曲线
4、控制器的设计
4.1PID控制算法
目的：
设计PID控制器，使得当在小车上施加1N的脉冲信号时，闭环系统的响应指标为：
1、稳定时间小于5秒
2、稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1弧度
分析：
系统输出量为摆杆的位置，它的初始位置为垂直向上，我们给系统施加一个扰动，观察摆杆的响应。
系统框图如下：
图1.6PID系统框图
图中是控制器传递函数，是被控对象传递函数。
考虑到输入，结构图可以很容易的变换成
图1.7PID系统反馈控制框图
该系统的输出为
其中，——被控对象传递函数的分子项
——被控对象传递函数的分母项
——PID控制器传递函数的分子项
——PID控制器传递函数的分母项
被控对象的传递函数是
其中
PID控制器的传递函数为
调节PID控制器的各个参数，以得到满意的控制效果。
前面讨论的输出量只考虑了摆杆角度，那么，在我们施加扰动的过程中，小车位置如何变化？
考虑小车位置，得到改进的系统框图如下：
图1.8改进的PID系统控制框图
其中，是摆杆传递函数，是小车传递函数。
由于输入信号，所以可以把结构图转换成：
图1.9等价PID系统控制框图
其中，反馈环代表我们前面设计的摆杆的控制器。
注：
从此框图我们可以看出此处只对摆杆角度进行了控制，并没有对小车位置进行控制。
小车位置输出为：
其中，，，，分别代表被控对象1和被控对象2传递函数的分子和分母。
和代表PID控制器传递函数的分子和分母。
下面我们来求，根据前面的推导，有
可以推出小车位置的传递函数为
其中
可以看出，==，小车的算式可以简化成：
4.1.1摆杆角度的控制
首先，其中函数polyadd是求两个多项式之和的函数，它不是Matlab工具，因此必须把它拷贝到polyadd.m文件中,并把该文件的目录用addpath命令加到路径中。
Polyadd函数内容如下：
我们把输出为摆杆角度时系统的传递函数用Matlab表示出来，建立一个m-文件，将下面几行表示传递函数的语句拷贝进去，其中代表比例系数：
运行结果及仿真结果如下：
、图1.10初始PID参数摆角状态图
以上都是初始状态值及系统统响应是不稳定的，不能满足要求，需要调整参数，和，直到获得满意的控制结果。
首先增加比例系数，观察它对响应的影响，取=100，kd=1.系统响应如下：
num=
2.356600
den=
1.00000.0883-27.8285-2.30940
kd=
1
k=
100
ki=
1
numc=
2.3566000
denc=
1.00002.4449207.82680.047100
图1.11Kp=100，Ki=1时的摆角输出图
从上述实验结果可以看出系统稳定时间约为4秒，满足要求。
由于此时稳态误差为0，所以不需要改变积分环节；系统响应的超调量比较大，为了减小超调，增加微分系数，取=20，响应结果和响应曲线如下：
num=
2.356600
den=
1.00000.0883-27.8285-2.30940
kd=
20
k=
100
ki=
1
numc=
2.3566000
denc=
1.000047.2194207.82680.047100
图1.12增加微分至=20时的摆角输出图
改变Kd后，超调只有约0.04，大约1s左右就达到稳定。
响应达到稳定指标。
4.1.2小车位置的仿真
仿真小车位置变化的m-文件内容如下：
仿真结果如下：
num1=
2.356600
den1=
1.00000.0883-27.8285-2.30940
num2=
-0.8832023.094
den2=
1.00000.0883-27.8285-2.30940
kd=
20
k=
100
ki=
1
numc=
-0.8832023.09420
denc=
1.000047.2194207.82680.047100
图1.13小车位置曲线
4.2极点配置法
采用极点配置法设计多输出的倒立摆系统的控制方案。
可以用完全状态反馈来解决，控制摆杆和小车的位置。
下图是控制系统的示意图。
图1.14控制系统框图
倒立摆系统其线性化后的状态空间模型为：
Y=CX
A,B,C矩阵分别如下：
=
B=
C=【1000】
控制目标为：
将倒立摆保持在垂直位置，同时要求系统输出跟踪一个阶跃输入信号，及要求小车移动一个单位距离，停在预定的位置。
设计的系统要求具有合理的响应速度和阻尼（调节时间为4~5s,最大超调为15%）。
利用增广系统的状态反馈设计控制系统。
相应的增广系统状态空间模型为:
=D+Eu+F
y=【10000】
矩阵D、E、F分别如下：
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