信号时频分析-讲义-WVD.doc
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数字信号处理-信号时频分析讲义
Wigner-Ville分布
Wigner-Ville分布可以看作是一大类分布的原型，它们和短时傅立叶变换谱有着本质的不同。
它首先由Wigner提出，用于量子力学领域问题的研究，后由Ville引入到信号分析。
因为在计算中，信号需要用到两次，因此Wigner-Ville分布被称为一种二次型分布。
基本定义及计算
Wigner-Ville分布可由信号x（t）本身或它的频谱定义为如下两种等价方式
（2.1.1）
.（2.1.2）
其中*表示复数共轭。
要证明上面两式是等价的，只需将信号写成它的频谱形式，然后将其代入到（2.1.1）式，即可得到（2.1.2）式。
式（2.1.1）中，称为信号的瞬时相关函数，因此Wigner-Ville分布实质上是对信号的瞬时相关函数的傅立叶变换，它的结果能够反映信号的时频特征。
例2.1.1对于信号
（2.1.3）
其采样频率为1000Hz。
图2.1.1是其Wigner-Ville分布，频率轴划分区间数为512。
图中清楚显示，该信号在整个时间段上，只含有一个频率为200Hz的分量。
需要说明的是，图中显示的是Wigner-Ville分布的绝对值，后面所有图中，如果没有特别注明，都默认显示的是绝对值。
t/s
f/Hz
Wigner-Ville分布
500
400
300
200
100
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.2
0.4
0.6
0.8
图2.1.1信号（2.1.3）的Wigner-Ville分布
例2.1.2
（2.1.4）
这是一个线性调频信号。
采样频率为500Hz，图2.1.2是其时域波形和频谱，图2.1.3是其Wigner-Ville分布，频率轴划分区间数为512。
频谱图显示该信号的频率范围在50Hz至150Hz之间，但却不能反映频率随时间的变化关系，而Wigner-Ville分布图则清楚表明该信号的频率是随时间呈线性增加，是个线性调频信号。
t/s
（a）时域波形
f/Hz
（b）频谱
幅值
幅值
图2.1.2信号（2.1.4）的时域波形和频谱
f/Hz
t/s
Wigner-Ville分布
50
100
150
200
250
0
0
0.5
1
1.5
2
0.2
0.4
0.6
0.8
图2.1.3信号（2.1.4）的Wigner-Ville分布
基本性质
Wigner-Ville分布是一种最基本，也是应用最多的时频分布。
熟悉Wigner-Ville分布的数学性质对于全面了解该分布是十分必要的。
下面给出了Wigner-Ville分布的一些主要性质。
（1）实值特性Wigner-Ville分布总是实值的，即便信号是复数。
根据式（2.1.1），的共轭复数定义为
（2.2.1）
因此，是实值函数。
（2）时频边缘特性Wigner-Ville分布具备如下时频边缘特性。
（2.2.2）
（2.2.3）
很显然，
（2.2.4）
类似可证明边缘特性（2.2.3）。
在信号分析中，信号x（t）的瞬时功率定义为信号模值的平方|x（t）|2，类似地，信号在某一频率的能量强度叫做能量谱密度，它是信号傅立叶变换谱的平方|X（ω）|2。
因此，Wigner-Ville分布的边缘特性表明，该分布关于时间t和频率ω的积分分别给出了信号x（t）在t时刻的瞬时功率和在频率ω的能量谱密度。
（3）能量守恒Wigner-Ville分布是一种能量守恒的变换，这可由该变换的时频边缘特性很容易地给出证明。
（2.2.5）
（4）时移和频移不变性如果，则
（2.2.6）
将代入Wigner-Ville分布的定义中，可知新信号的Wigner-Ville分布可表示为
（2.2.7）
该性质表明，当信号在时间轴上移位一时间段时，它的整个Wigner-Ville分布也将相应地移位相同的时间量。
类似地，如果信号的频谱平移一固定的量，则其分布也将平移相同的量。
（5）时频伸缩相似性:
如果，则
（2.2.8）
这一性质显然应该成立，否则，如果把信号sin（4πt）（0在二维时频面上，如果信号sin（2πt）的时频分布被正确地显示在1Hz处，那么信号sin（4πt）的时频分布将不会正确地出现在2Hz处。
类似地可推出，如果该时频伸缩相似性不成立，那么后续的有限支撑性质也不能满足。
（6）卷积性质如果信号y（t）是信号x（t）和h（t）的卷积，则y（t）的Wigner-Ville分布是x（t）和h（t）的Wigner-Ville分布的时域卷积，即如果,则
（2.2.9）
（7）乘积性质如果信号y（t）是信号x（t）和h（t）的乘积，则y（t）的Wigner-Ville分布是x（t）和h（t）的Wigner-Ville分布的频域卷积，即如果,则
（2.2.10）
（8）有限支撑性质如果信号x（t）是时域有限支撑的，则它的Wigner-Ville分布也具有同样的时域有限支撑，即如果，，则，。
类似地，如果信号x（t）是频域有限支撑的，则它的Wigner-Ville分布也具有同样的频域有限支撑。
（9）对线性调频信号分析的良好集中性Wigner-Ville分布可以精确地反映线性调频信号的频率信息，如，则
.（2.2.11）
交叉干扰项及其抑制
虽然Wigner-Ville分布具有很多优良的数学性质，遗憾的是，它却不满足可加性。
考虑信号
（2.3.1）
将它代入式（2.1.1）可知，信号x（t）的Wigner-Ville分布可写为
（2.3.2）
其中
（2.3.3）
（2.3.4）
这两项称为互Wigner-Ville分布，它们是复值的，并且可看出
（2.3.5）
因此，是实值的。
这样，式（2.3.2）可简写为
.（2.3.6）
由此可以看出，两个信号和的Wigner-Ville分布并不是简单的两个信号各自的Wigner-Ville分布之和，附加项通常称为交叉项。
通过Wigner-Ville分布的定义也可以直观地解释交叉项是怎么出现的。
正如前面所述，信号某时刻的Wigner-Ville分布是位于该点过去的信号等长度地乘以位于该点未来的信号，然后作傅立叶变换。
因此，只要该点的右边部分和左边部分存在重叠，则即使信号在该点的值为零，该点的Wigner-Ville分布也是非零的。
如图2.3.1所示，显然位于t1和t2之间的点的Wigner-Ville分布不会为零，这些非零点就是交叉项在时域的体现。
这是在时域的示意，在频域同样如此。
x1
x2
t1
t2
图2.3.1交叉项的示例信号
为了更好地说明交叉项，下面给出三个典型信号的Wigner-Ville分布。
例2.3.1该信号的时域波形如图2.3.1所示，其中x1（t）和x2（t）都是频率为20Hz的正弦信号，t1=2秒，t2=5秒。
图2.3.2给出了该信号的Wigner-Ville分布，可清楚看到中间部分出现了交叉项。
t/s
交叉项
t1
t2
Wigner-Ville分布
0
10
20
30
f/Hz
40
50
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
6
0
图2.3.2例2.3.1信号的Wigner-Ville分布（频率轴划分区间数为512）
例2.3.2分析信号（）。
图2.3.3给出了该信号的Wigner-Ville分布，可清楚看到在25Hz处出现了交叉项。
用式（2.1.2），这很容易解释，因为只有当＝25Hz时，和才会有非零重叠项。
t/s
50
40
30
20
10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
Wigner-Ville分布
f/Hz
012345
图2.3.3例2.3.2信号的Wigner-Ville分布（频率轴划分区间数为512）
例2.3.3分析信号
（2.3.7）
图2.3.4给出了该信号的Wigner-Ville分布，可以清楚地看到，该信号的Wigner-Ville分布在时间轴方向和频率轴方向都出现了交叉项。
t/s
f/Hz
Wigner-Ville分布
0
10
20
30
40
50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0246
图2.3.4例2.3.3信号的Wigner-Ville分布（频率轴划分区间数为512）
由上面三个算例可以看出，Wigner-Ville分布的交叉项出现有一定的规律，对简单信号来说，比较容易辨认出图中哪些分量是信号的真实成份，哪些分量是无意义的交叉项。
但在实际应用中，信号一般都比较复杂，如果没有一些先验知识，则很难区分出哪些是真实成份，哪些是交叉项。
另外，交叉项有一个很重要的特性，它们的和为零，即
（2.3.8）
这通过Wigner-Ville分布的边缘特性可以很容易地证明。
很明显，如果交叉项的和是非零的，则在算例1中，对中间部分
，（）（2.3.9）
类似地，如果交叉项的和非零，则在算例2中，在ω＝25Hz处，
，
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