西南大学陈鹏热力学统计物理期末复习重点习题整理Word文档下载推荐.docx
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根据热力学第一定律，有
WQ。
这样一来，系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了，这违背了热力学第二定律的开尔文说法，是不可能的。
因此两条绝热线不可
能相交。
第二章均匀物质的热力学性质
2.2设一物质的物态方程具有以下形式：
pf（V）T,
试证明其能与体积无关.
根据题设，物质的物态方程具有以下形式：
pf（V）T,
（1）
（2）
（3）
故有
f（V）.
P,
但根据式（2.2.7）,有
Tf（V）p0.
这就是说，如果物质具有形式为
（1）的物态方程，则物质的能与体积无关,只是温度T的函数.
2.4已知—0,求证—0.
VTPT
对复合函数
U（T,P）U（T,V（T,p））
求偏导数，有
UUV■
PTVtPt
如果—0,即有
VT
PT
式
（2）也可以用雅可比行列式证明：
U（U,T）
PT（P，T）
（U,T）（V,T）
（V,T）（P,T）
UV
.
第六章近独立粒子的最概然分布
证明：
对于二维自由粒子，有
Px
2.
所以，在面积L,在Px
D（s）d
h
Lnx,Py
dPx
『^md
h2
Lny
：
dnx,dPy?
dny
PxdPx,PyPydPy的量子态数为
6.3试证明，对于二维自由粒子，在面积L2,在£
到寸d£
的能量围，量子态数为
L2dnxdny=—dPxdPyh
换为极坐标，则动量大小在ppdp的量子态数为
dn^2pdpd£
dp2d
h2h
2
p_.........
对4从0至2兀积分，并利用匕则可得在£
到+d£
2m
D（）d£
=2^md
第七章玻耳兹曼统计
7.8稀薄气体由某种原子组成.原子两个能级能量之差为
210.
当原子从高能级2跃迁到低能级1时将伴随着光的发射.由于气体中原子的速度分布和多普勒（Doppler）效应，光谱仪观察到的不是单一频率°
的谱线，而是频率的一个分布，称为谱线的多普勒增宽.试求温度为T时谱线多普勒增宽的表达式.
我们首先根据在原子跃迁发射光子过程中动量和能量的守恒关系导出多普勒效应.
（平行于z轴）的光子后跃迁
为明确起见，假设光谱仪接受沿z轴传播的光，原子的誓师为m,初态处在能级2，速度为°
，发射能量为»
，动量为jk到能级1，速度变为V1动量守恒和能量守恒要求
mq
12
kn如
2—mj.
将式
（1）平方并除以2m,得
22k2
代入式
（2）,注意21
1.
-mmu—
22m
J0.即有
Hz
c2m（
式（3）右方后两项的大小估计如下：
考虑
m”026kg,
如N3102ms-1,
15-1
N10s，
即有
景09
因此右方第三项完全可以忽略，且与°
的差别很小.将式（3）改写为
式（4）给出多普勒频移.多普勒频移通常表达为：
当原子以速度v面对观察者运动时，观察者看到的光频是
其中0是静止原子发出的光的频率.
根据式（7.3.7），温度为T时，气体中原子速度的
概率与下式成正比：
m2
e2kTd会
将式（4）代入上式可以得到光的频率分布
mc2
2kT
e
z分量iz到Qdiz之间的
（5）
mc0
厂c
——d.
（6）
这是以0为中心的高斯（Gaussian）型分布.可以将式（6）表示为高斯型分布的标准形式：
（7）
0
—e^^
1e
22
1
其中0=2.函数F满足归一化条件
mc
Fd1.（8）
式（7）可以从实验加以验证.这是实验上验证麦氏速度分布的方法之一.
7.16已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为
1一2一2_2_2
——PxPyPzax成，
其中a,b是常量，求粒子的平均能H
应用能量均分定理求粒子的平均能量时，需要注意所难能量表达式
中ax2和bx两面三刀项都是x的函数，不能直接将能量均分定理用于ax2项而得
出aX21kT的结论.要通过配方将表达为
Py
P2ax
4a
在式
（1）中，仅第四项是x的函数,
122
—PxPy2m
又是平方项.由能量均分定理知
Pz
2kT£
7.21定域系统含有N个近独立粒子，每个粒子有两个非简并能级°
和110.
求在温度为T的热平衡状态下粒子在两能级的分布，以及系统的能和炳.讨论在低温和高温极限下的结果
解:
首先分析粒子在两能级的分布.配分函数为
乙e0e
e01e
处在两能级的最概然粒子数分别为
n。
e
nie
Ne
1eT
其中是系统的特征温度.式
（1）和
（2）表明，n。
，山随温度的变化取
k
决于特征温度与温度的比值，如图所示.在低温极限T下，n。
N,n〔0.粒
子冻结在低能级.在高温极限T下，n。
n〔N,意味着在高温极限下两能2
级级能量的差异对粒子数分布已没有可能觉察的影响，粒子以相等的概率处在
两个能级.
系统的能为
lnZ1
在低温极限T下，有在高温极限T下，有
这是容易理解的.
系统的热容量为
热容量随温度的变化如图所示.在低温极限T下，有
Nk-T
eT
它趋于零.在高温极限T下，有
-1
CNk-
4T
也趋于零.这结果也是易于理解的.值得注意,
C随温度的变化有一个尖峰,
其位置由
确定（大致在T~附近）.热容量这一尖峰称为热容量的肖脱基（Shottky）反常（解释见后）.
系统的炳为
SNkln乙—lnZ1
Nkln1e
S随温度的变化如下图所示.在低温极限下,
高温极限下,
SNkln2.
二能级系统是经常遇到的物理模型，§
7.8介绍的顺磁性固体和§
7.9介绍的核白旋系统是熟知的例子.§
7.8着重讨论了顺磁性固体的磁性，§
7.9则将核白旋系统看作孤立系统而讨论其可能出现的负温状态.处在外磁场B
中的磁矩
1....-
具有势能-.B.对于白旋为2的粒子，能也为+B.如果磁矩间的
相互作用能量远小于磁矩在外磁场中的能量，就形成二能级系统.核磁子N很
小，使核白旋系统通常满足这一要求在顺磁性固体中，许多情形下磁性原子
（离子）被非磁性离子包围而处于稀释状态，也满足这一要求.讨论固体中的
二级级系统时往往假设二能级系统与固体的其他热运动（如晶格振动）近似独立.低温下晶格振动的热容量按T3律随温度降低而减小（参阅§
9.7）.实验发现顺磁性固体的热容量在按T3律减少的同时，出现一个当时出乎意料的尖峰而被称为肖脱基反常.如前所述，尖峰是处在外磁场中的磁矩发生能级分裂形成二能级系统引志的.除了磁性系统外，二级级结构也存在于其他一些物理系统中例如，能级的精细结构使NO分子的基态存在特征温度为178K的二能级结构，从而影响其热力学特性.参阅Landau,Lifshitz.StatisticalPhysics.古0.二能级系统更是激光和量子光学领域的一个基本物理模型，不过其中讨论的不是热力学平衡状态了.
第八章玻色统计和费米统计
8.13银的导电电子数密度为5.91028m3.,试求0K时电子气体的费米能量、费米速
率和简并压.
由0上3兀％3,将m9.11031kg,$1.051034Js,n5.91028m3代入得2m
05.6eV
费米速率:
206
毕1.4106m
m
s1,0K下电子气体的压强为
c2c
p0-n0
5
2.11010Pa
8.18试求在极端相对论条件下自由电子气体在
0K时的费米能量、能和简并压.
极端相对论条件下，粒子的能量动量关系为
cp.
ch
0K下自由电子气体的分布为
1,
0,
费米能量0由下式确定:
8tV
2d
3n
8
3
0K下电子气体的能为：
U
8tVch3
3d
8V
ch3
在体积V,在到d的能量围，极端相对论粒子的量子态数为
电子气体的压强为:
第九章系综理论
9.9仿照三维固体的地拜理论，计算长度为L的线形原子链在高温和低温下的能和热容量。
一维线形原子链
ck,k
n/L,n
dnLdk/2;
D（
）d
Ld
/2c
共有
N个振动，存在最大频率d
L
2c
2Nc/L
D
D（）d
UU0
D（）—d
e^
U0
d令/kTxdkTdx
—1
ekT
UUo
k2xT2dxULT2k2
（ex1）0
xdx
xA
e1
高温近似
1;
LT2k2
Uo
dx
okNT
低温近似
Uo
_22
LTk
2.2._.
kNT/6d其中kd
9.10
仿照三维固体的德拜理论，计算长度为L的线形原子链（一维晶体）在高温和低温下的能和热容量。
二维：
面积S,dkxdky波矢围辐射场振动自由度为
sdkxdky
skdkd
横波按频率分布为
纵波按频率
分布为
令——
kT
2Skdk,
0=d
2Scyd
Skdkd
2Scjd
S
-2
ci
c2
d
C1
1c2
2N
x,
4N
Uoekt1
kTdx
ekt
kT2
—x
kTdx
D
3~kF
x
-dx
——dx
°
ex1
2.404B
D_
3kT
xdxU0B
kT1
Cv计算略。
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