新课标精品卷最新北师大版高中数学选修12《推理与证明》章末综合测评及解析.docx
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新课标精品卷最新北师大版高中数学选修12《推理与证明》章末综合测评及解析
（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-2
章末综合测评（三） 推理与证明
（时间120分钟，满分150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下面四个推理不是合情推理的是（ ）
A．由圆的性质类比推出球的有关性质
B．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°
C．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分
D．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的
【解析】 逐项分析可知，A项属于类比推理，B项和D项属于归纳推理，而C项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理．
【答案】 C
2．用反证法证明命题“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：
①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；
②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；
③假设直线AC，BD是共面直线．
则正确的序号顺序为（ ）
A．①②③ B．③①②
C．①③②D．②③①
【解析】 结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.
【答案】 B
3．下列推理是归纳推理的是（ ）
A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆
B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆＋＝1的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
【解析】 由归纳推理的特点知，选B.
【答案】 B
4．用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，下列假设正确的是（ ）
A．假设a，b，c都小于0
B．假设a，b，c都大于0
C．假设a，b，c中都不大于0
D．假设a，b，c中至多有一个大于0
【解析】 用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，应先假设要证命题的否定成立．而要证命题的否定为“假设a，b，c中都不大于0”，故选C.
【答案】 C
5．下面给出了四个类比推理．
①a，b为实数，若a2＋b2＝0则a＝b＝0；类比推出：
z1，z2为复数，若z＋z＝0，则z1＝z2＝0；
②若数列{an}是等差数列，bn＝（a1＋a2＋a3＋…＋an），则数列{bn}也是等差数列；
类比推出：
若数列{cn}是各项都为正数的等比数列，dn＝，则数列{dn}也是等比数列；
③若a，b，c∈R，则（ab）c＝a（bc）；类比推出：
若a，b，c为三个向量，则（a·b）·c＝a·（b·c）；
④若圆的半径为a，则圆的面积为πa2；类比推出：
若椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，则椭圆的面积为πab.
上述四个推理中，结论正确的是（ ）
A．①②B．②③
C．①④D．②④
【解析】 ①在复数集C中，若z1，z2∈C，z＋z＝0，则可能z1＝1且z2＝i，故错误；②在类比等差数列性质推理等比数列性质时，一般思路有：
由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故正确；③由于向量的数量积运算结合律不成立，错误；④若圆的半径为a，则圆的面积为πa2；类比推出，若椭圆长半轴长为a，短半轴长为b，则椭圆面积为πab，正确．
【答案】 D
6．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：
①a·b＝b·a；②（a·b）·c＝a·（b·c）；③a·（b＋c）＝a·b＋a·c；④由a·b＝a·c（a≠0）可得b＝c.
以上通过类比得到的结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2
C．3D．4
【解析】 平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由a·b＝a·c（a≠0）得a·（b－c）＝0，从而b－c＝0或a⊥（b－c），故④错误．故选B.
【答案】 B
7．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为（ ）
A．a1a2a3…a9＝29
B．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29
C．a1a2a3…a9＝2×9
D．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9
【解析】 根据等差、等比数列的特征知，a1＋a2＋…＋a9＝2×9.
【答案】 D
8．袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ）
A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C．乙盒中红球不多于丙盒中红球
D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
【解析】 取两个球往盒子中放有4种情况：
①红＋红，则乙盒中红球数加1；
②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；
③红＋黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1；
④黑＋红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样多，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机．
③和④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响．
①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样．
综上，选B.
【答案】 B
9．在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n（n<19且n∈N＋）成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b11＝1，则有（ ）
A．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b19－n
B．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b21－n
C．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b19－n
D．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b21－n
【解析】 令n＝10时，验证即知选B.
【答案】 B
10．将石子摆成如图1的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2016项与5的差，即a2016－5＝（ ）
图1
A．2018×2014B．2018×2013
C．1010×2012D．1011×2015
【解析】 an－5表示第n个梯形有n－1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n＋2个．
∴an－5＝，
∴a2016－5＝
＝2015×1011.
【答案】 D
11．在直角坐标系xOy中，一个质点从A（a1，a2）出发沿图2中路线依次经过B（a3，a4），C（a5，a6），D（a7，a8），…，按此规律一直运动下去，则a2015＋a2016＋a2017＝（ ）
图2
A．1006B．1007
C．1008D．1009
【解析】 依题意a1＝1，a2＝1；a3＝－1，a4＝2；a5＝2，a6＝3；…，归纳可得a1＋a3＝1－1＝0，a5＋a7＝2－2＝0，…，进而可归纳得a2015＋a2017＝0，a2＝1，a4＝2，a6＝3，…，进而可归纳得a2016＝×2016＝1008，a2015＋a2016＋a2017＝1008.故选C.
【答案】 C
12．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：
“是乙或是丙获奖．”乙说：
“甲、丙都未获奖．”丙说：
“我获奖了．”丁说：
“是乙获奖了．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖歌手是（ ）
A．甲B．乙
C．丙D．丁
【解析】
甲
乙
丙
丁
甲获奖
×
×
×
×
乙获奖
√
√
×
√
丙获奖
√
×
√
×
丁获奖
×
√
×
×
由上表可知：
获奖歌手是丙．
【答案】 C
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上）
13．已知圆的方程是x2＋y2＝r2，则经过圆上一点M（x0，y0）的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比上述性质，可以得到椭圆＋＝1类似的性质为__________．
【解析】 圆的性质中，经过圆上一点M（x0，y0）的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M（x0，y0）的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆＋＝1类似的性质为：
过椭圆＋＝1上一点P（x0，y0）的切线方程为＋＝1.
【答案】 经过椭圆＋＝1上一点P（x0，y0）的切线方程为＋＝1
14．观察下列等式：
13＝1，
13＋23＝9，
13＋23＋33＝36，
13＋23＋33＋43＝100，
…
照此规律，第n个等式可为__________．
【解析】 依题意，注意到13＝2,13＋23＝2＝9,13＋23＋33＝2＝36，…，照此规律，第n个等式可为13＋23＋33＋…＋n3＝2.
【答案】 13＋23＋33＋…＋n3＝2
15．当n＝1时，有（a－b）（a＋b）＝a2－b2，当n＝2时，有（a－b）（a2＋ab＋b2）＝a3－b3，当n＝3时，有（a－b）（a3＋a2b＋ab2＋b3）＝a4－b4，当n∈N＋时，你能得到的结论是__________．
【解析】 根据题意，由于当n＝1时，有（a－b）（a＋b）＝a2－b2，当n＝2时，有（a－b）（a2＋ab＋b2）＝a3－b3，
当n＝3时，有（a－b）（a3＋a2b＋ab2＋b3）＝a4－b4，
当n∈N＋时，左边第二个因式可知为an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn，那么对应的表达式为（a－b）·（an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn）＝an＋1－bn＋1.
【答案】 （a－b）（an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn）＝an＋1－bn＋1
16．如图3，如果一个凸多面体是n（n∈N＋）棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条，这些直线共有f（n）对异面直线，则f（4）＝________，f（n）＝__________.（答案用数字或n的解析式表示）
图3
【解析】 所有顶点所确定的直线共有棱数＋底边数＋对角线数＝n＋n＋＝.从题图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f（4）＝4×2＋×2＝12，所以f（n）＝n（n－2）＋·（n－2）＝.
【答案】 12
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）用综合法或分析法证明：
（1）如果a，b>0，则lg≥；
（2）＋>2＋2.
【证明】
（1）当a，b>0时，有≥，
∴lg≥lg，
∴lg≥lgab＝.
（2）要证＋>2＋2，
只要证（＋）2>（2＋2）2，
即2>2，这是显然成立的，
所以，原不等式成立．
18．（本小题满分12分）观察以下各等式：
sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝，
sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝，
sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝.
分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．
【解】 猜想：
sin2α＋cos2（α＋30°）＋sinαcos（α＋30°）＝.
证明如下：
sin2α＋cos2（α＋30°）＋sinαcos（α＋30°）
＝sin2α＋2
＋sinα
＝sin2α＋cos2α－sinαcosα＋sin2α＋
sinα·cosα－sin2α
＝sin2α＋cos2α
＝.
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