指数函数知识点总结Word格式文档下载.docx
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a<
、
1-
■■■-.
定义域R
值域y>
0
值域y>
在R上单调递增
在R上单调递减
非奇非偶函数
函数图象都过定点
(0,1)
利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a,b]上,f(x)ax(a0且a1)值域是[f(a),f(b)]或
[f(b),f(a)]
(2)若x0,则f(x)1;
f(x)取遍所有正数当且仅当xR;
(3)对于指数函数f(x)ax(a0且a1),总有f
(1)a;
指数函数•例题解析
(1)y=3厂
(2)y=..2x21(3)y=33x1
解
(1)定义域为x€R且x丰2.值域y>
0且y丰1.
⑵由2x+2-1>
0,得定义域{x|x>
-2},值域为y>
0.
⑶由3-3x-1>
0,得定义域是{x|x<
2},T0<
3-3x—1<
3,•••值域是0wy<
.3.
练习:
(1}y
⑵y(3)凶;
xx1
(3)y421;
【例2]指数函数y=ax,y=bx,y=cx,
则a、b、c、d、1之间的大小关系是[
A.a<
b<
1<
c<
d
B.a<
d<
c
C.b<
a<
1<
d<
D.c<
b
解选(c),在x轴上任取一点(x,则得b<
c.
指数函数①■'
'
②
y=dx的图像如图
2.6-2所示,
().
4
(2)0.65
(1).2、32>
54、88、916的大小关系是:
32
(3)4.54.1
3.73・6
解⑴T222,32
函数y=2x,2>
1,该函数在^1324
又一<
—<
3859
12
23,5425,
(—x,+*)上是增函数,
34
8828,91629,
2」32V88<
54<
916<
2.
解
(2):
0.65>
1,
31
1>
(|)2,
(2)
431
•-0.65>
(2)2.
解⑶借助数4.53.6打桥,利用指数函数的单调性,4.54.1>
4.53.6,作函数=4.5x,y2=3.7x的图像如图2.6—3,取x=3.6,得4.53.6>
3.73.6•••4.54.1>
3.73・6.
J
y
—
/却
图£
・6-3
说明如何比较两个幕的大小:
若不同底先化为同底的幕,再利用指数函数的
单调性进行比较,如例2中的
(1).若是两个不同底且指数也不同的幕比较大小时,
有两个技巧,其一借助1作桥梁,如例2中的
(2).其二构造一个新的幕作桥梁,
这个新的幕具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点,即为4.53.6(或3.74.1),
如例2中的(3).
(1)1.72.5与1.73
(2)0.8
0.1
与0.8
0.2
(3)1.70'
3与0.93'
2.12.0
(4)3.5和2.7
【例4】比较大小n1an与nan1(a>
0且a^1,n>
1).
n1n解Va
n(n1)a
当0Vav1,
Tn>
1,>
0,
n(n1)
V1,
n1anvnan1
当a>
1时,Tn>
1,>
n(n1)n1nnn1
…a>
1,.a>
.a
【例5】作出下列函数的图像:
(1)y=
(2)x1
(2)y=2x-2,
(3)y=2|x-11
(4)y=|1-3x|
11
解
(1)y=(,)x1的图像(如图2.6-4),过点(0,-)及(一1,1).
是把函数
的图像向左平移1个单位得到的.
解
(2)y=2x-2的图像(如图2.6—5)是把函数y=2x的图像向下平移2个单位得到的.
S2.&
-4
解(3)利用翻折变换,先作y=2|x|的图像,再把y=2|x|的图像向右平移1
个单位,就得y=2|x-11的图像(如图2.6—6).
解⑷作函数y=3x的图像关于x轴的对称图像得y=-3x的图像,再把y=
—3x的图像向上平移1个单位,保留其在x轴及x轴上方部分不变,把x轴下方
的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到.(如图2.6-7)
【例8】
已知f(x)=
A
二一(a>
1)
(1)判断f(x)的奇偶性;
a1
⑵求f(x)的值域;
⑶
证明f(x)在区间(—8,+^)上是增函数.
解
(1)定义域是R.
xx
a1a1
f(—X)=x--x-=—f(x),
•••函数f(x)为奇函数.
ax11yy1
⑵函数丫=—,TyM1,.・.有ax=>
0-1VyV1,
a1y11y
即f(x)的值域为(一1,1).
⑶设任意取两个值X[、(-rn,+m)且X[VX?
.f(X1)—f(x2)
xl1
—-
Ta>
1,X1VX2,aX1vax2,(aX1+1)
aX21_2(aXlaX2)
ax21_(aXl1)(ax21)'
(aX2+1)>
0,•f(xjVfg),故f(x)在R上为增函数.
、选择题:
(本题共
12小题,每小题
单元测试题
5分,共
60分)
1、
化简
32
216
结果是
2、
丄
B、
232
63a94等于(
8小42
C、aDa
4、函数f(x)
2X
a1在R上是减函数,则a的取值范围是(
)
5、
下列函数式中,满足
f(x1)
2
f(x)的是(
-(X1)B
、x—
C
、2XD
2%
6、
下列f(x)(1a
X\2xF
)|a是(
奇函数B、
偶函数
、非奇非偶函数
B
D、既奇且偶函数
7、已知ab,ab0,下列不等式
22ab1133
1)ab;
⑵22;
⑶;
U;
wab;
a
b
中恒成立的有()
3
1个
B、2个C、3个
8、函数y
2X
A、奇函数
9、函数y
A,1
、偶函数
-的值域是(
0
、既奇又偶函数D、非奇非偶函数
C、1,D、(,1灯0,
x
10、已知0a1,b1,则函数yab的图像必定不经过()
A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限
11、F(X)
f(x)(x0)是偶函数,且f(x)不恒等于零,则f(x)()
A、是奇函数
、可能是奇函数,也可能是偶函数
C是偶函数
D、不是奇函数,也不是偶函数
12、一批设备价值
a万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低
b%,则n年后这批设备
的价值为()
Ana(1b%)B
a(1nb%)
、a[1(b%)n]D、a(1b%)
二、填空题:
(本题共4小题,每小题4分,共16分,请把答案填写在答题纸上)
14、函数y§
(3<
x<
1)的值域是。
23x2
15、函数y323x的单调递减区间是。
16、若f(52x1)x2,则f(125)。
三、解答题:
(本题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
22
17、设0a1,解关于x的不等式a2x3x2a2x2x3。
18、已知x
3,2,求f(x)
丄丄1的最小值与最大值。
42
19、设aR,f(x)
a2x
2x
(x
R),试确定a的值,使
(x)为奇函数。
x22x5
20、已知函数y,求其单调区间及值域。
21、若函数y4X
^2X3的值域为1,7,试确定x的取值范围。
22、已知函数f(x)
x
ax,(a1)
(1)判断函数的奇偶性;
(2)求该函数的值域;
(3)证明
f(X)是R上的增函数。
题号
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
指数与指数函数同步练习参考答案
13、
14、
1,39,令U
2x8x12(x2)9,•
3<
1,9<
U<
9,
“U
又•
y丄为减函数,.
19
-<
y<
39。
为0,
16、
f(125)f(53)f(5221)220
17、
ax在
上为减函数,:
2x23x22x22x3
2x2
3x
22x22x
18
4x
8.
则当
f(x)有最小值
;
当
3时,
f(x)有最大值57。
19、要使
f(x)为奇函数,•x
f(x)
f(
x)0,
•••f(x)
f(
x)
2x1
X
2a
2(2x1)
1。
20、令
x2
5,则y是关于
U的减函数,
上的减函数,
1,
上的增函数,•
1x2
2x5
在
1上是增函数,而在
上是减函
21、y
(2x)2
由函数
Ux22x5
1)2
的值域为
—。
4x32x322x32x
3,依题意有
32x3匕7即1匕2匕4,•2<
32x3>
12x>
2或2x<
1
y2x的单调性可得x
0][1,2]。
22、
(1)•••定义域为x
R,且
1a
f(x),f(x)是奇函数;
(2)f(x)讥
-2,即f(x)的值域为1,1;
(3)设捲,X2R,且捲沁,
f(Xi)f(X2)
ax^1ax21
aX11__1
2a512ax2(a511)(aX21)
0(•••分母大于零,且aX1aX2)
f(x)是R上的增函数。