线性代数考试练习题带答案文档格式.docx
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解答参考：
A中的三个向量之和为零，显然A线性相关；
B中的向量组与α1，α2，
α3
等价,
其秩为3，B向量组线性无关；
C、D中第三个向量为前两个向量的线性组合，是线性相关向量组。
2.
必有一列元素全为0；
必有两列元素对应成比例；
必有一列向量是其余列向量的线性组合；
任一列向量是其余列向量的线性组合。
C
3.矩阵（011−12,01−1−10,013−14,1101−1）的秩为（）。
1
2
3
4
4.若矩阵（1a−12,1−1a2,10−12）的秩为2,则a的值为。
0或-1
-1
-1或1
5.二次型f（x1,x2,x3）=2x12+5x22+5x32+4x1x2−8x2x3，则f的矩阵为。
（
2
4
0
5
−8
）
−4
6.设A、B为n阶方阵，且A与B等价，|A|=0，则r（B）
小于n
等于n
小于等于n
大于等于n
A
7.若矩阵[122−3,1−1λ−3,102−3]的秩为2,则λ的取值为
-3
8.设α1,α2,α3是齐次方程组Ax=0的基础解系，则下列向量组中也可作为Ax=0的基础解系的是
-2
二、判断题（判断正误，共6道小题）
9.
设A ,B是同阶方阵，则AB=BA。
说法错误
10.
若A是方阵，则|A|=|AT|。
说法正确
11.
如果矩阵A与B等价，则A的行向量组与B的行向量组等价。
反例：
A=（100010000），B=（000010001）
12.
非齐次线性方程组Ax=b一定有解。
13.
若A、B是n阶非零方阵，且AB=0，则|A|≠0或者|B|≠0。
14.
设λ=0是n阶方阵A的特征值，则方程组Ax=0有非零解。
（注意：
若有主观题目，请按照题目，离线完成，完成后纸质上交学习中心，记录成绩。
在线只需提交客观题答案。
三、主观题（共12道小题）
15.
设α1=（6−204）,α2=（−3157），则3α1−2α2=
参考答案：
3
α
1
−2
=（
24
−10
16.
设α=（−110）,A=（201042110）,B=（100322）,则αAB=
αAB=（014）
17.
1/3，35
18.
是线性______的，它的一个极大线性无关组是_________________。
相关（因为向量个数大于向量维数）。
。
因为α
=2
+
A=|
|
≠0
19.
时，此方程组只有零解。
r=n
20.
是分块对角矩阵，其中
（2n+1）!
!
21.
AB
|=−8
22.
a>
1/
23.
为标准形。
24.
25.
26.
用正交变换化二次型
为标准型，并求出所用的正交变换及f的标准型。
问：
这个二次型是否是正定的？
为什么？
本次作业是本门课程本学期的第3次作业，注释如下：
1.设A为n阶方阵，且A2+A−5E=0,则（A+2E）−1=（）。
A−E
A+E
A−E
A+E
A
+A−5E=0⇒A
+A−2E=3E⇒（
A+2E
）（A−E）=3E⇒
）
−1
=
（A−E）
2.若n维向量α1，α2，⋯,αn线性相关，β为任一n维向量，则（）。
α1,α2,⋯,αn,β线性相关；
α1,α2,⋯,αn,β线性无关；
β一定能由α1,α2,⋯,αn线性表示；
α1,α2,⋯,αn,β的相关性无法确定。
3.设线性方程组{3x1+x2=1,3x1+3x2+3x3=0,5x1−3x2−2x3=1}则此方程组。
有唯一解
有无穷多解
无解
有基础解系
4.
设
n维向量组
α1,α2,⋯,αs,若任一
维向量都可由这个向量组线性表出,必须有
s=n
s<
n
s>
s≥
n
D
5.设α1,α2,α3,β,γ都是4维列向量，且4阶行列式|α1,α2,α3,β|=a，|γ,α1,α2,α3|=b，则4阶行列式|α1,α2,α3,β+γ|=
a+b
−a−b
a−b
b−a
6.设B,C为4阶矩阵，A=BC,R（B）=4,R（C）=2，且α1,α2,α3是线性方程组Ax=0的解，则它们是
基础解系
线性相关的
线性无关的
A,B,C都不对
7.设n维列向量α=（12,0,⋯,0,12）T，矩阵A=I−ααT，B=I+2ααT，则AB=
−I
I
I+ααT
8.
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