4动态系统的稳定性Word文件下载.docx

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在平衡点附近振荡，称为Liapunov临界稳定。

如果我们只根据指定的小；

就能划定一个半径为、；

）的范围S（；

），使系统只能在指定的范围S（；

）内运行，称为一物理意义：

如果系统状态开始在平衡点Xe附近，则系统不会振荡，其状态轨线最终会落在平衡点Xe。

只有渐近稳定才是工程意义上的稳定。

但渐近稳定仍然是某平衡点Xe附近的稳定（局部稳定），并不意味着整个系统就能运行。

定义4-4若对任意初始状态xo，无需要求系统初始处于平衡点xe=o附近，都有limx（t）=Xe，则称平衡状态xe=0是大范围渐近稳定（全局稳定）

tr-'

（AsymptoticallyStableinthelarge）

物理意义：

无论开始系统状态在何处，其状态轨线最终会落在平衡点Xe=0。

全局稳定时，系统只能有一个平衡点。

对线性系统，渐近稳定必定是全局稳

定；

对非线性系统，多数为局部渐近稳定。

定义4-5（不稳定）对任意给定的小距离”；

・0，无论半径”（；

t°

）.0怎么小，系统至少有一个初态X。

，当|x0-Xe||v6，则有任何t>

t°

时候的状态x（t）与平衡点Xe的距离大于给定的小距离”；

，X（t）-Xe|〉•，则称平衡状态xe是不稳定（李氏不稳定）。

几何意义是：

无论系统初始状态X0如何接近平衡点Xe，至少有一个x（t）状态远离平衡点Xe，不会回到原平衡点或原平衡点附近。

4.2Liapunov间接法

4.2.1线性定常系统的稳定性

P76定理4-1状态稳定性（内部稳定性）判别定理（间接法）

通事求解系数与其约当标准形siJ有相相同的特征值（系!

统极点）来判断系统的稳定X。

性称为4LiaPun、间接法。

若n阶线性定常系统

=0Si;

2-0，所对应的约当块是—维的，根

（3）Xe是“不稳定”的充要条件是A至少有一个特征值具有正实部;

解：

A的特征值det（sl--A）-=-一~一I讨论：

（1）据上述结论，当A是约当标准型时，xe=0是不稳定平衡点

Xe=0是唯一平衡点。

A的特征值，1,=0，但所对应的约

是det（sl-A）=0,A的特征值就是系统S的n个极点，他决定系统的状态稳定性。

有可能det（sl-A）二p（s）D（s），只有当n'

n时，D（s）=0与det（sl-A）=0的解完全n次多项式n次多项式

相同，一般情况下，D（s）=0的解少于det（sl-A）=0的解，det（sl-A）=0的解包含

D（s）=0的解，这表明系统的状态稳定性与BIBO稳定性并不等价。

有以下结论：

D（s）=0的n个极点口决定系统的输入输出（BIBO）稳定性；

det（sl_A）=0的n个极点决定系统的状态稳定性。

（1）当D（s）=0与det（sl_A）=0的解完全相同时，此时若系统的状态稳定，必有

系统BIBO稳定；

（2）当D（s）=0的解少于det（sl_A）=0的解，det（sl_A）=0的解包含D（s）=0的解时,

这时系统BIBO稳定，但不一定状态稳定，即状态稳定一上tBIBO稳定，BIBO稳定一不一定St状态稳定。

.r10、（1>

P77例4-3讨论系统x=!

x+U，y=（10）x在xe=0的状态稳定性和

<

00丿I0丿

BIBO稳定性。

解：

①系统多项式det（sl一A）=0的极点为&

=0,S2=-1，其解为

Liapunov稳定（临界稳定）平衡点。

了©

丿s（s+1）s+1

点（注意分子零点S=0和分母极点S=0相消），系统是BIBO稳定。

展开X1=x1u，X2=0，y=X1，我们看到，正是不能控部分X2=0的零点

（s=0）与极点（s=0）相消，不能在传递函数中反映出来。

因此，传递函数

D（s）=0的极点包含在（并不多于）系统多项式det（sl-A）=0的极点

讨论：

状态稳定包含了BIBO稳定，而BIBO稳定并不包含状态稳定。

只有状态稳定的系统才是真正稳定的系统，而BIBO稳定的系统，有可能内部并不稳定，只

根据G（s）设计出来的系统不一定能正常工作。

这是因为G（s）只反映系统既能控

又能观部分的信息，如果不稳定的部分恰在不能控、不能观部分，则G（s）并不

能反映出来。

这又一次说明用状态空间比传递函数（阵）能更全面、更深入的描述系统。

此外，由于Routh的方法是用Routh数据的第一列的“正负符号”来判断方

程解的符号，所以用Routh判据来分析“系统S的极点多项式det（sl一A）=0

进稳定”平衡点。

■s+/.0]0J1l0s+九丿=L

S•'

2S•'

2s•，1

r

1

\1

/Hi先

P

s+K

f11

=

"

、0

E（e"

-e®

尹I（入-入）j

）[s+扎s+入

丿s+扎」

3=-，1：

：

0，S2=2■-0系统是BIBO稳疋。

t

2

解为：

x（t）=eA人+[eAyBu（E）dT

e~m

=P（e2—e~'

-）

丄e沖

S1

—e肮Q）

—上2）

第一项是初条件的影响，是瞬态解，第二项积分项是输入的影响，是稳态解

护炉d£

=—（1_e^）=——e2;

0.■-..■-..■-.

将系统在Xe2=（11）T处线性化:

打（冷2）

1—X2

-X1

1—

—1、

_口T_

ex

X2

X1T」

II-—

jX1±

；

X2土

0丿，

t1

0e航°

sin低d£

=—2[coe丄+（九sin⑷t一⑷cos⑷t）]

严…），9七町

其特征值為,2=±

j的实部为零，不能用A来判断系统在Xe2=（11）T处是否稳定

**对于平衡点Xe2=（11）T，我们还可以做坐标变换：

讨i=Xi-，y2=X2-1讨i=—y2—y〃2=fi，y^yi-y“2二f?

将系统在ye=（O0）T处线性化：

人=色单=（一y2一1一yi

矽Q+y?

yi

其特征值人,2=±

j的实部为零，不能用A来判断系统在ye=（00）T处是否稳定

4.3Liapunov函数法（直接法）

4.3.1稳定性的判别方法

力学原理：

消耗能量（能量减小）V三理:

:

0，吸收能量一能量增加V•0

dt

电学原理：

放电（能量J）V:

0，充电（能量T）V.0，但系统能量总是V

（1）若能量变化小于零V:

0，系统渐近稳定；

（2）若能量变化大于零V•0，系统不稳定；

（3）若能量变化等于零V=0，系统临界稳定”。

Liapunov构造一个标量函数V（x）作为虚构的广义能量函数（Liapunov函数）。

图4-3RC电路的放电过程P79%定理4-2设n阶系统x二f（x,t），平衡状态Xe=0，如果存在一个对所有x都有连续的一阶偏导数的正定的标量函数V（x）.0定义v=血卫強空北

dti士ex,dti壬ex7级

P80例4-5试确定系统Xi=X2—axi（x；

x；

）、X2=_xi_ax2（xi2x；

），a=const平衡点的稳定性。

令Xi「aXi（Xi2•X；

）=0，X；

=M「ax2（x；

•x；

）=0求得x^0是唯一平衡点。

试取V（x）•x：

.0，只在Xe=0处，V（x）=0

V（x）=理幷+旦X2=2羽羽+2x2X2=-2a（x2凰x：

）2有连续偏导数。

次1&

1当a■0，有V（x）--2a（x：

X；

）2：

0，Xe=0是稳定平衡点；

2当a:

0，有V（x）--2a（x；

x|）20，Xe二0是不稳定平衡点；

3当a=0，有V（x）=-2a（xi2•x2）2三0，Xe=0是Liapunov稳定平衡点；

表明所选V（x^X!

2xf0可判定系统稳定性，是Liapunov函数。

图4-4a0渐进稳定a<

0不稳定a=0李氏稳定P81

F81例4-6试确定x^x2，x2=-为-x2平衡点的稳定性。

采用Liapunov函数法：

令x^x2^0，求得xe=0是唯一平衡点。

1第一次取V,x）=2x；

.0

Vi（x）="

Xi•"

X2=4X1X2•2X2（-Xi-X2）=2曲2-2x2有连续偏导数。

CXLX2

符号不定，无法确定系统是否稳定，因此Vi（x）不是Liapunov函数。

2第二次取V2（x^x2x20有连续偏导数

V2（x）二V2x^MX2=2X1X2•2X2（-Xi-X2）2x；

乞0，只要在X2=0的“横轴”上（不

ox<

X2

一定在原点Xe=0），就有V2（x）=0，因此Xe=0是Liapunov稳定平衡点，

V2（x）=x2x2.0是Liapunov函数。

进一步，由于V2（x）二-2x|<

0，但不恒等于

0,因此Xe=0是渐近稳定，又xr-■,V2（x）》，因而是大范围渐近稳定。

③第三次取函数：

1222

V3（x）[（X1X2）2x1X2]0

V3（x）=空^为+也=2（Xi+疋）（洛+疋）+4xx+2x2（m-冷）=-2（X；

囲X；

）0根据定理可次次2

知Xe=0是渐近稳定，所以V3（x）二一[（x「X2）2-2x1■X：

]是

Liapunov函数。

可见Liapunov函数并非唯一，无论怎样取Liapunov，只要符合

函数的条件，能判别平衡点的稳定性，他就是Liapunov函数，结论是唯一的

此题仍然可以用采用“间接法”来判断系统的稳定性：

系数矩阵为

det（I-A）■^0，根据Routh方法，一阶和二阶系统，只要系数为正，系统就是

稳定的。

实际上.J（_1_j、.3）

一2

作业4-1:

用间接法求出（PM列4-6）系统儿=丨01r1的解，由此说这2丿厂1-1人X2丿

明Xe=0是渐近稳定平衡点。

F82例4-7设闭环系统如P82图4-5所示，试分析系统的稳定性。

用三种方法分析系统的稳定性

1经典法：

由图列出Y（s）二U（s）2丫（s）—g（s）二丫廻二J

sU（s）s+1

即（s21）Y（s）=U（s）—y（t）y（t^u（t），取u（t）=0，并不影响讨论系统的稳定性，故其解为y（t）=acosbsin这是临界稳定系统。

2Liapunov函数法：

设x^y，x^y，于是x^x2，x?

=-人u稳定性与输入无

Sjo1Yx

关，只考虑齐次方程=If，Xe=0是唯一平衡点。

IT0人x2丿

试取V（x）=Xi2xf.0而且有连续偏导数

根据定理可知系统是Liapunov临界稳定，Liapunov稳定在工程意义上是不稳定

的，这与经典控制理论的结论是一致的

显然，系统状态是振荡的，故xe=0是Liapunov临界稳定平衡点，结论是一致的

P82例4-8试分析系统X1=X2，X2=-（1-X1）X2-X1平衡点的稳定性。

非线性系统，不能采用“直接法求解”。

令X=0=Xe=（X1eX2e）T=0是唯一平

衡点。

试取V（x）■X：

0

V（x）=丄焉*=2X1X1•2X2X2三-2x；

（1-N），有连续偏导数。

法&

2!

—

当X1=1,在X12+x；

=1的圆上，V（x）三0,故Xe=0是Liapunov临界稳定平衡点；

当x1:

1，在x12x2=1的圆内，V（x）_0，同上讨论，对状态方程的非零解，V（x）不三0，故Xe=0是渐近稳定平衡点；

所选V（x^X12xf（0），可判定系统稳定性，是Liapunov函数。

其稳定域是单位圆内，系统不是大范围渐近稳定的。

4.3.2用克拉索夫斯基方法构造Liapunov函数

由上面讨论可知，若找到了Liapunov函数，用直接法分析稳定性是方便的,

然而构造Liapunov函数却成了新问题。

尽管通过研究得到了一些方法，但至今

还没有得到一个对任何系统都普遍适用的构造Liapunov函数的方法。

T（x）'

■

，X=

X1、

X2

（X）丿

iXn」

数学知识：

设f（x）二

那么

下面介绍一种克拉索夫斯基方法构造Liapunov函数

P82定理4-3对系统X二f（X,t），平衡点为Xe二0

取

F（x）=耳，记共轭为*”

CX

，转置为

T”，共轭转置为

商1、

Sfn'

若

ex,

CXn

cXi

P=F（x）+F（x）=

¥

•

+

•■

£

fn

淸1

貳

...汶

则Xe

=0是渐近稳定的

。

此时，

Liapunov

函数为

^~^~222

V（x）=f（x,t）f（x,t）=迟fi（x,t）fi（x,t）勺+f?

|+…科fn>

i三

当||x|T旳,V_（x）«

，则是大范围渐近稳定。

无论系统是线性还是非

线性，是定常还是时变，都能用克拉索夫斯基方法构造Liapunov函数,

证明：

f（x,t）=兰丄牛^x=F（x）f（x,t）

~（x,t）=f（x,t）=一x=[F（x）f（x,t）]=~（x,t）~（x）

I*丿

V（x）=~（x,t）f（x,t）~（x,t）f（x,t）H~（x,t）l~（x）f（x,t）~（x,t）F（x）f（x,t）

~〜〜~

-f（x,t）[F（x）F（x）]f（x,t）=f（x,t）Pf（x,t）：

0其中P=[F（x）F（x）]，且V（x）=~（x,t）f（x,t）是Liapunov函数。

证毕。

;

f

特别当x=Ax二f（x），若A是非奇异的，则只有Xe=0唯一一个平衡点，有

f□、_°

F（x）-=A，F（x厂

XX

二f（X），

当A是实数矩阵时，A=At，因此就有以下推论。

重要推论：

（克拉索夫斯基方法应用于线性系统）对线性定常系统x二Ax若A是非奇异实数矩阵，若根据定号性确定|P=A+A<

0，则Xe=0是大范围渐近稳定平衡点。

Psa例4-9分析非线性系统X’二X2-X1（X；

•X；

）=f’，X2=-X,-X2（x；

）=f2平衡点的稳定性。

令X二f=0，二.Xe=（X,eX2e）T=0是唯一平衡点

奇数：

P=Pn=—2（3x：

+x；

）c0;

偶数：

P2=P11P12=12（x；

+x：

）2>

P21P22

f<

0i为奇数

根据R69二次型及其定号性P=」门.出便粉则P"

，

>

0i为偶数

■-

即P=l~（x）•F（x）:

0负定，二.V（x）:

0负定。

根据定理4-3,Xe=0是渐近稳定

平衡点，且Liapunov函数为v（x）=fTf=f：

-f；

=（x；

•xj•（x；

•xj3.0

）二，V（x）”，故是大范围渐近稳定。

所以xe=0是渐近稳定平衡点，Liapunov函数为

t2222

V（x）=ff=f1f2=（X2—Xj（2X1—3X2）0

且当Xr,V（X）—•，故是大范围渐近稳定。

值得指出的是：

通过克拉索夫斯基方法构造的Liapunov函数是一个充分条

件，并非所有系统都可以找到Liapunov函数。

若用这种方法找不到Liapunov函

数，并不能就此判别系统的稳定性，必须用其他方法寻找Liapunov函数。

.f_11

作业4-2:

用间接法判断（P83例4-10）系统x=!

x的稳定性，求出A

I2-3丿

的特征值，讨论系统的稳定性，并求出解eA的表达式。

433用求解Liapunov方程方法构造Liapunov函数

对线性定常系统，采用克拉索夫斯基方法构造的Liapunov函数是一个可以

给出渐近稳定的充分条件。

以下给出判别线性定常系统渐近稳定的充要条件。

（两个条件结合，能否构造某一类非线性系统的充要条件呢？

）

设x=Ax，取正定二次型作Liapuno函数，即P为正定对称矩阵，有

V（x）=xTPx

iTTTTTtT

V（x）=xPx”xPx=（Ax）Px昌xPAx=（xA）Px明xPAx=-xQx

式中：

Q=_（ATPPA），显然，若Q是正定对称矩阵，则V（x）：

0,系统是渐近稳定的，于是有以下定理。

P84定理4-4线性定常系统x二Ax渐近稳定的充要条件是，给定一个正定对称矩阵Q，若能找到（？

一定能找到吗？

）一个正定对称矩阵P，满足Liapunov方程IQ=-（AtP+PA）|?

，此时Liapunov函数可以取为V（x）=xTPx

矩阵Q只要满足正定对称，并无其他要求，通常取Q=I•0。

然后通过

Liapunov方程|atP+PA=-1求解出正定对称矩阵P，此时，对n阶对称矩阵P共

有n（n•1）/2个独立元素，求解出这n（n1）/2个独立元素，就可确定P，计算P

的顺序主子式的符号可确定对称矩阵P的定号性，由此可构造出Liapunov函数

V（x）=xTPx，再根据Hurwitz判断系统的稳定性。

计算P的顺序主子式的符号（参见P81例4-6）

奇数主子式：

R=P1=3>

0，偶数主子式：

P2=P11P12=5>

P12P22

根据Hurwitz判据，有P0，即P是正定对称矩阵，再根据定理4-4可以判别系

统是渐近稳定的。

系统的一个Liapunov函数为

3122222

1=3%+2。

2+2x2=仕+x2j+2x’+%=02八X2丿

稳定性判别方法小结:

1.间接法求解n阶系统的特征方程det（sl一A）=sn•a!

sn1...ana^0，通常

卜：

0渐进稳定

有n个解，s='

ij-i，-i=0临界稳定j=1,2，.,n

卜>

0不稳定

2.直接法构造一个Liapunov函数v（x）0，

（1）若V（X）负定（V（X）£

0），则Xe是渐近稳定（局部稳定）；

若当|XT比时,

V（X））：

则系统是全局稳定；

（2）若V（X）0正定，则Xe是不稳定；

（3）若V（x）^0半负定，贝Uxe是Liapunov临界稳定；

进一步：

若V（x）不三0,

则Xe是渐近稳定（局部稳定）；

3.克拉索夫斯基方法P=F（X）•~（x）：

0，则Xe=0是渐近稳定的。

Liapunov函数为V（x）=f」+伍+...+|匸|>

0，当||Xt旳,V（x）°

°

，则是大范围渐近稳定。

4.Liapunov方法给定正定对称Q，若能找到一个正定对称P0，满足

Liapun方程Q=-（ATP+PA），系统稳定，此时Lia