一元线性回归模型及其假设条件.doc
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§4.2一元线性回归模型及其假设条件
1．理论模型
y=a+bx+ε
X是解释变量，又称为自变量，它是确定性变量，是可以控制的。
是已知的。
Y是被解释变量，又称因变量，它是一个随机性变量。
是已知的。
A,b是待定的参数。
是未知的。
2．实际中应用的模型
，，x是已知的，是未知的。
回归预测方程：
称为回归系数。
若已知自变量x的值，则通过预测方程可以预测出因变量y的值，并给出预测值的置信区间。
3．假设条件
满足条件：
（1）E（）=0；
（2）D（）=σ2；（3）Cov（,）=0,i≠j;（4）Cov（,）=0。
条件
（1）表示平均干扰为0；条件
（2）表示随机干扰项等方差；条件（3）表示随机干扰项不存在序列相关；条件（4）表示干扰项与解释变量无关。
在假定条件（4）成立的情况下，随机变量y～N（a+bx，σ2）。
一般情况下，ε～N（0，σ2）。
4．需要得到的结果
，，
§4.3模型参数的估计
1．估计原理
回归系数的精确求估方法有最小二乘法、最大似然法等多种，我们这里介绍最小二乘法。
估计误差或残差：
，，（5.3—1）误差的大小，是衡量、好坏的重要标志，换句话讲，模型拟合是否成功，就看残差是否达到要求。
可以看出，同一组数据，对于不同的、有不同的，所以，我们的问题是如何选取、使所有的都尽可能地小，通常用总误差来衡量。
衡量总误差的准则有：
最大绝对误差最小、绝对误差的总和最小、误差的平方和最小等。
我们的准则取：
误差的平方和最小。
最小二乘法：
令（5.3—2）使Q达到最小以估计出、的方法称为最小二乘法。
理论推导：
微积分极值理论的拉格朗日极值法。
2．估计结果
，是y的算术平均数，是x的算术平均数。
§4.5回归方程的检验
一、离差平方和的分解与可决系数
当根据历史数据估计出回归预测方程后，我们要思考这样的一些问题：
回归直线是否有意义？
可否用于预测和控制？
参与计算的两个变量x和y是否有线性关系？
若有线性关系，其关系的密切程度如何度量。
1．离差平方和的分解
第一、表示观察值yI与其平均值的总离差平方和，用S总表示。
（总变差或离差平方和）。
第二、是总离差平方和中由回归直线方程中x的变化所引起，它的大小反映了自变量x的重要程度，称为回归平方和。
用U表示。
（回归变差）。
第三、反映了不能由回归直线解释的部分，是由其他未能控制的随机干扰因素引起的。
称为残差平方和。
用Q表示。
（剩余变差）
2．可决系数
S总=U+Q，1=（U/S总）+（Q/S总）；R2=U/S总=1－Q/S总表示由解释变量x的变化而引起因变量y的变差占总离差的百分比。
称为可决系数。
3．相关系数
在一元线性回归中，相关系数是可决系数的平方根。
相关系数：
是描述变量x与y之间的线性关系密切程度的一个数量指标。
计算公式为：
。
结论：
第一、当=0时，变量x与y无任何线性关系，表现为（XI，YI）的散布是完全没有规则的。
第二、当2=1时，所有的样本点都落在回归直线上，称变量x与y完全相关。
=1是完全正相关，=-1是完全负相关。
第三、一般情况是，0<︱︱<1。
>0称为正相关，<0称为负相关。
<0.3,视为无相关；0.3≤＜0.5为低度相关；0.5≤＜0.8为显著相关；≥0.8为高度相关。
二、回归方程的检验
1．相关系数检验法
建立回归方程前要考察的大小，以确定回归方程有无使用价值。
相关系数计算后，要进行统计检验，判别是否具有统计意义。
检验方法是：
根据置信度、自由度（样本数据个数—1）和自变量与因变量的总个数查相关系数表，确定临界值，若计算所得到的相关系数小于临界值，则无统计意义。
反之，则有统计意义，是有效的。
2．F检验法
解释F检验法的含义。
回归方程显著性检验的含义：
即检验：
对实际的y和x的拟合是否有统计意义。
所用统计量为F={U/[Q/（n-2）]}。
检验步骤是第一步计算统计量F的值；第二步根据给出的置信度α，得到临界值Fα（1，n-2）；第三步将统计量值F与临界值Fα进行比较，若统计量值F大于Fα，则认为回归方程显著，线性假设成立，有统计意义，否则回归方程没有统计意义。
实际应用中，统计软件给出了F值。
3．T检验
解释T检验法的含义。
P129T检验法
关于=0的假设检验，有专门的t检验。
在一元线性回归模型中，F检验与t检验等同。
§4.6预测区间
1．点预测
设预测点为，则预测值为：
2．预测置信区间
3．控制区间
已知，求的变动范围，称为对的控制，我们在这里不在讲述。
§4.8一元线性回归模型的应用
第一步，绘制散点图（计算机演示）
第二步，设立一元线性回归方程
第三步，计算回归系数
第四步，检验线性关系的显著性（包括相关系数检验、F检验、t检验）
第五步，预测（要求给出点预测和预测区间）
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