冗・
（n）由
IsinA
ItanA=
{cosA
I22
（sinA+cosA=1,
1—4'且AE
得sinA
_ABBC
=.t=
17sinCsinA
例4根据下列条件判断三角形ABC的形状:
sinC
—002222
（1）右a2tanB二b2tanA；
（2）bsinC+csinB=2bccosBcosC
解（1由已知及正弦定理得
“.A、2sinBFf2sinA
（2RsinA）=（2RsinB）=
cosBcosA
2sinAcosA=2sinBcosB=sin2A=sin2B=
2cos（A+B）sin（A-B）=0
•••A+B=90o或A-B=0
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形
解
（1）由正弦定理得
22
sinBsinC=sinBsinCcosBcosC
■/sinBsinCm0,/•sinBsinC=cosBcosC,
即cos（B+C）=0,•••B+C=90o,A=90o,
故^ABC是直角三角形.
【例5】如图，海中小岛A周围20海里内有暗礁，一船向南航行，在
B处
测得小岛A在船的南偏东300；航行30海里后，在C处测得小岛A在船的南偏东600。
如果此船不改变航行方向，继续向前行驶，有无触礁危险。
【解】过A作AD丄BC于D，由正弦定理易求得
AD=157326（海里）＞20（海里），所以继续航行没有触礁的危险。
AB=2,BC=6,CD=DA=4，求四边形ABCD的面积。
11
=—AB•ADsinA+-BC•DCsinC
22
A+C=Ji
sinA—sirC
S=?
（AB・AD+BC・DC）sinA=-（2x4+6x4）sinA==16sinA
由余弦定理，在△ABD中，得
222
BD2=AB2+AD2-2AB•ADcosA=
22
2+4—2x2X4cosA=20—16cosA
在^CBD中,
222
BD=CB+CD-2CB・CDcosC=
22
62+42—2X6X4cosA=52—48cosC
20T6cosA=52-48c0C
C0A=-coC64cosA=-32
R1
C0A=-
sinA上
S=16x2^=8^3
2
解斜三角形训练题
一、选择题
3.
（15年广东文科）设MBC的内角A,E,C的对边分别为a，b，c.若a=2,
且bcc，贝Ub=（）
B.2
D.3
【答案】B
【解析】
22=b2
+（2^3f—2xbx273xd，即b2-6b+8=0，解得：
b=2或b=4，因为bee,
2
所以b=2，故选B.
2.2.2C
CC+a—b3
2ca
cosB==-
4
A+B
5.在"Be中，tan丁“nC，给出下面四个结论:
其中正确的是（B.）
A①③B.②④C.①④D②③
6.已知三角形的三边之比是5:
7:
8，则最大角与最小角之和为（B）
7.［2014江西七校联考］在^ABC中，若sin（A—B）=1+2cos（B+C）sin（A+C）,则^ABC的形状一定是（）
A.等边三角形
B•不含60°的等腰三角形
C.钝角三角形
D.直角三角形
解：
D［解析］由题意得，1+2cos（B+C）sin（A+C）=1—2cosAsinB，又sin（A—B）=sinAcosB—cosAsinB，
所以sinAcosB+cosAsinB=1，即sin（A+B）=1，所以A+B=，故△ABC一定为直角三角形.
8在^ABC中,
2
tanB=btanA，则△ABC是（D.）
A等腰三角形
C.直角三角形
B.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
在^ABC中，内角A、
B、C所对的边分别为a，b，c,已知
B.—1
C.2
D.-2
MBC的面积是
二、填空题
1.人ABC中，已知，BC=3,AB=10,AB边的中线为7,则
由，S
ABC中，若面积S=l（a2+b2-C2）则NC的度数为
4
12221=—（a+b-c）=—absinC得
42
1
一•ZabsosC=absinC
2
cosC=sinC
45°。
所以，
得,C=45
a
3.在^ABC中，若NC=60°，则+=
b+ca+c
由NC=60°，得
NDAC=30。
于是，NDCB=15。
再由正弦定理，得
AD16得
—,\得
sin15°sin135°
在MBC中,，应用余弦定理，得
=142
2221
BC2=102+162-2*10*16•—
2
所以，BC=14
三、解答题
解:
由正弦定理得：
sinA二誉一沁丈出
Sin45
当A=60时C=75。
c=空匹*心=41
sinB
当A=120时C=15°C=bSinC="Sin15
sinBsin45
60o东，
2.一海轮以20海里/小时的速度向东航行，它在A点时测得灯塔P在船的北
2小时后到达B点时测得灯塔P在船的北450东，求：
（1）船在B点时与灯塔P的距离；
（2）已知以点P为圆心，55海里为半径的水域内有暗礁，那么这船继续向正东航行,无触礁为危险？
解：
如图：
在厶蚯卩中「"4―缈上=
<55（H分）
PZ）=5Psin45^=2075+20
故继续航行有触礁危险.
3辽宁08）在^ABC中，内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,已知c=2,C=—
3
（I）若△ABC的面积等于J3，求a,b;
（n）若sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面积.
53
4△ABC中，cosA=——,cosB=—.黑龙江2008
135
（I）求sinC的值；
（n）设BC=5，求△ABC的面积.
解：
512
（I）由cosA=——，得sinA=—,
1313
亠34
由cosB=—，得sinB=—.
55
16所以sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=一
65
匚4
—・—5X—
（n）由正弦定理得AC=BCynB=—5
sinA12
13
11__
所以△ABC的面积S=-xBCxACxsinC=-x5x—x一
22
13
13168
=—.10分
3653
（2008重庆）设^ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知
b2+c2=a2■^/3bc求:
（I）A的大小;
（n）2sinBcosC—sin（B-C）的值.
解:
（I）由余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA,
故cosA」*-a2血
2bc2bc
所以A=-
6
-逅
-~2~
n）2sinBcosC-sin（B-C）
=2sinBcosC-（sinBcosC-cosBsinC）
=sinBcosC+cosBsinC
=sin（B+C）
=sin（兀-A）
=sinA=
2
5.（江西17）（本小题满分12分）
C在MBC中，角A、B、C的对边分别是a,b,c，已知sinC+cosC=1-sin—.
2
（1）求sinC的值;
（2）若a2+b2=4（a+b）-8，求边c的值.
CCCC
【解析】
（1）由已知得2sin—cos—+1-2sin2—=1-sin—，即
222
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