新课标人教版八年级数学上册第十五章整式的乘除与因式分解全章教案Word格式文档下载.docx
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计算下列各式：
（1）25×
22
（2）a3·
a2
（3）5m·
5n（m、n都是正整数）
你发现了什么？
注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述．
[师]根据乘方的意义，同学们可以独立解决上述问题．
[生]
（1）25×
22=（2×
2×
2）×
（2×
2）
=27=25+2．
因为25表示5个2相乘，；
22表示2个2相乘，根据乘方的意义，同样道理可得
a3·
a2=（a·
a·
a）·
（a·
a）=a5=a3+2．
5m·
5n=
=5m+n．
（让学生自主探索，在启发性设问的引导下发现规律，并用自己的语言叙述）．
[生]我们可以发现下列规律：
（一）这三个式子都是底数相同的幂相乘．
（二）相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．
2．议一议
am·
an等于什么（m、n都是正整数）？
为什么？
[师生共析]
an表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得：
an=
·
=
=am+n
于是有am·
an=am+n（m、n都是正整数），用语言来描述此法则即为：
“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”．
[师]请同学们用自己的语言解释“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的道理，深刻理解同底数幂的乘法法则．
[生]am表示n个a相乘，an表示n个a相乘，am·
an表示m个a相乘再乘以n个a相乘，也就是说有（m+n）个a相乘，根据乘方的意义可得am·
an=am+n．
[师]也就是说同底数幂相乘，底数不变，指数要降一级运算，变为相加．
3．例题讲解
[例1]计算：
（1）x2·
x5
（2）a·
a6
（3）2×
24×
23（4）xm·
x3m+1
[例2]计算am·
an·
ap后，能找到什么规律？
[师]我们先来看例1，是不是可以用同底数幂的乘法法则呢？
[生1]
（1）、
（2）、（4）可以直接用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则．
[生2]（3）也可以，先算2个同底数幂相乘，将其结果再与第三个幂相乘，仍是同底数幂相乘，再用法则运算就可以了．
[师]同学们分析得很好．请自己做一遍．每组出一名同学板演，看谁算得又准又快．
生板演：
（1）解：
x2·
x5=x2+5=x7．
（2）解：
a6=a1·
a6=a1+6=a7．
（3）解：
23=21+4·
23=25·
23=25+3=28．
（4）解：
xm·
x3m+1=xm+（3m+1）=x4m+1．
[师]接下来我们来看例2．受（3）的启发，能自己解决吗？
与同伴交流一下解题方法．
解法一：
am·
ap=（am·
an）·
ap
=am+n·
ap=am+n+p；
解法二：
ap=am·
（an·
ap）=am·
an+p=am+n+p．
解法三：
ap=
=am+n+p．
评析：
解法一与解法二都直接应用了运算法则，同时还用了乘法的结合律；
解法三是直接应用乘方的意义．三种解法得出了同一结果．我们需要这种开拓思维的创新精神．
[生]那我们就可以推断，不管是多少个幂相乘，只要是同底数幂相乘，就一定是底数不变，指数相加．
[师]是的，能不能用符号表示出来呢？
[生]am1·
am2·
…·
amn=am1+m2+mn
[师]太棒了．那么例1中的第（3）题我们就可以直接应用法则运算了．
2×
23=21+4+3=28．
Ⅲ．随堂练习
1．课本P166练习
Ⅳ．课时小结
[师]这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？
[生]在探索同底数幂乘法的性质时，进一步体会了幂的意义．了解了同底数幂乘法的运算性质．
[生]同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加．应用这个性质时，我觉得应注意两点：
一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；
二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加，即am·
an=am+n（m、n是正整数）．
Ⅴ．课后作业
1．课本P175习题15．2─1．
（1）、
（2），2．
（1）、8．
板书设计
§
15．2．1同底数幂的乘法
一、计算机运算次数：
103
计算1012×
=10
二、算一算，找规律
1．25×
=
=27；
2．a3·
a）=a·
a=a5；
3．5m·
=5m+n
三、同底数幂的乘法法则：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加．即am·
an=am+n（m、n都是正整数）
四、例题讲解：
（由学生板演）
15．2．3幂的乘方
教学目标：
1、经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力。
2、了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题。
教学重点：
会进行幂的乘方的运算。
教学难点：
幂的乘方法则的总结及运用。
教学方法：
尝试练习法，讨论法，归纳法。
教学用具：
常用的教学用具
活动准备：
1、计算
（1）（x+y）2·
（x+y）3
（2）x2·
x+x4·
x
（3）（0.75a）3·
（
a）4（4）x3·
xn-1－xn-2·
x4
教学过程：
通过练习的方式，先让学生复习乘方的知识，并紧接着利用乘方的知识探索新课的内容。
一、探索练习：
1、64表示_________个___________相乘.
（62）4表示_________个___________相乘.
a3表示_________个___________相乘.
（a2）3表示_________个___________相乘.
在这个练习中，要引导学生观察，推测（62）4与（a2）3的底数、指数。
并用乘方的概念解答问题。
2、（62）4=________×
_________×
_______×
________
=__________（根据an·
am=anm）
=__________
（33）5=_____×
________×
_______
（a2）3=_______×
（am）2=________×
_________
（am）n=________×
…×
即（am）n=______________（其中m、n都是正整数）
通过上面的探索活动,发现了什么?
幂的乘方,底数__________,指数__________.
学生在探索练习的指引下,自主的完成有关的练习,并在练习中发现幂的乘方的法则,从猜测到探索到理解法则的实际意义从而从本质上认识、学习幂的乘方的来历。
教师应当鼓励学生自己发现幂的乘方的性质特点（如底数、指数发生了怎样的变化）并运用自己的语言进行描述。
然后再让学生回顾这一性质的得来过程，进一步体会幂的意义。
二、巩固练习：
1、1、计算下列各题：
（1）（103）3
（2）[（
）3]4（3）[（－6）3]4
（4）（x2）5（5）－（a2）7（6）－（as）3
（7）（x3）4·
x2（8）2（x2）n－（xn）2
（9）[（x2）3]7
学生在做练习时，不要鼓励他们直接套用公式，而应让学生说明每一步的运算理由，进一步体会乘方的意义与幂的意义。
2、判断题，错误的予以改正。
（1）a5+a5=2a10（）
（2）（s3）3=x6（）
（3）（－3）2·
（－3）4=（－3）6=－36（）
（4）x3+y3=（x+y）3（）
（5）[（m－n）3]4－[（m－n）2]6=0（）
学生通过练习巩固刚刚学习的新知识。
在此基础上加深知识的应用.
三、提高练习：
1、计算5（P3）4·
（－P2）3+2[（－P）2]4·
（－P5）2
[（－1）m]2n+1m-1+02002―（―1）1990
2、若（x2）n=x8，则m=_____________.
3、若[（x3）m]2=x12，则m=_____________。
4、若xm·
x2m=2，求x9m的值。
5、若a2n=3，求（a3n）4的值。
6、已知am=2,an=3,求a2m+3n的值.
小结：
作业：
课本P16习题1.7：
1、2、3。
15．2．3积的乘方
教学目标
1．经历探索积的乘方的运算法则的过程，进一步体会幂的意义．
2．理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题．
1．在探究积的乘方的运算法则的过程中，发展推理能力和有条理的表达能力．
2．学习积的乘方的运算法则，提高解决问题的能力．
在发展推理能力和有条理的语言、符号表达能力的同时，进一步体会学习数学的兴趣，提高学习数学的信心，感受数学的简洁美．
积的乘方运算法则及其应用．
幂的运算法则的灵活运用．
自学─引导相结合的方法．
同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方成一个体系，研究方法类同，有前两节课做基础，本节课可放手让学生自学，教师引导学生总结，从而让学生真正理解幂的运算方法，能解决一些实际问题．
教学过程
[师]还是就上节课开课提出的问题：
若已知一个正方体的棱长为1.1×
103cm，你能计算出它的体积是多少吗？
[生]它的体积应是V=（1.1×
103）3cm3．
[师]这个结果是幂的乘方形式吗？
[生]不是，底数是1.1和103的乘积，虽然103是幂，但总体来看，我认为应是积的乘方才有道理．
[师]你分析得很有道理，积的乘方如何运算呢？
能不能找到一个运算法则？
有前两节课的探究经验，老师想请同学们自己探索，发现其中的奥秒．
Ⅱ．导入新课
老师列出自学提纲，引导学生自主探究、讨论、尝试、归纳．
1．填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？
（1）（ab）2=（ab）·
（ab）=（a·
（b·
b）=a（）b（）
（2）（ab）3=______=_______=a（）b（）
（3）（ab）n=______=______=a（）b（）（n是正整数）
2．把你发现的规律用文字语言表述，再用符号语言表达．
3．解决前面提到的正方体体积计算问题．
4．积的乘方的运算法则能否进行逆运算呢？
请验证你的想法．
5．完成课本P170例3．
学生探究的经过：
1．
（1）（ab）2=（ab）·
（ab）=（a·
b）=a2b2，其中第①步是用乘方的意义；
第②步是用乘法的交换律和结合律；
第③步是用同底数幂的乘法法则．同样的方法可以算出
（2）、（3）题．
（2）（ab）3=（ab）·
（ab）·
b·
b）=a3b3；
（3）（ab）n=
=anbn
2．积的乘方的结果是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积．
用符号语言叙述便是：
（ab）n=an·
bn（n是正整数）
3．正方体的体积V=（1.1×
103）3它不是最简形式，根据发现的规律可作如下运算：
V=（1.1×
103）3=1.14×
（103）3=1.14×
103×
3=1.14×
109=1.331×
109（cm3）
通过上述探究，我们可以发现积的乘方的运算法则：
bn（n为正整数）
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
4．积的乘方法则可以进行逆运算．即：
an·
bn=（ab）n（n为正整数）
分析这个等式：
左边是幂的乘积，而且幂指数相同，右边是积的乘方，且指数与左边指数相等，那么可以总结为：
同指数幂相乘，底数相乘，指数不变．
看来这也是降级运算了，即将幂的乘积转化为底数的乘法运算．
对于an·
bn=（a·
b）n（n为正整数）的证明如下：
bn=
──幂的意义
──乘法交换律、结合律
＝（a·
b）n──乘方的意义
5．[例3]计算
（1）（2a）3=23·
a3=8a3．
（2）（-5b）3=（-5）3·
b3=-125b3．
（3）（xy2）2=x2·
（y2）2=x2·
y2×
2=x2·
y4=x2y4．
（4）（-2x3）4=（-2）4·
（x3）4=16·
x3×
4=16x12．
（学生活动时，老师要深入到学生中，发现问题，及时启发引导，使各个层面的学生都能学有所获）
[师]通过自己的努力，发现了积的乘方的运算法则，并能做简单的应用．可以作如下归纳总结：
1．积的乘方法则：
积的乘方等于每一个因式乘方的积．即（ab）n=an·
bn（n为正整数）．
2．三个或三个以上的因式的积的乘方也具有这一性质．如（abc）n=an·
bn·
cn（n为正整数）．
3．积的乘方法则也可以逆用．即an·
bn=（ab）n，an·
cn=（abc）n，（n为正整数）．
1．课本P170练习
（由学生板演或口答）
[师]通过本节课的学习，你有什么新的体会和收获？
[生]通过自己的努力，探索总结出了积的乘方法则，还能理解它的真正含义．
[生]其实数学新知识的学习，好多都是由旧知识推理出来的．我现在逐渐体会到温故知新的深刻道理了．
[生]通过一些例子，我们更熟悉了积的乘方的运算性质，而且还能在不同情况下对幂的运算性质活用．
1．课本P175习题15．2─1．（5）、（6），2，3题．
2．总结我们学过的三个幂的运算法则，反思作业中的错误．
3．预习“15．2．4整式的乘法”一节．
15．3．1平方差公式
1．经历探索平方差公式的过程．
2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．
1．在探索平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力．
2．培养学生观察、归纳、概括的能力．
（三）情感与价值观要求在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美．
平方差公式的推导和应用．
理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．
探究与讲练相结合．
通过计算发现规律，进一步探索公式的结构特征，在老师的讲解和学生的练习中让学生体会公式实质，学会灵活运用．
[师]你能用简便方法计算下列各题吗？
（1）2001×
1999
（2）998×
1002
[生甲]直接乘比较复杂，我考虑把它化成整百，整千的运算，从而使运算简单，2001可以写成2000+1，1999可以写成2000-1，那么2001×
1999可以看成是多项式的积，根据多项式乘法法则可以很快算出．
[生乙]那么998×
1002=（1000-2）（1000+2）了．
[师]很好，请同学们自己动手运算一下．
[生]
（1）2001×
1999=（2000+1）（2000-1）
=20002-1×
2000+1×
（-1）
=20002-1
=4000000-1
=3999999．
（2）998×
1002=（1000-2）（1000+2）
=10002+1000×
2+（-2）×
1000+（-2）×
2
=10002-22
=1000000-4
=1999996．
[师]2001×
1999=20002-12
998×
1002=10002-22
它们积的结果都是两个数的平方差，那么其他满足这个特点的运算是否也有这个规律呢？
我们继续进行探索．
[师]出示投影片
计算下列多项式的积．
（1）（x+1）（x-1）
（2）（m+2）（m-2）
（3）（2x+1）（2x-1）
（4）（x+5y）（x-5y）
观察上述算式，你发现什么规律？
运算出结果后，你又发现什么规律？
再举两例验证你的发现．
（学生讨论，教师引导）
[生甲]上面四个算式中每个因式都是两项．
[生乙]我认为更重要的是它们都是两个数的和与差的积．例如算式
（1）是x与1这两个数的和与差的积；
算式
（2）是m与2这两个数的和与差的积；
算式（3）是2x与1这两个数的和与差的积；
算式（4）是x与5y这两个数的和与差的积．
[师]这个发现很重要，请同学们动笔算一下，相信你还会有更大的发现．
[生]解：
（1）（x+1）（x-1）
=x2+x-x-1=x2-12
=m2+2m-2m-2×
2=m2-22
=（2x）2+2x-2x-1=（2x）2-12
=x2+5y·
x-x·
5y-（5y）2
=x2-（5y）2
[生]从刚才的运算我发现：
也就是说，两个数的和与差的积等于这两个数的平方差，这和我们前面的简便运算得出的是同一结果．
[师]能不能再举例验证你的发现？
[生]能．例如：
51×
49=（50+1）（50-1）=502+50-50-1=502-12．
即（50+1）（50-1）=502-12．
（-a+b）（-a-b）=（-a）·
（-a）+（-a）·
（-b）+b·
（-a）+b·
（-b）
=（-a）2-b2=a2-b2
这同样可以验证：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
[师]为什么会是这样的呢？
[生]因为利用多项式与多项式的乘法法则展开后，中间两项是同类项，且系数互为相反数，所以和为零，只剩下这两个数的平方差了．
[师]很好．请用一般形式表示上述规律，并对此规律进行证明．
[生]这个规律用符号表示为：
（a+b）（a-b）=a2-b2．其中a、b表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式．
利用多项式与多项式的乘法法则可以做如下证明：
（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2．
[师]同学们真不简单．老师为你们感到骄傲．能不能给我们发现的规律（a+b）（a-b）=a2-b2起一个名字呢？
[生]最终结果是两个数的平方差，叫它“平方差公式”怎样样？
[师]有道理．这就是我们探究得到的“平方差公式”，请同学们分别用文字语言和符号语言叙述这个公式．
（出示投影）
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
即：
（a+b）（a-b）=a2-b2
平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，用它直接运算会很简便，但必须注意符合公式的结构特征才能应用．
在应用中体会公式特征，感受平方差公式给运算带来的方便，从而灵活运用平方差公式进行计算
（出示投影片）
例1：
运用平方差公式计算：
（1）（3x+2）（3x-2）
（2）（b+2a）（2a-b）
（3）（-x+2y）（-x-2y）
例2：
计算：
（1）102×
98
（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）
[师生共析]运用平方差公式时要注意公式的结构特征，学会对号入座．
在例1的
（1）中可以把3x看作a，2看作b．
（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22
（a+b）（a-b）=a2-b2
同样的方法可以完成
（2）、（3）．如果形式上不符合公式特征，可以做一些简单的转化工作，使它符合平方差公式的特征．比如
（2）应先作如下转化：
（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）．
如果转化后还不能符合公式特征，则应考虑多项式的乘法法则．
（作如上分析后，学生可以自己完成两个例题．也可以通过学生的板演进行评析达到巩固和深化的目的）
[例1]解：
（1）（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22=9x2-4．
（2）（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）=（2a）2-b2=4a2-b2．
（3）（-x+2y）（-x-2y）=（-x）2-（2y）2=x2-4y2．
[例2]解：
（1）102×
98=（100+2）（100-2）
=1002-22=10000-4=9996．
=y2-22-（y2+5y-y-5）
=y2-4-y2-4y+5
=-4y+1．
[师]我们能不能总结一下利用平方差公式应注意什么？
[生]我觉得应注意以下几点：
（1）公式中的字母a、b可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式．
（2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式．
（3）有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式．
[生]运算的最后结果应该是最简才行．
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