第十讲 导数题的解题技巧Word文档格式.docx
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（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．
思路启迪：
用求导来求得切线斜率.
解答过程：
（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，
设两实根为（），则，且．于是
，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16．
（II）解法一：
由知在点处的切线的方程是
，即，
因为切线在点处空过的图象，
所以在两边附近的函数值异号，则
不是的极值点．
而，且
．
若，则和都是的极值点．
所以，即，又由，得，故．
解法二：
同解法一得
因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在（）．
当时，，当时，；
或当时，，当时，．
设，则
由知是的一个极值点，则，
所以，又由，得，故．
例4.（2006年安徽卷）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）
A．B．
C．D．
[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.
[解答过程]与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在（1，1）处导数为4，此点的切线为.
故选A.
例5．（2006年重庆卷）过坐标原点且与x2+y2-4x+2y+=0相切的直线的方程为（）
A.y=-3x或y=xB.y=-3x或y=-xC.y=-3x或y=-xD.y=3x或y=x
[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力.
[解答过程]解法1：
设切线的方程为
又
解法2:
由解法1知切点坐标为由
例6.已知两抛物线,取何值时，有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程.
先对求导数.
函数的导数为，曲线在点P（）处的切线方程为，即 ①
曲线在点Q的切线方程是即
②
若直线是过点P点和Q点的公切线，则①式和②式都是的方程，故得
，消去得方程，
若△=，即时，解得，此时点P、Q重合.
∴当时，和有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为.
考点3导数的应用
中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:
1..求函数的解析式;
2.求函数的值域;
3.解决单调性问题;
4.求函数的极值（最值）;
5.构造函数证明不等式.
例7．（2006年天津卷）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力.
[解答过程]由图象可见,在区间内的图象上有一个极小值点.
例8.（2007年全国一）设函数在及时取得极值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．
利用函数在及时取得极值构造方程组求a、b的值．
（Ⅰ），
因为函数在及取得极值，则有，．
即
解得，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，
当时，；
当时，．
所以，当时，取得极大值，又，．
则当时，的最大值为．
因为对于任意的，有恒成立，
所以 ，
解得 或，
因此的取值范围为．
例9.函数的值域是_____________.
求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。
此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。
由得，，即函数的定义域为.
，
又，
当时，，
函数在上是增函数，而，的值域是.
例10．（2006年天津卷）已知函数，其中为参数，且．
（1）当时，判断函数是否有极值；
（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；
（3）若对
（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围．
[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法.
[解答过程]（Ⅰ）当时，，则在内是增函数，故无极值.
（Ⅱ），令，得.
由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论.
①当时，随x的变化的符号及的变化情况如下表：
x
0
+0-0+
↗极大值
↘极小值↗
因此，函数在处取得极小值，且.
要使，必有，可得.
由于，故.
②当时，随x的变化，的符号及的变化情况如下表：
极大值
极小值因此，函数处取得极小值，且
若，则.矛盾.所以当时，的极小值不会大于零.
综上，要使函数在内的极小值大于零，参数的取值范围为.
（III）解：
由（II）知，函数在区间与内都是增函数。
由题设，函数内是增函数，则a须满足不等式组
或
由（II），参数时时，.要使不等式关于参数恒成立，必有，即.
综上，解得或.
所以的取值范围是.
例11．（2006年山东卷）设函数f（x）=ax－（a+1）ln（x+1），其中a-1，求f（x）的单调区间.
[考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
[解答过程]由已知得函数的定义域为，且
（1）当时，函数在上单调递减，
（2）当时，由解得
、随的变化情况如下表
—0+
极小值从上表可知
当时，函数在上单调递减.
当时，函数在上单调递增.
综上所述：
当时，函数在上单调递减.
当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.
例12．（2006年北京卷）已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）的值.
[考查目的]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值,函数与方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
[解答过程]解法一：
（Ⅰ）由图像可知，在上，在上，在上,
故在上递增，在上递减，
因此在处取得极大值，所以
（Ⅱ）
由
得
解得
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）设
所以
由即得
例13．（2006年湖北卷）设是函数的一个极值点.
（Ⅰ）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；
（Ⅱ）设，.若存在使得成立，求的取值范围.
[考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力.
[解答过程]（Ⅰ）f`（x）＝－[x2＋（a－2）x＋b－a]e3－x,
由f`（3）=0，得－[32＋（a－2）3＋b－a]e3－3＝0，即得b＝－3－2a，
则f`（x）＝[x2＋（a－2）x－3－2a－a]e3－x
＝－[x2＋（a－2）x－3－3a]e3－x＝－（x－3）（x＋a+1）e3－x.
令f`（x）＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点，
所以x+a+1≠0，那么a≠－4.
当a<
－4时，x2>
3＝x1，则
在区间（－∞，3）上，f`（x）<
0，f（x）为减函数；
在区间（3，―a―1）上，f`（x）>
0，f（x）为增函数；
在区间（―a―1，＋∞）上，f`（x）<
0，f（x）为减函数.
当a>
－4时，x2<
在区间（－∞，―a―1）上，f`（x）<
在区间（―a―1，3）上，f`（x）>
在区间（3，＋∞）上，f`（x）<
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>
0时，f（x）在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f（x）在区间[0，4]上的值域是[min（f（0），f（4）），f（3）]，
而f（0）＝－（2a＋3）e3<
0，f（4）＝（2a＋13）e－1>
0，f（3）＝a＋6，
那么f（x）在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6].
又在区间[0，4]上是增函数，
且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋，（a2＋）e4]，
由于（a2＋）－（a＋6）＝a2－a＋＝（）2≥0，所以只须仅须
（a2＋）－（a＋6）<
1且a>
0，解得0<
a<
.
故a的取值范围是（0，）.
例14（2007年全国二）
已知函数
在处取得极大值，在处取得极小值，且．
（1）证明；
（2）若z=a+2b,求z的取值范围。
[解答过程]求函数的导数．
（Ⅰ）由函数在处取得极大值，在处取得极小值，知是的两个根．
当时，为增函数，，由，得．
（Ⅱ）在题设下，等价于 即．
化简得．
此不等式组表示的区域为平面上三条直线：
所围成的的内部，其三个顶点分别为：
在这三点的值依次为．
所以的取值范围为．
小结：
本题的新颖之处在把函数的导数与线性
规划有机结合．
考点4导数的实际应用
建立函数模型,利用
例15.（2007年重庆文）
用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：
1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？
最大体积是多少？
[考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.
[解答过程]设长方体的宽为x（m），则长为2x（m），高为
故长方体的体积为
从而
令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.
当0＜x＜1时，V′（x）＞0；
当1＜x＜时，V′（x）＜0，
故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。
从而最大体积V＝V′（x）＝9×
12-6×
13（m3），此时长方体的长为2m，高为1.5m.
答：
当长方体的长为2m时，宽为1m，高为1.5m时，体积最大，最大体积为3m3。
例16．（2006年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗
油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：
已知甲、乙两地相距100千米.
（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？
最少为多少升？
[解答过程]（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，
要耗没（升）.
当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。
（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得
令得
当时，是减函数；
当时，是增函数.
当时，取到极小值
因为在上只有一个极值，所以它是最小值.
当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.
【专题训练与高考预测】
一、选择题
1.y=esinxcos（sinx），则y′（0）等于（）
A.0B.1C.－1D.2
2.经过原点且与曲线y=相切的方程是（）
A.x+y=0或+y=0B.x－y=0或+y=0
C.x+y=0或－y=0D.x－y=0或－y=0
3.设f（x）可导，且f′（0）=0,又=－1,则f（0）（）
A.可能不是f（x）的极值B.一定是f（x）的极值
C.一定是f（x）的极小值D.等于0
4.设函数fn（x）=n2x2（1－x）n（n为正整数），则fn（x）在［0,1］上的最大值为（）
A.0B.1C.D.
5、函数y=（x2-1）3+1在x=-1处（）
A、有极大值B、无极值C、有极小值D、无法确定极值情况
6.f（x）=ax3+3x2+2，f’（-1）=4，则a=（）
A、B、C、D、
7.过抛物线y=x2上的点M（）的切线的倾斜角是（）
A、300B、450C、600D、900
8.函数f（x）=x3-6bx+3b在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是（）
A、（0，1）B、（-∞，1）C、（0，+∞）D、（0，）
9.函数y=x3-3x+3在[]上的最小值是（）
A、B、1C、D、5
10、若f（x）=x3+ax2+bx+c，且f（0）=0为函数的极值，则（）
A、c≠0B、当a>
0时，f（0）为极大值
C、b=0D、当a<
0时，f（0）为极小值
11、已知函数y=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值，则该函数的一个递增区间是（）
A、（2，3）B、（3，+∞）C、（2，+∞）D、（-∞，3）
12、方程6x5-15x4+10x3+1=0的实数解的集合中（）
A、至少有2个元素B、至少有3个元素C、至多有1个元素D、恰好有5个元素
二、填空题
13.若f′（x0）=2,=_________.
14.设f（x）=x（x+1）（x+2）…（x+n）,则f′（0）=_________.
15.函数f（x）=loga（3x2+5x－2）（a＞0且a≠1）的单调区间_________.
16.在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_________时它的面积最大.
三、解答题
17.已知曲线C：
y=x3－3x2+2x,直线l:
y=kx,且l与C切于点（x0,y0）（x0≠0），求直线l的方程及切点坐标.
18.求函数f（x）=p2x2（1-x）p（p∈N+），在[0，1]内的最大值.
19.证明双曲线xy=a2上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数.
20.求函数的导数
（1）y=（x2－2x+3）e2x;
（2）y=.
21.有一个长度为5m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3m/s的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4m时，梯子上端下滑的速度.
22.求和Sn=12+22x+32x2+…+n2xn－1,（x≠0,n∈N*）.
23.设f（x）=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间.
24.设x=1与x=2是函数f（x）=alnx+bx2+x的两个极值点.
（1）试确定常数a和b的值；
（2）试判断x=1,x=2是函数f（x）的极大值还是极小值，并说明理由.
25.已知a、b为实数，且b＞a＞e,其中e为自然对数的底，求证：
ab＞ba.
26.设关于x的方程2x2－ax－2=0的两根为α、β（α＜β）,函数f（x）=.
（1）求f（α）?
f（β）的值；
（2）证明f（x）是［α，β］上的增函数；
（3）当a为何值时，f（x）在区间［α，β］上的最大值与最小值之差最小？
【参考答案】
一、1.解析：
y′=esinx［cosxcos（sinx）－cosxsin（sinx）］,y′（0）=e0（1－0）=1.
答案：
B
2.解析：
设切点为（x0,y0）,则切线的斜率为k=,另一方面，y′=（）′=,故
y′（x0）=k,即或x02+18x0+45=0得x0
（1）=－3,y0
（2）=－15,对应有y0
（1）=3,y0
（2）=,因此得两个切点A（－3，3）或B（－15,）,从而得y′（A）==－1及y′（B）=,由于切线过原点，故得切线：
lA:
y=－x或lB:
y=－.
A
3.解析：
由=－1,故存在含有0的区间（a,b）使当x∈（a,b）,x≠0时＜0,于是当x∈（a,0）时f′（0）＞0,当x∈（0,b）时，f′（0）＜0,这样f（x）在（a,0）上单增，在（0,b）上单减.
4.解析：
∵f′n（x）=2xn2（1－x）n－n3x2（1－x）n-1=n2x（1－x）n-1［2（1－x）－nx］,令f′n（x）=0,得x1=0,x2=1,x3=,易知fn（x）在x=时取得最大值，最大值fn（）=n2（）2（1－）n=4?
（）n+1.
D
5、B6、A7、B8、D9、B10、C11、B12、C
二、13.解析：
根据导数的定义：
f′（x0）=（这时）
－1
14.解析：
设g（x）=（x+1）（x+2）……（x+n）,则f（x）=xg（x）,于是f′（x）=g（x）+xg′（x）,
f′（0）=g（0）+0?
g′（0）=g（0）=1?
2?
…n=n！
n!
15.解析：
函数的定义域是x＞或x＜－2,f′（x）=.（3x2+5x－2）′=,
①若a＞1,则当x＞时，logae＞0,6x+5＞0,（3x－1）（x+2）＞0,∴f′（x）＞0,∴函数f（x）在（,+∞）上是增函数，x＜－2时，f′（x）＜0.∴函数f（x）在（－∞,－2）上是减函数.
②若0＜a＜1,则当x＞时，f′（x）＜0,∴f（x）在（,+∞）上是减函数，当x＜－2时，
f′（x）＞0,∴f（x）在（－∞,－2）上是增函数.
（－∞,－2）
16.解析：
设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高为h，那么h=AO+BO=R+,解得
x2=h（2R－h）,于是内接三角形的面积为
S=x?
h=
令S′=0,解得h=R,由于不考虑不存在的情况，所在区间（0,2R）上列表如下：
h（0,R）
R
（,2R）S′+0－
S增函数最大值减函数
由此表可知，当x=R时，等腰三角形面积最大.
三、17.解：
由l过原点，知k=（x0≠0）,点（x0,y0）在曲线C上，y0=x03－3x02+2x0,
∴=x02－3x0+2,y′=3x2－6x+2,k=3x02－6x0+2
又k=,∴3x02－6x0+2=x02－3x0+2,2x02－3x0=0,∴x0=0或x0=.
由x≠0,知x0=,
∴y0=（）3－3（）2+2?
=－.∴k==－.
∴l方程y=－x切点（，－）.
18.,
令f’（x）=0得，x=0，x=1，x=,
在[0，1]上，f（0）=0，f
（1）=0，.
∴.
19.设双曲线上任一点P（x0，y0）,
∴切线方程,
令y=0，则x=2x0
令x=0，则.
20.解：
（1）注意到y＞0,两端取对数，得
lny=ln（x2－2x+3）+lne2x=ln（x2－2x+3）+2x,
（2）两端取对数，得
ln|y|=（ln|x|－ln|1－x|）,
两边解x求导，得
21.解：
设经时间t秒梯子上端下滑s米,则s=5－,当下端移开1.4m时，t0=,
又s′=－（25－9t2）?
（－9?
2t）=9t,
所以s′（t0）=9×
=0.875（m/s）.
22.解：
（1）当x=1时，Sn=12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）,当x≠1时，1+2x+3x2+…+nxn-1=,两边同乘以x,得
x+2x2+3x2+…+nxn=两边对x求导，得
Sn=12+22x2+32x2+…+n2xn-1
=.
23.解：
f′（x）=3ax2+1.
若a＞0,f′（x）＞0对x∈（－∞,+∞）恒成立，此时f（x）只有一个单调区间，矛盾.
若a=0,f′（x）=1＞0,∴x∈（－∞,+∞）,f（x）也只有一个单调区间，矛盾.
若a＜0,∵f′（x）=3a（x+）?
（x－）,此时f（x）恰有三个单调区间.
∴a＜0且单调减区间为（－∞,－）和（,+∞），
单调增区间为（－,）.
24.解：
f′（x）=+2bx+1
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