广义胡克定律.docx

广义胡克定律.docx

《广义胡克定律.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广义胡克定律.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

广义胡克定律

广义胡克定律

作者:

日期:

§10.4空间应力状态及广义胡克定律

一、空间应力状态简介

当单元体上三个主应力均不为零时的应力状态称为空间应力状态，也称为三向

应力状态。

本节只讨论在已知主应力5、吃、&的条件下，单元体的最大正应力和

最大剪应力。

先研究一个与51平行的斜截面上的应力情况，如图10-16（a）所示。

该

斜面上的应力5、T与51无关，只由主应力52、5决定。

于是，可由5、5确定

的应力圆周上的点来表示平行于51某个斜面上的正应力和剪应力。

同理，在平行于

52或53的斜面上的应力5、T，也可分别由（5、5）或（5、5）确定的应力圆

来表示。

这样作出的3个应力圆称作三向应力圆，如图10-16（d）所示。

当与三个

主应力均不平行的任意斜面上的正应力和剪应力必然处在三个应力圆所围成的阴影范围之内的某一点D。

D点的纵横坐标值即为该斜面上的正应力和剪应力。

由于D

点的确定比较复杂且不常用，在此不作进一步介绍。

图10-16空间应力

二、最大、最小正应力和最大剪应力

从图10-16（d）看出，在三个应力圆中，由5、53所确定的应力圆是三个应力圆

中最大的应力圆，又称极限应力圆。

画阴影线的部分内，横坐标的极大值为Al点,

而极小值为B1点，因此，单元体正应力的极值为：

5max=51,cmin=53

单元体中任意斜面上的应力一定在51和5之间。

13

max■-

2

三、广义胡克定律

在研究单向拉伸与压缩时，已经知道了在线弹性范围内，应力与应变成线性关系，满足胡克定律

（a）

此外，轴向变形还将引起横向尺寸的变化，横向线应变根据材料的泊松比可得出:

（b）

在纯剪切的情况下，根据实验结果，在剪应力不超过剪切比例极限时，剪应力和剪应变之间的关系服从剪切胡克定律，即

G或G

（c）

对于复杂受力情况，描述物体一点的应力状态，通常需要9个应力分量，如图

10.1所示。

根据剪应力互等定律，Ty=—Tx,Tz=一Tx,Tz=一Ty,因而，在这9个

应力分量中只有6个是独立的。

这种情况可以看成是三组单向应力（图10-17）和

三组纯剪切的组合。

对于各向同性材料，在线弹性范围内，处于小变形时，线应变

只与正应力有关，与剪应力无关；而剪应变只与剪应力有关，与正应力无关，并且

剪应力只能引起与其相对应的剪应变分量的改变，而不会影响其它方向上的剪应变。

因此，求线应变时，可不考虑剪应力的影响，求剪应变时不考虑正应力的影响。

于

是只要利用（a）、（b）、（c）三式求出与各个应力分量对应的应变分量，然后进行叠

加即可。

（C）

图10-17

如在正应力bx单独作用时（图

10-17（b））

y单独作用时

（图10-17（c））

z单独作用时

（图10-17（d））

x、by、bz

7

i

应力分解

单元体在x方向的线应变

，单元体在x方向的线应变为:

，单元体在x方向的线应变为

共同作用下，单元体在

x方向的线应变为:

xy

xz

xx

xxxxy

xz

z）

同理，可求出单元体在

方向的线应变£

和£

z。

最后得

z）

（10-9）

y）

对于剪应变与剪应力之间，由于剪应变只与剪应力有关，并且剪应力只能引起

与其相对应的剪应变分量的改变,

而不会影响其它方向上的剪应变。

因而仍然是（c）

式所表示的关系。

这样，在

xy、yz、

zx三个面内的剪应变分别是

xy

1

Gxy

2（1八

xy

yz

yz

2

（1）

E

yz

（10-10）

公式（10-9）和（10-10）就是三向应力状态时的广义胡克定律。

方向一致，这时有

广义胡克定律化为:

（10-11）

应变的最大值和最小值。

+£3dz）

则体积应变为:

略去高阶微量，得

（10-12）

将广义胡克定律式（10-11）代入上式，得到以应力表示的体积应变

3）

（10-13）

令

1

m（123）

3

（10-14）

贝U

3（12）m

E

（10-15）

K

E

式中：

3（12）称为体积弹性模量，cm称为平均主应力。

公式（10-15）表明，体积应变B与平均主应力cm成正比，即体积胡克定律。

单位体积的体积改变只与三个主应力之和有关，至于三个主应力之间的比例对体积应变没有影响。

若将图10-19（a）中所示单元体分解为（b）和（c）两种情况的叠加，在（c）图中，由于各面上的主应力为平均主应力，该单元体各边长按相同比例伸长或缩短，

所以单元体只发生体积改变而不发生形状改变。

在图（b）中，三个主应力之和为零，由式（10-13）可得其体积应变B也为零，

表明该单元体只发生形状改变而不发生体积改变。

由此可知，图（a）所示的单元体

的变形将同时包括体积改变和形状改变。

W（b）（c）

图10-19单元体应力的组

五、复杂应力状态下的弹性变形比能

弹性变形比能是指物体在外力作用处于弹性状态下，在单位体积内储存的变形

能。

在单向应力状态下，当应力b与应变&满足线性关系时，根据外力功和应变能在数值上相等的关系，导出变形比能的计算公式为

1

u-

2

在复杂应力状态下的单元体的变形比能为

2233）

将将广义胡克定律（10.11）

式代入上式,

经过整理后得出:

（10-16）

1

U

2E

2E

3）33（21）

31）

式（10-16）就是在复杂应力状态下杆件的弹性变形比能计算公式。

由于单元体的变

形包括体积改变和形状改变，所以变形比能也可以看成由体积改变比能和形状改变

比能这两部分的组合。

UUUd

式中：

u为体积改变比能,

Ud为形状改变比能。

对于图（10-19（c））中的单元体，各面上的正应力为:

m3（1

3），将

dm代入式（

10-16

）得体积改变比能:

（10-17）

形状改变比能:

1

2E

m）

6E

3）2

Uduu

2E

1）

3）2

（10-18）

例10-7

x40010

应变。

已知弹性模量

6E

6F[（

2）2

3）2（

1）2]

图10-20所示

6

12010，试求:

A点处沿

A点处测

x、y方向的正应力和

E=200GPa，泊松比3

=0.3。

图10-20

钢梁上某点A的位置

解：

因为A点的单元体上d

z=0，该单元体处于平面应力状态，将

3代入公式（10-9），得

400106

1

200109（

x0.3y）

线应变

方向的线

120010

200

荷（

y0.3x）

解得：

cx=80MPa,cy=0

再由