土木工程测量第5章测量误差的基本知识精Word文档格式.docx
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研究测量误差是为了认识测量误差的基本特性及其对观测结果的影响规律，建立处理测量误差的数学模型，确定未知量的最可靠值及其精度，进而判定观测结果是否可靠或合格。
在认识了测量误差的基本特性和影响规律之后，能指导测量员在观测过程中如何制定观测方案、采取措施尽力减少测量误差对测量结果的影响。
5.1.4测量误差的分类及处理方法
根据测量误差的性质，测量误差可分为粗差、系统误差和偶然误差三大类，即
Δ=Δ1+Δ2+Δ3
式中，Δ1为粗差；
Δ2为系统误差；
Δ3为偶然误差。
1.粗差
粗差是一种大级量的观测误差，例如超限的观测值中往往含有粗差。
粗差也包括测量过程中各种失误引起的误差。
粗差产生的原因较多，有测量员疏忽大意、失职而引起，如读数错误、记录错误、照准目标错误等；
有测量仪器自身或受外界干扰发生故障而引起的；
还有是容许误差取值过小造成的。
粗差对测量结果的影响巨大，必须引起足够的重视，在观测过程中要尽力避免。
发现粗差的有效办法是：
严格遵守国家测量规范或规程，进行必要的重复观测，通过多余观测条件，采用必要而严密的检核、验算等措施。
不同的人、不同的仪器、不同的测量方法和不同的观测时间是发现粗差的最好方式。
一旦发现粗差，该观测值必须舍弃并重测。
测量员要养成良好的测量习惯，如记录员站在水准仪的右侧，不仅要记录数据，还要回报数据、时刻提醒观测员管水准器没有整平。
尽管测量员已十分认真、谨慎，粗差有时仍然会发生。
因此，如何在观测数据中发现并剔除粗差，或在数据处理过程中削弱粗差对测量结果的影响，是测绘界十分关注的问题。
2.系统误差
在相同的观测条件下，对某量进行一系列观测，其误差符号或大小均相同或按一定规律变化，这种误差称为系统误差。
如钢尺尺长误差、仪器残余误差对测量结果的影响。
系统误差具有积累性，对测量结果的影响很大，因此，必须足够地重视，处理系统误差的办法有以下几项。
·
（5-2）
120·
土木工程测量
（1）用计算的方法加以改正。
如钢尺的温度改正、倾斜改正等。
（2）用合适的观测方法加以削弱。
如在水准测量中，测站上采用“后—前—前—后”的观测程序可以削弱仪器下沉对测量结果的影响；
在水平角测量时，采用盘左、盘右观测值取平均值的方法可以削弱视准轴误差的影响。
（3）将系统误差限制在一定的允许范围之内。
有些系统误差既不便于计算改正，又不能采用一定的观测方法加以消除，如视准轴误差对水平角的影响、水准尺倾斜对读数的影响。
对于这类误差，则必须严格遵守操作规程，对仪器进行精确检校，使其影响减少到允许范围之内。
3.偶然误差
在相同的观测条件下，对某量进行一系列观测，其误差符号或大小都不一致，表面上看不出任何规律性，这种误差称为偶然误差。
偶然误差也有很大的累积性，而且在观测过程中无法避免或削弱。
粗差可以被发现并被剔除，系统误差可以被预知或采取一定措施进行削弱，而偶然误差是不可避免的，因此，讨论测量误差的主要内容和任务就是研究在带有偶然误差的一系列观测值中，如何确定未知量的最可靠值及其精度。
从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的规律，但对大量偶然误差进行统计分析，就发现了规律，并且误差个数越多，规律越明显。
例如，某一测区在相同观测条件下，对测区内所有三角形的内角进行了观测，由于观测结果中存在偶然误差，因而，三角形各内角的观测值之和l不一定等于其真值180。
由式（5-1）计算每个三角形内角观测值之和的真误差，将真误差取区间dΔ=3"
，并按绝对值大小进行排列，分别统计在各区间的正负误差的个数，其数据列于表5-1中。
以表5-1中误差范围为横轴，以误差个数为纵轴绘制成直方图如图5.1所示。
表5-1偶然误差统计表
误差所在区间0"
～3"
3"
～6"
6"
～9"
9"
～12"
12"
～15"
15"
～18"
18"
以上总计
23138311048
负误差个数
25149210052
正误差个数
误差总数4827175210100
由表5-1和图5.1可以看出：
小误差出现的个数比大误差出现的个数多；
绝对值相等的正、负误差个数几乎相同；
最大误差不超过18"
通过大量实验统计，结果表明，当观测次数较多时，偶然误差具有如下统计特性。
（1）在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值，即有界性。
（2）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的可能性大，即偶然性或随机性。
（3）绝对值相等的正、负误差出现的可能性相等，即对称性。
120·
121·
（4）同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值随着观测次数的无限增加而趋近于0，即
[Δ]lim=0（5-3）n→∞n
式中，［Δ］=Δ1+Δ2+…+Δn，n为观测次数。
在测量学中以“[·
]”表示取括号中变量的代数和，即[Δ]=∑Δ。
偶然误差的第（4）个特性由第（3）个特性导出，说明偶然性误差具有抵偿性。
为了简单而形象地表示偶然误差的上述特性，今以偶然误差的大小为横坐标，以其相应出现的个数为纵坐标，画出偶然误差大小与其出现个数的关系曲线，如图5.2所示。
这种曲线又称为误差分布曲线。
误差分布曲线的峰愈高坡愈陡，表明绝对值小的误差出现较多，即误差分布比较密集，反映观测成果质量好；
曲线的峰愈低坡愈缓，表明绝对值大的误差出现较少，即误差分布比较离散，反映观测成果质量较差。
偶然误差特性图中的曲线符合统计学中的正态分布曲线，标准误差的大小反映了观测精度的低高，即标准误差越大，精度越低
；
反之，标准误差越小，精度越高。
图5.1偶然误差统计直方图图5.2偶然误差特性图
5.1.5精度的概念及评定精度的标准
精度是指对某个量进行多次同精度观测中，其偶然误差分布的离散程度。
观测条件相同的各次观测，称为等精度观测，但每次的观测结果之间又总是不完全一致。
测量工作中，观测对象的真值只有一个，而观测值有无数个，其真误差也有相同的个数，有正有负，有大有小。
以真误差的平均值作为衡量精度的标准非常不实用，因为真误差的平均值都趋近于0。
以真误差绝对值的大小来衡量精度也不能反映这一组观测值的整体优劣。
因而，测量中引用了数理统计中均方差的概念，并以此作为衡量精度的标准。
具体到测量工作中，以中误差、相对中误差和容许误差作为衡量精度的标准。
中误差越大，精度越低；
反之，中误差越小，精度越高。
1.中误差
设在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，其观测值为l1，l2，…，ln，相应的真误差为Δ1，Δ2，…，Δn，则中误差为
122·
土木工程测量
m=±
22式中，[ΔΔ]=Δ1+Δ22+…+Δn。
[ΔΔ]n（5-4）
【例5.1】设有甲、乙两个小组，对某三角形的内角和观测了10次，分别求得其真误差为
甲组+4"
，+3"
，+5"
，－2"
，－4"
，－1"
，+2"
，－6"
乙组+3"
，－5"
，－7"
，+8"
试求这两组观测值的中误差。
【解】
m甲
==±
3.5'
'
m乙==±
4.7'
比较m甲和m乙可知，甲组的观测精度比乙组高。
2．相对中误差
在某些情况下，单用中误差还不能准确地反映出观测精度的优劣。
例如丈量了长度为100m和200m的两段距离，其中误差均为±
0.01m，显然不能认为这两段距离的精度相同。
这时为了更客观地反映实际情况，还必须引入相对中误差的概念，以相对中误差K来作为衡量精度的标准。
相对中误差是中误差的绝对值与相应观测值之比，并用分子为1的分数来表示，即
m1K==（5-5）DD/m
在上例中，K1=0.01/100=1/10000，K2=0.01/200=1/20000。
显然，后者的精度比
前者精度高；
当K中分母越大，表示相对中误差精度越高，反之越低。
值得注意的是，观测时间、角度和高差时，不能用相对中误差来衡量观测值的精度，这是因为观测误差与观测值的大小无关。
3.容许误差
由偶然误差的第一个特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度。
根据误差理论和大量的实践证明，在一系列等精度的观测中，绝对值大于2倍中误差的偶然误差出现的可能性约为5%；
绝对值大于3倍中误差的偶然误差出现的可能性约为0.3%。
因此，在观测次数不多的情况下，可以认为大于3倍中误差的偶然误差是不可能出现的。
故通常以3倍中误差作为偶然误差的极限误差，即
Δ极=3m（5-6）
在实际工作中，测量规范要求观测值中，不容许存在较大的误差，常以2倍中误差作为偶然误差的容许误差，即
Δ容=2m（5-7）
在观测数据检查和处理工作中，常用容许误差作为精度的衡量标准。
当观测值误差大·
122·
于容许误差时，即可认为观测值中包含有粗差，应给予舍去不用或重测。
·
123·
5.2误差传播定律
5.2.1误差传播的概念与误差传播定律
当对某一未知量进行了多次观测后，就可以根据观测值计算出观测值的中误差，作为衡量观测结果的精度标准。
但是在实际工作中，有些未知量往往不是直接观测得到的，而是观测其他未知量间接求得的。
例如，水准测量中，在测站上测得后视、前视读数分别为a、b，则高差h=a－b。
这里高差h是直接观测量a、b的函数。
显然，当a、b存在误差时，h也受其影响而产生误差。
这种关系称为误差传播，阐述这种函数关系的定律称为误差传播定律。
5.2.2一般函数的中误差
设有一般函数
Z=F（X1，X2，…，Xn）（5-8）
式中，X1，X2，…，Xn为可直接观测的未知量，Z为函数，是间接观测量。
设Ｘi（i=1，2，…，n）的独立观测值为xi，其相应的真误差为Δxi。
由于Δxi的存在，使函数Z也产生相应的真误差Δzi将式（5-8）取全微分∂F∂F∂F（5-9）dZ=dx1+dx2++dxn∂x1∂x2∂xn
因误差Δxi及ΔZ都很小，故在上式中可以用Δxi及ΔZ代替dxi及dZ，于是有∂F∂F∂FΔZ=Δx1+Δx2++Δxn（5-10）∂x1∂x2∂xn
∂F式中为函数F对各自变量的偏导数，令∂xi
∂F=fi∂xi
则式（5-10）可写成
ΔZ=f1Δx1+f2Δx2++fnΔxn（5-11）
为了求得函数和观测值之间的中误差关系式，设想对各式进行了k次观测，则可写出如下关系式
ΔZ
（1）=f1Δx1
（1）+f2Δx2
（1）++fnΔxn
（1）
ΔZ
（2）=f1Δx1
（2）+f2Δx2
（2）++fnΔxn
（2）
ΔZ（k）=f1Δx1（k）+f2Δx2（k）++fnΔxn（k）
将
以上各等式取平方和得…
124·
2222土木工程测量[ΔZ]=f1[Δx1]+f2[Δx2]++fn[Δxn]+222
i,j=1,i≠j∑fifj[ΔxiΔxj]n
上式两端各除以k得
222n[ΔxiΔxj][ΔZ2]2[Δxn]2[Δx2]2[Δx1]=f1+f2++fn+∑fifjkkkkki,j=1,i≠j
由于对各xi的观测值为相互独立的观测量，则ΔxiΔxj（i≠j）也具有偶然误差的特性。
根据偶然误差的第（4）个特性，上式的末项趋近于0，即
[ΔxiΔxj]lim=0k→∞k
根据中误差的定义，则有
2222mz=f12m1+f22m2++fn2mn（5-12）
即
⎛∂F⎛∂F⎞2⎛∂F⎞2⎜⎟⎜⎟+++mz=±
⎜mm⎜∂x⎟1⎜∂x⎟2⎜∂x⎝1⎠⎝2⎠⎝n22⎞2⎟⎟mn⎠2（5-13）
式（5-13）为计算函数中误差的一般形式。
在应用时，要注意各观测值之间必须是相互独立的变量。
当未知量xi为直接观测值时，可认为各xi之间满足相互独立的条件。
误差传播定律在测绘领域应用十分广泛，利用它不仅可以求得观测值函数的中误差，而且还可以研究确定容许误差以及事先分析观测可能达到的精度等，对预先确定的测量方案做出优劣评估。
5.2.3线性函数的中误差
设有一般线性函数
Z=k1Ｘ1±
k2Ｘ2±
…±
knＸn（5-14）
式中，Ｘ1，Ｘ2，…，Ｘn为可直接观测的未知量，Z为函数，是间接观测量，k1，k2，…，kn为系数。
套用公式（5-13）得一般线性函数的中误差公式为
22222mz=±
k12m1+k2m2++knmn（5-15）
【例5.2】在某三角形ABC中，直接观测A和B角，其中误差分别是mA=±
3"
和mB=±
4"
，试求中误差mC。
【解】A、B、C满足如下关系
C=180－A－B
微分上式dC=－dA－dB
由式（5-9）可知，f1=－1，f2=－1，代入式（5-11）得
222mC=mA+mB=（±
3'
）+（±
4'
）=2522
mC=±
5"
本例题由于是线性函数，也可直接套用式（5-14）求得结果。
注意，线性函数中不管是“和”·
124·
函数还是“差”函数，函数中误差都是求平方和之后再开方。
【例5.3】已知x=200±
3，z=300±
5，求y和my。
设x，y，z满足下列关系：
z=3x－5y【解】
依题意y=31x+z=18055·
125·
m
=±
3，m=±
5
my==±
2.1请同学们注意，本例题哪个量是函数？
哪个量是直接观测量？
5.2.4误差传播定律的应用
【例5.4】为了求某圆柱体体积，今测得圆周长、高及其中误差分别为：
周长C=2.105±
0.002m，高H=1.823±
0.003m，试求圆柱体体积V及其中误差mV。
圆柱体体积公式
12V=CH4π
dV2dCdH=+将上式取对数微分得VCH
则
⎛mV⎞⎛2mC⎞⎛mH⎞⎜V⎟=⎜C⎟+⎜H⎟⎠⎝⎠⎝⎠⎝
将观测数据代入上式得V=0.643m3
3mV=±
0.0016m
即V=0.643±
0.0016m3
【例5.5】今丈量了某倾斜地面距离D'
=100.00±
0.02m，地面倾斜角度为α=1230'
±
0.5'
，试求地面水平距离D及mD。
水平距离D=D'
cosα=97.63m
dα微分上式dD=dD'
cosα−D'
sinαρ′
2mD=（cosαmD′）2+（D′sinα222m24=3.9117×
10－mD=±
0.02m
即D=97.63±
【例5.6】设用长度为l的卷尺量距，共丈量了n个尺段，已知每尺段量距中误差都为ml，求全长S的中误差mS。
126·
S=l1+l2++ln
222mS=m12+m2++mn=ml2+ml2++ml2=nml2
mS=l
当使用量距的钢尺长度相等，每尺段的量距中误差都为ml，即等精度观测，这时每公里长度的量距中误差mKM也相等。
当对长度为S公里的距离丈
量时，则有
mS=KM（5-16）
【例5.7】水准测量中，视距为75m时在水准尺上读数中误差m读=±
2mm（包括照准误差、气泡居中误差及水准尺刻划误差）。
若以3倍中误差为容许误差，试求普通水准测量观测n站所得高差闭合差的容许误差。
【解】普通水准测量每站测得高差hi=ai－bi（i=1，2，3，…，n），每测站观测高差中误差
为
m==读=±
2.8mm
观测n站所得高差h=h1+h2+…+hn，高差闭合差f=h－h0，h0为已知值（无误差）。
则闭
合差为
mfh=±
以3倍中误差为容
Δ容=±
3×
≈
5.3等精度直接观测量的最可靠值及其中误差
5.3.1算术平均值的原理
对某量进行了n次等精度观测，观测值为l1，l2，…，ln，其算术平均值L为
l+l++ln[l]L=12=（5-17）nn
根据式（5-1），有[l]=[X−Δ]=nX−[Δ]
[l][Δ]则=lim+X=XlimL=limn→∞n→∞nn→∞n
从上式可知，当观测次数n趋向于无穷大时，算术平均值就趋向于未知量的真值。
在实际测量工作中，n是有限的，算术平均值通常作为未知量的最可靠值。
5.3.2似真差及其特性
在上一节中，算术平均值是未知量的最可靠值，算术平均值L与其真值的差称为似真差δ，即[l][l−X][Δ]δ=L−X=−X==nnn
126·
127·
似真差δ就是真误差的算术平均值，依据偶然误差的第（4）个特性，δ趋近于0。
另外可依据偶然误差Δ的特性，推导出如下关系。
222（Δ1Δ2+Δ1Δ3+）[Δ]2[Δ221+Δ2++Δn]+δ=（）=nnn式中Δ1Δ2+Δ1Δ3+为偶然误差乘积的和，它也具有偶然误差的性质，当观测次数无限增大时，上式等号右边第二项趋近于0，则
22[Δ22+Δ++Δ]δ=（5-18）n2
5.3.3算术平均值中误差
微分式（5-17）得
111dl1+dl2++dlnnnn
根据误差传播定律可求得算术平均值中误差M如下。
dL=
121212m2M=m1+m2++mn=nnnn2
M=m
n（5-19）
上式表明，算术平均
值的中误差仅为一次观测值中误差的因此，当观测次数增加时，可提高观测结果的精度。
从图5.3可以看出，当观测次数达到9次左右时，再增加观测次数，算术平均值的精度提高也很微小，因此，不能单纯依靠增加观测次数来提高测量精度，还必须从测量方法
和测量仪器方面来提高测量精度。
图5.3算术平均值中误差与观测次数的关系
5.3.4用改正数计算观测值的中误差
按中误差的定义式计算中误差时，需要知道观测值的真误差Δ，但一般情况下真值x是不知道的，因此也就无法求得观测值的真误差。
那么，如何来评定其观测精度呢？
在实际工作中，通常是用观测值的改正数计算中误差。
计算公式推导如下。
由真误差及改正数的定义可知
128·
Δ1=x−l1
Δ2=x−l2
…
Δn=x−ln
v1=L−l1
v2=L−l2
vn=L−ln
由上两组式子推导得
Δ1=v1+（x−L）
Δ2=v2+（x−L）
Δn=vn+（x−L）取平方和得[ΔΔ]=[vv]+n（x−L）2+2（x−L）[v]
由于[v]=[L−l]=nL−[l]=0，δ=x−L则
[ΔΔ]=[vv]+nδ2
将式（5-18）代入上式得
[ΔΔ][vv][ΔΔ][vv][ΔΔ]==+2，nn−1nnn
[vv]n−1
[vv]nn−1由此推得（5-20）算术平均值中误差为M=±
（5-21）
【例5.8】对某直线丈量了6次，丈量结果如表5-2所示。
求算术平均值、算术平均值中误差及相对中误差。
根据式（5-17）至式（5-21）计算算术平均值、改正数、观测值中误差、算术平均值中误差，其结果均列于表5-2中。
在表5-2中，按步骤计算可求得等精度直接观测值的最可靠值及其中误差。
也可以直接利用计算器的统计功能完成计算。
今以KS-105B计算器为例，操作过程如下。
按2ndon/c键将计算器置于统计状态下“STAT”：
按键显示平均值124.563，按n键显示输入数据个数6，按s键显示标准差即中误差m=6.5。
128·
表5-2等精度直接观测值的最可靠值计算
129·
5.4非等精度直接观测值的最可靠值及其中误差
5.4.1权的概念
对某一未知量进行了非等精度观测，其各次观测值的中误差也不相同，各次观测的结果便具有不同的可靠性。
因此，在求未知量的最可靠值时，就不能像等精度观测那样简单地取算术平均值，因为较可靠的观测值应对最后测量结果产生较大的影响。
最可靠值显然不是算术平均值，那应该怎么求得呢？
显然，较可靠的观测值或精度高的观测值，应对结果产生较大的影响，它所占的“权重”应大一些。
在测量工作中引入“权”的概念。
观测值的精度愈高，即中误差愈小，其权就大；
反之，观测值的精度愈低，即中误差愈大，其权就小。
因此，权与中误差具有密切关系。
5.4.2权与中误差的关系
依据权的概念，权p与中误差m的函数关系为
pi=
μ2
mi2
（i=1,2,,n）
（5-22）
式中μ是不为0的任意常数。
当p=1时，其权为单位权，其中误差称为单位权中误差，一般用m0（或μ）表示。
5.4.3定权的方法
假定对某一未知量进行了两组非等精度观测，但每组内各观
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