三角形和全等三角形Word格式文档下载.docx

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（1）审题，找出命题的题设和结论；

（2）由题意画出图形，具有一般性；

（3）用数学语言写出已知、求证；

（4）分析证明的思路；

（5）写出证明过程，每一步应有根据，要推理严密．

3．反证法

先假设命题中结论的反面成立，推出与已知条件或是定义、定理等相矛盾，从而结论的反面不可能成立，借此证明原命题结论是成立的．这种证明的方法叫做反证法．

考点一、三角形的边角关系

【例1】若某三角形的两边长分别为3和4，则下列长度的线段能作为其第三边的是（　　）

A．1B．5C．7D．9

触类旁通1已知三角形三边长分别为2，x,13，若x为正整数，则这样的三角形个数为（　　）

A．2B．3C．5D．13

考点二、真假命题的判断

【例3】下列命题，正确的是（　　）

A．如果|a|＝|b|，那么a＝bB．等腰梯形的对角线互相垂直

C．顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形D．相等的圆周角所

对的弧相等

触类旁通3已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：

①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；

②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；

③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；

④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.其中为真命题的是__________．（填写所有真命题的序号）

考点三、证明的方法

【例3】如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E.

求证：

（1）△BFC≌△DFC；

（2）AD＝DE.

触类旁通3如图，在△ABC中，AD是中线，分别过点B，C作AD及其延长线的垂线BE，CF，垂足分别为点E，F.求证：

BE＝CF.

考点四全等三角形的概念与性质

1．概念：

能够重合的两个三角形叫做全等三角形．

记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.如右图，△ABC和△DBC全等，点A和点D，点B和点B，点C和点C是对应顶点，记作△ABC≌△DBC．

2．全等三角形的性质

（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；

（2）全等三角形的对应线段（包括角平分线、中线、高线）相等、周长相等、面积相等．

3．常见全等三角形的基本图形

（1）平移全等型

（2）翻折全等型

（3）旋转全等型

考点五全等三角形的判定

1．全等三角形的判定方法

温馨提示：

1．方法2是两边和它们的夹角，如果说“两边及其中一边的对角对应相等”，则不能判定两个三角形全等．

2．三个角对应相等的两个三角形不一定全等．

2．全等三角形的判定思路

说明两个三角形全等时要认真分析已知条件，仔细观察图形，弄清已具备了哪些条件，从中找出已知条件和所要说明的结论的内在联系，从而选择最适当的方法，一般可按下面的思路进行．

考点六角平分线的性质定理及其逆定理）

1．性质定理：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

即如图，∵点P在∠AOB的平分线上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，∴PD＝PE.

2．性质定理的逆定理：

角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．即如上图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，∴OP是∠AOB的平分线．

考点七线段垂直平分线的性质与判定

1．定义：

垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线．

2．性质定理：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．

3．性质定理的逆定理：

与一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

【例1】

（2015·

温州）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．

（1）求证：

AB＝CD；

（2）若AB＝CF，∠B＝30°

，求∠D的度数．

【变式训练】

1、如图，点M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，且BM＝CN，AM交BN于点P.

△ABM≌△BCN；

（2）求∠APN的度数．

2、如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（　　）

A．2对B．3对C．4对D．5对

3、如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（　　）

A．△AFD≌△DCEB．AF=

ADC．AB=AFD．BE=AD﹣DF

4、如图，在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴、y轴上，OA=3，OB=4，连接AB．点P在平面内，若以点P、A、B为顶点的三角形与△AOB全等（点P与点O不重合），则点P的坐标为

【例2】如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝6，则点P到边OB的距离为（）

A．6　B．5　C．4　D．3

1、如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC＝BC，AD＝AO，若∠BAC＝80°

，则∠BCA的度数为．

2、已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F．

△ABF≌△CDE；

（2）如图，若∠1=65°

，求∠B的大小．

【例3】如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．

△AEC≌△ADB；

（2）若AB=2，∠BAC=45°

，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．

【变式练习】

1、已知：

点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．

（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）

（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°

时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？

请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．

2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°

后得CF，连接EF．

（1）补充完成图形；

（2）若EF∥CD，求证：

∠BDC=90°

．

【例3】如图，已知点A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.

（1）从图中任找两组全等三角形；

（2）从

（1）中任选一组进行证明．

1、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连结BD．请添加一个适当的条件，使△ABD≌△CDB（只需写一个）．

2、如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：

，使△AEH≌△CEB．

3、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，连接BE，DF

（1）根据题意，补全原形；

（2）求证：

BE=DF．

4、已知：

如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．

AP=BQ；

（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．

【例4】如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°

，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：

①FD=FE；

②AH=2CD；

③BC•AD=

AE2；

④S△ABC=4S△ADF．其中正确的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

1、如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论正确的个数是（　　）

①AE=BF；

②AE⊥BF；

③sin∠BQP=

；

④S四边形ECFG=2S△BGE．

A．4B．3C．2D．1

2、在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC（或它们的延长线）

于点M，N，设∠AEM=α（0°

＜α＜90°

），给出下列四个结论：

①AM=CN；

②∠AME=∠BNE；

③BN﹣AM=2；

④S△EMN=

上述结论中正确的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

【例5】1、如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°

，AB＝AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立．

（1）当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°

＜θ＜90°

）时，如图2，BD＝CF成立吗？

若成立，请证明；

若不成立，请说明理由．

（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°

时，如图3，延长DB交CF于点H.①求证：

BD⊥CF；

②当AB＝2，AD＝3

时，求线段DH的长．

2、如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．

（1）若固定三根木条AB，BC，AD不动，AB=AD=2cm，BC=5cm，如图，量得第四根木条CD=5cm，判断此时∠B与∠D是否相等，并说明理由．

（2）若固定一根木条AB不动，AB=2cm，量得木条CD=5cm，如果木条AD，BC的长度不变，当点D移到BA的延长线上时，点C也在BA的延长线上；

当点C移到AB的延长线上时，点A、C、D能构成周长为30cm的三角形，求出木条AD，BC的长度．

3、已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°

，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°

（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；

（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：

BE=CF；

（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°

时，求点F到BC的距离．

4、如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60°

后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO，我们称AO为“叠弦”；

再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°

后，交旋转前的图形于点P，连接PO，我们称∠OAB为“叠弦角”，△AOP为“叠弦三角形”．

【探究证明】

（1）请在图1和图2中选择其中一个证明：

“叠弦三角形

”（△AOP）是等边三角形；

（2）如图2，求证：

∠OAB=∠OAE′

【归纳猜想】

（3）图1、图2中的“叠弦角”的度数分别为，；

（4）图n中，“叠弦三角形”等边三角形（填“是”或“不是”）

（5）图n中，“叠弦角”的度数为（用含n的式子表示）

【巩固练习】

1、如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB

AE=CE．

2.如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：

AE=FB．

3.（2016·

重庆市B卷·

7分）如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：

∠B=∠E．

4.（2016·

广西桂林·

3分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°

，AC=BC=3，CD=1，CH⊥BD于H，点O是AB中点，连接OH，则OH=　

　．

5.如图，在▱ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．

△ABE≌△CDF；

（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．

6.如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC.

△ABC≌△DEF；

（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由.

7.已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．

BD=CE；

∠M=∠N．

8.如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E

DE=AB；

（2）以A为圆心，AB长为半径作圆弧交AF于点G，若BF=FC=1，求扇形ABG的面积．（结果保留π）

9、如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD于E，D′C′交CB于点F，连接EF，当四边形EDD′F为菱形时，试探究△A′DE的形状，并判断△A′DE与△EFC′是否全等？

请说明理由．

全等三角形证明方法中辅助线做法

一．截长补短

通过添加辅助线利用截长补短，从而达到改变线段之间的长短，达到构造全等三角形的条件

1．如图1，在△ABC中，∠ABC=60°

，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：

AC=AE+CD．

二．倍长中线（线段）造全等

利用三角形的中位线，在很多题目中我们很能直接找出全等三角形，所以要通过画中位线可以很清楚的构造出来。

2：

如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小

三．作平行线

在遇到角平分线的时，可按照以下两种方式构造平行线，

（1）过三角形的一个顶点作角平分线的平行线与另一边的延长线相交，

（2）过三角形的一个顶点作一边的平行线的角的平行线。

3．如图3，在等腰△ABC中，AB=AC，在AB上截取BD，在AC延长线上截取CE，且使CE=BD．连接DE交BC于F．求证：

DF=EF．

四．补全图形

4．如图4，在△ABC中，AC=BC，∠B=90°

，BD为∠ABC的平分线．若A点到直线BD的距离AD为a，求BE的长．

五、利用角的平分线对称构造全等

5．如图5，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°

．证明：

AD=CD．