物以类聚与合并同类项Word下载.docx
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x÷
=（55+
-x）÷
.
整理计算得，x等于31.5，所以A在遇到B前走了35千米．
以上是牛顿出题我们来解，下面来看看牛顿自己解算的一道题，对我们很有启发．
一个商人每年要花掉100元维持全家生计，然后将自己的剩余的财产增加
．经过3年，商人发现他的财产增加了1倍．问商人最初有多少财产？
牛顿一开始就进行了从日常用语到代数用语的翻译工作．牛顿说：
为了解这个问题，应澄清问题中隐含的所有假定：
于是问题归结为解方程
解得商人最初财产为1480元．
数学故事连载（三）：
诺贝尔为什么没有设数学奖
2011-05-0714:
30:
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诺贝尔奖在全世界有很高的地位，许多科学家梦想着能获得诺贝尔奖．数学被誉为“科学女皇的骑士”，却得不到每年由瑞典科学院颁发的诺贝尔奖，过去没有，将来也不会得到．因为瑞典著名化学家诺贝尔留下的遗嘱中，没有提出设立数学奖．
事实上，遗嘱的第一稿中，曾经提出过要设立这项奖金．为什么以后又取消了呢？
现在流传着两种说法．
第一种是在法国和美国流行的说法．与诺贝尔同时期的瑞典著名数学家米塔格·
勒弗列尔，此人曾是俄国彼得堡科学院外籍院士，后来又是前苏联科学院外籍院上．米塔格·
勒弗列尔曾侵犯过诺贝尔夫人．诺贝尔对他非常厌恶．为了对他所从事的数学研究进行报复，所以不设立数学奖．
第二种是在瑞典本国流行的一种说法．在诺贝尔立遗嘱期间，瑞典最有名望的数学家就是米塔格·
勒弗列尔，诺贝尔很明白，如果设立数学奖，这项奖金在当时必然会授予这位数学家，而诺贝尔很不喜欢他．
数学这样一门重要学科怎么能没有国际奖呢？
第一个提出要改变长期没有国际数学奖状况的是加拿大数学家约翰·
菲尔兹．在他担任国际数学大会组织委员会主席期间，于1932年提出设立数学优秀发现国际奖．当时为了强调这项奖的国际性．决定不以过去任何一个伟大数学家的名字命名．
1932年在苏黎世召开的国际数学大会上，通过了菲尔兹的提议，但菲尔兹本人在大会召开前一个月去世．为纪念他的功绩，大会决定以他的名字命名这项数学奖．与诺贝尔奖不同的是，这项奖每隔四年只授予年龄在40岁以下的数学家，获奖人应该是过去四年内被公认的优秀数学家．
1936年，首次将菲尔兹奖授予芬兰青年数学家阿尔佛尔斯和美国青年数学家道格拉斯．在以后的50年内，获得此项奖的青年数学家共有30人．美藉华裔数学家丘成桐因在微分几何上做出了突出贡献，于1983年获菲尔兹奖．
1982年，又设立了以芬兰著名数学家、芬兰大学校长涅瓦林纳命名的数学奖．这项奖专门授予在信息论方面取得优秀成果的青年数学家，已颁发了两次，都由美国数学家获得．
从牛顿解方程中，我们可以看到他是怎样一步一步把一个比较困难的问题，分步译成代数式，最后列出方程来的．
数学故事连载
（二）：
部分数学符号的来历
28:
41|
数学运算中经常使用符号，如＋，－，×
，÷
，＝，＞，＜，∽，（），
等，你知道它们都是谁首先使用，何时被人们所公认的吗？
加减号“＋”，“－”，1489年德国数学家魏德曼在他的著作中首先使用了这两个符号，但正式为大家公认是从1514年荷兰数学家荷伊克开始．
乘号“×
”，英国数学家奥屈特于1631年提出用“×
”表示相乘．另一乘号“·
”是数学家赫锐奥特首创的．
除号“÷
”，最初这个符号是作为减号在欧洲大陆流行，奥屈特用“:
”表示除或比．也有人用分数线表示比，后来有人把二者结合起来就变成了“÷
”．瑞士的数学家拉哈的著作中正式把“÷
”作为除号．
等号“＝”，最初是1540年由英国牛津大学教授瑞柯德开始使用．1591年法国数学家韦达在其著作中大量使用后，才逐渐为人们所接受．十七世纪微积分创始人莱布尼兹广泛使用了这个符号，从此人们普遍使用．
大于号和小于号“＞”“＜”，1631年为英国数学家赫锐奥特创用．相似号“∽”和全等号“≌”是数学家莱布尼兹创用．
括号“（）”，1591年法国数学家韦达开始使用括线，1629年格洛德开始使用括号．
平方根号“
”，1220年意大利数学家菲波那契使用Ｒ作为平方根号．十七世纪法国数学家笛卡儿在他的《几何学》一书中第一次用“
”表示根号．“
”是由拉丁文root（方根）的第一个字母“ｒ”变来，上面的短线是括线，相当于括号．
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（一）变声巧克力（上）
森林里宝鸭哥正在开个人演唱会，他的歌声真好听，全场都欢呼起来“宝鸭哥……宝鸭哥……宝鸭哥……”，有的还举起牌子“最爱宝鸭哥”．贝贝羊捧着花束听晕倒了，乐乐羊在干什么？
她正在做白日梦呢，想着自己也有宝鸭哥的歌喉，歌迷们争着给她送礼物，大家举着牌子“乐乐羊我爱你”，她情不自禁地唱了起来，耳边马上传来“太难听了……”，有的扔来了狗屎，动物们都跑完了，急得乐乐羊大哭起来．她向村长求助，村长有三块变声巧克力，乐乐羊哭呀闹呀求村长给她变声巧克力，村长想了个法子，说：
“要想得到变声巧克力，就得帮我做个题目．”为了得到变声巧克力，乐乐羊也只有搏一回．
村长说：
“题目是这样的，我们羊村有一辆手拉车，那可是祖传的，已使用17次，预计每天使用3次．经过多少天这辆手拉车的使用次数达到规定的检修次数200次？
至少要用两种方法解．”
乐乐羊用前爪夹着根树枝在沙地上比划：
“如果设经过x天这辆手拉车的使用次数达到规定的检修次数，根据预计每天再使用3次，那么x天使用
次，加上已使用的17次，等于200，可列出方程17+3x=200．”
村长摸摸下巴的胡子，点点头道：
“还要一种解法，你能解不？
解不出来就别想得到变声巧克力．”
“还要一种方法？
有了，设法一样，方程是3x=200-17．”乐乐羊说道．
“这个不算．”
乐乐羊这下急死了，这一急就想上厕所来，苦着脸道：
“村长，我要上厕所．”
村长皱皱眉头，心想：
这个乐乐羊一定又甩什么赖皮了，随口说：
“早去早回，别忘了你想要的变声巧克力．”
乐乐羊一溜烟儿跑了，边跑边想，我还是去找欢欢羊帮忙吧，羊村最聪明的要算她了．乐乐羊很快地找到了欢欢羊，欢欢羊告诉她用算术法解，并且给她做一遍，乐乐羊乐颠颠地向村长要变声巧克力去了．
（二）变声巧克力（下）
上回说到乐乐羊知道了第二种解法，向村长要巧克力，村长给了她两块巧克力，还留有一块自己用．村长告诉乐乐羊使用巧克力的方法：
“你吃下一半之后，如果把另一半给别的动物吃下，你们的声音就能交换了．”乐乐羊听了高兴地说：
“太好了！
谢谢村长！
”说着马上打开吃了一半，村长看了直冒汗．
乐乐羊急匆匆地朝演唱会现场跑去，大家正与宝鸭哥合影留念．宝鸭哥以为乐乐羊要和他合影，问道：
“这位歌迷，你要合影吗？
”乐乐羊气喘吁吁地说：
“宝鸭哥先生，送你一块很好吃的巧克力．”忽然一个声音传来：
“宝鸭哥，吃我的大巧克力吧．”兔子扛来一块大巧克力，随手把乐乐羊的小巧克力扔了，恰巧扔在青蛙哥的叉子上，青蛙哥正要吃，“死青蛙，我的巧克力！
”乐乐羊大声喊道，但没把青蛙哥给吓住，啊呜，一口吃了．这样乐乐羊的声音就变成青蛙哥的声音，而青蛙哥的声音变成了乐乐羊的声音，急得乐乐羊只会哭，不会说话了．乐乐羊哭着来找村长，村长不在，桌子上留着一张纸条，纸条上写着：
要吃变声巧克力，先得解决下面的问题．
问题：
新学期就要开始了，羊村学校教务主任想制订一个学习奖励方案，把28包青草按照两种奖项奖给22只羊，其中获得一等奖的每只羊4包青草，获得二等奖的每只羊1包青草．请问获得二等奖的羊有多少只？
这可怎么做呀？
乐乐羊想，按理说两种奖项奖给22只羊，两种奖项共22项，如果设要求获得二等奖的有x只羊，那么获一等奖的羊有（22-x）只．所有获二等奖的羊共得到x包青草，所有获一等奖的羊共得到4（22-x）=88-4x包青草，两种奖项共28包青草．可列方程为
x+88-4x=28，
方程左边化简得88-3x=28，
方程两边都减去28，得88-3x-28=28-28，
方程两边化简得60-3x=0,
化简得60=3x
方程两边都除以3，得x=20
所以获得二等奖的羊有20只．
算到这里乐乐羊心想，就我现在的名次，离一等奖还差点，要是我考得比贝贝羊好就可得一等奖了．聪明的你，猜猜乐乐羊是全班第几名？
乐乐羊又一次拿到了变声巧克力，变声有望啦！
（三）肥羊有几只
一天6只狼仔跟着狼妈妈正在找食物．他们来到一个小山头，四处观察，发现草原上有好多羊．“好肥的羊啊！
够咱们吃几辈子了……”狼妈妈不由自主地说出声来．狼妈妈想考一考哪只狼仔最聪明．狼妈妈观察后对狼仔们说：
“这里的羊共有780只，分成A、B、C三群，A羊群羊的只数是B羊群的2倍，C羊群羊的只数又是A羊群的5倍，试问A羊群有几只羊？
谁先算出，且算法最简便，妈妈就教他如何捉羊．你们可以合作完成．”狼妈妈想培养狼仔们团结合作精神呀，团结力量大呀．
这下忙坏了狼仔们，都争先恐后地开始动脑筋想办法来算出A羊群的羊的只数．其中甲、乙两只狼仔正合作着解这个题目，他们走到一边，一起商量解法．狼仔甲说：
“如果设A羊群有x只羊，那么根据A羊群羊的只数是B羊群的2倍，可得B羊群有
只羊．根据C羊群羊的只数又是A羊群的5倍，可得C羊群有5x只羊．”狼仔乙眼睛一闪，忽然有了主意，说：
“这样根据三群羊的总只数是780只，可得方程
．我们一起来解这个方程．”于是，他们把方程左边合并同类项得，6.5x=780．方程两边都除以6.5得x=120．他们俩高高兴兴地去向妈妈汇报了．
甲、乙两只儿狼仔商量的同时，另一边也有两只狼姐妹一起解着呢．看看她们又是怎么解的吧．姐姐认为：
设B羊群有x只羊，根据A羊群羊的只数是B羊群的2倍，有A羊群的只数是2x．再根据C羊群羊的只数又是A羊群的5倍，可得C羊群的羊的只数是10x，可列出方程为2x+x+10x=780．妹妹接着解姐姐列出的方程，左边合并同类项得13x=780，方程两边都除以13得x=60．因此，A羊群羊的只数是120．
剩下的两只狼仔也团结起来，他们的算法与前面的两种都不同．他们是这么想的：
既然A羊群羊的只数是B羊群的2倍，C羊群羊的只数又是A羊群的5倍，就有C羊群羊的只数是B羊群的10倍，A与C两群羊的只数一共相当于B羊群的12倍，三群羊共相当于B羊群的13倍，780除以13等于60，得到B羊群的羊的只数是60，所以A羊群的羊的只数是120．
聪明的你，假如你来当狼妈妈，你来评一评，哪两只狼仔的算法最简便．
（四）羊毛织成羊毛衫
夏天到了，天气慢慢热起来，稍稍运动一下，羊仔便满身是汗．羊妈妈为羊仔剪起了羊毛，然后把羊毛送到加工厂做成羊毛衫．而实际上“羊毛衫”现在已成为一类产品的代名词，即用来泛指“针织毛衫”或称“毛针织品”．毛针织品指主要是用是以羊毛、羊绒、兔毛等动物毛纤维为主要原料纺成纱线后织成的织物，诸如兔毛衫、雪兰毛衫、羊仔毛衫等．如果一件羊毛衫标价132元，若以9折降价出售，仍可获利10%，则这件羊毛衫的进价是多少元？
聪明的灵灵羊开始想：
利润问题的主要数量关系是“利润＝售价－进价”，因此只需理解题目中数量是对应的哪个量，结合9折的含义是原价的90%，代入数量关系式进行计算即可．于是她写下如下解法：
解：
设这件羊毛衫的进价为x元，
由题可得
132╳90%-x=10%x,
解得x=108.
答：
这件羊毛衫的进价为
元．
若熊爸爸想赚得2件羊毛衫的成本，至少需要在原价基础上卖多少件羊毛衫？
请你来算一算．
参考答案：
９件．
（五）开渠泄水
确保健康
梅雨季节，草原由于过于潮湿，草开始烂根，这可是羊村的命根呀．自从进入梅雨季节后，草原的草一直是湿漉漉的，羊仔们吃了湿草会拉肚子进而脱水生病．这可急死了羊村村长，想改善羊村的生活条件，准备给羊村修建地下渠道．初步计划挖掘一条长650米的地下渠道，羊村村长请甲、乙两地鼠兄弟完成．甲，乙两只地鼠从两头相向施工．甲地鼠每天挖掘48米，乙地鼠每天比甲地鼠多挖掘22米，而乙地鼠比甲地鼠晚开工1天．问：
乙地鼠挖了多少天，两只地鼠完成挖掘任务的80%？
羊村村长请羊村的总务主任算一算，以便给工钱．
总务主任想，如果设乙地鼠挖了
天，乙地鼠每天比甲地鼠多挖掘22米，则他每天挖70米，经x天，乙地鼠共挖了
米．甲地鼠每天挖掘48米，由于他早开工一天，实际挖了（x+1）天，共挖了48（x+1）．兄弟俩共挖了650米，根据总量等于部分和可列方程．
设乙地鼠挖了x天，两只地鼠完成挖掘任务的80%，则甲地鼠开工（x+1）天．
由题可得48（x+1）+（48+22）x=650╳80%，
解得118x=472，
x=4．
设乙地鼠开工
天，两只地鼠完成挖掘任务的80%．
最终两只地鼠如期完工，羊村的草原又恢复正常，羊村为此举行了渠道竣工晚会．
（六）不足与盈余
正遇上羊村收获季节，羊村收割了草以备过冬用．羊仔们去领草，如果每只羊仔得到6捆草，那么有11捆草多余；
如果每只羊仔要得到9捆草，那么还需要16捆草．求有多少只羊仔去取草？
一共有多少捆草？
《九章算术》有这样的记载：
“置所出率，盈、不足各居其下．令维乘所出率，并以为实．并盈、不足为法．实如法而一．有分者，通之．盈不足相与同其买物者，置所出率，以少减多，余以约法、实．实为物价，法为人数．”
把这段话列算式表如下：
现在用列一元一次方程组解，解法如下：
题中包含两个等量关系，草的总捆数＝羊仔数×
6+11，草的总捆数＝羊仔数×
9－16，利用这两个等量关系，可列出方程，解这个方程即可．
设羊仔数为x．
则可列方程6x+11=9x-16，
解方程得x=9，
所以一共有6╳9+11=65捆草．
数学故事连载（六）：
第一次数学危机
33:
56|
在国外，最早给出这一定理证明的是古希腊的毕达哥拉斯。
毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。
他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：
毕达哥拉斯学派。
由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。
而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。
然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。
毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：
边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？
他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。
希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数
的诞生。
小小
的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。
它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。
实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。
对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。
这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：
任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。
这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！
可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了！
这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！
它简直把以前所知道的事情根本推翻了。
更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。
这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
二百年后，大约在公元前370年，才华横溢的欧多克索斯建立起一套完整的比例论。
他本人的著作已失传，他的成果被保存在欧几里德《几何原本》一书第五篇中。
欧多克索斯的巧妙方法可以避开无理数这一“逻辑上的丑闻”，并保留住与之相关的一些结论，从而解决了由无理数出现而引起的数学危机。
但欧多克索斯的解决方式，是借助几何方法，通过避免直接出现无理数而实现的。
这就生硬地把数和量肢解开来。
在这种解决方案下，对无理数的使用只有在几何中是允许的，合法的，在代数中就是非法的，不合逻辑的。
或者说无理数只被当作是附在几何量上的单纯符号，而不被当作真正的数。
一直到18世纪，当数学家证明了基本常数如圆周率是无理数时，拥护无理数存在的人才多起来。
到十九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建立起来后，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学园地中才真正扎下了根。
无理数在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。
第二次数学危机
十七、十八世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为第二次数学危机。
从历史或逻辑的观点来看，它的发生也带有必然性。
这次危机的萌芽出现在大约公元前450年，芝诺注意到由于对无限性的理解问题而产生的矛盾，提出了关于时空的有限与无限的四个悖论：
“两分法”：
向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点，然而要经过这点，又必须先经过路程的1/4点……，如此类推以至无穷。
——结论是：
无穷是不可穷尽的过程，运动是不可能的。
“阿基里斯（《荷马史诗》中的善跑的英雄）追不上乌龟”：
阿基里斯总是首先必须到达乌龟的出发点，因而乌龟必定总是跑在前头。
这个论点同两分法悖论一样，所不同的是不必把所需通过的路程一再平分。
“飞矢不动”：
意思是箭在运动过程中的任一瞬时间必在一确定位置上，因而是静止的，所以箭就不能处于运动状态。
“操场或游行队伍”：
A、B两件物体以等速向相反方向运动。
从静止的c来看，比如说A、B都在1小时内移动了2公里，可是从A看来，则B在1小时内就移动了4公里。
运动是矛盾的，所以运动是不可能的。
芝诺揭示的矛盾是深刻而复杂的。
前两个悖论诘难了关于时间和空间无限可分，因而运动是连续的观点，后两个悖论诘难了时间和空间不能无限可分，因而运动是间断的观点。
芝诺悖论的提出可能有更深刻的背景，不一定是专门针对数学的，但是它们在数学王国中却掀起了一场轩然大被。
它们说明了希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小”的矛盾，但他们无法解决这些矛盾。
其后果是，希腊几何证明中从此就排除了无穷小。
经过许多人多年的努力，终于在17世纪晚期，形成了无穷小演算——微积分这门学科。
牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者，他们的功绩主要在于：
把各种有关问题的解法统一成微分法和积分法；
有明确的计算步骤；
微分法和积分法互为逆运算。
由于运算的完整性和应用的广泛性，微积分成为当时解决问题的重要工具。
同时，关于微积分基础的问题也越来越严重。
关键问题就是无穷小量究竞是不是零？
无穷小及其分析是否合理？
由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成了第二次数学危机。
无穷小量究竟是不是零？
两种答案都会导致矛盾。
牛顿对它曾作过三种不同解释：
1669年说它是一种常量；
1671年又说它是一个趋于零的变量；
1676年它被“两个正在消逝的量的最终比”所代替。
但是，他始终无法解决上述矛盾。
莱布尼兹曾试图用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小量，但是他也没有找到从有限量过渡到无穷小量的桥梁。
英国大主教贝克莱于1734年写文章，攻击流数（导数）“是消失了的量的鬼魂……能消化得了二阶、三阶流数的人，是不会因吞食了神学论点就呕吐的。
”他说，用忽略高阶无穷小而消除了原有的错误，“是依靠双重的错误得到了虽然不科学却是正确的结果”。
贝克莱虽然也抓住了当时微积分、无穷小方法中一些不清楚不合逻辑的问题，不过他是出自对科学的厌恶和对宗教的维护，而不是出自对科学的追求和探索。
当时一些数学家和其他学者，也批判过微积分的一些问题，指出其缺乏必要的逻辑基础。
例如，罗尔曾说：
“微积分是巧妙的谬论的汇集。
”在那个勇于创造时代的初期，科学中逻辑上存在这样那样的问题，并不是个别现象。
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