高考数学理科一轮复习直线圆的位置关系学案有答案Word下载.docx

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[&

xA＋xB&

2－4xAxB]

说明：

圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．

4．圆与圆的位置关系

（1）圆与圆的位置关系可分为五种：

________、________、________、________、________

判断圆与圆的位置关系常用方法：

（几何法）设两圆圆心分别为1、2，半径为r1、r2（r1≠r2），则|12|&

r1＋r2________；

|12|＝r1＋r2______；

|r1－r2|&

|12|&

|12|＝|r1－r2|________；

0≤|12|&

|r1－r2|________．

（2）已知两圆x2＋2＋D1x＋E1＋F1＝0和x2＋2＋D2x＋E2＋F2＝0相交，则与两圆共交点的圆系方程为________________________________________________________________，其中λ为λ≠－1的任意常数，因此圆系不包括第二个圆．

当λ＝－1时，为两圆公共弦所在的直线，方程为（D1－D2）x＋（E1－E2）＋（F1－F2）＝0

自我检测

1．（2010&

#8226;

江西）直线＝x＋3与圆（x－3）2＋（－2）2＝4相交于，N两点，若|N|≥23，则的取值范围是（　　）

A－34，0

B－∞，－34∪0，＋∞

－33，33

D－23，0

2．圆x2＋2－4x＝0在点P（1，3）处的切线方程为（　　）

A．x＋3－2＝0B．x＋3－4＝0

．x－3＋4＝0D．x－3＋2＝0

3．（2011&

宁夏调研）圆1：

x2＋2＋2x＋2－2＝0与圆2：

x2＋2－4x－2＋1＝0的公切线有且仅有（　　）

A．1条B．2条

．3条D．4条

4．过点（0,1）的直线与x2＋2＝4相交于A、B两点，则|AB|的最小值为（　　）

A．2B．23．3D．2

．（2011&

聊城月考）直线＝x＋1与圆x2＋2＝1的位置关系是（　　）

A．相切B．相交但直线不过圆心

．直线过圆心D．相离探究点一　直线与圆的位置关系

例1　已知圆：

x2＋2＋2x－4＋3＝0

（1）若圆的切线在x轴和轴上的截距相等，求此切线的方程；

（2）从圆外一点P（x1，1）向该圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且有|P|＝|P|，求使得|P|取得最小值时点P的坐标．

变式迁移1　从圆：

（x－1）2＋（－1）2＝1外一点P（2,3）向该圆引切线，求切线的方程及过两切点的直线方程．

探究点二　圆的弦长、中点弦问题

例2　（2011&

汉沽模拟）已知点P（0,）及圆：

x2＋2＋4x－12＋24＝0

（1）若直线l过点P且被圆截得的线段长为43，求l的方程；

（2）求过P点的圆的弦的中点的轨迹方程．

变式迁移2　已知圆：

x2＋2－6x－8＋21＝0和直线x－－4＋3＝0

（1）证明：

不论取何值，直线和圆总有两个不同交点；

（2）求当取什么值时，直线被圆截得的弦最短，并求这条最短弦的长．

探究点三　圆与圆的位置关系

例3　已知圆1：

x2＋2－2x＋4＋2－＝0，圆2：

x2＋2＋2x－2＋2－3＝0，为何值时，

（1）圆1与圆2相外切；

（2）圆1与圆2内含．

变式迁移3　已知⊙A：

x2＋2＋2x＋2－2＝0，⊙B：

x2＋2－2ax－2b＋a2－1＝0当a，b变化时，若⊙B始终平分⊙A的周长，求：

（1）⊙B的圆心B的轨迹方程；

（2）⊙B的半径最小时圆的方程．

探究点四　综合应用

例4　已知圆：

x2＋2－2x＋4－4＝0问在圆上是否存在两点A、B关于直线＝x－1对称，且以AB为直径的圆经过原点？

若存在，写出直线AB的方程；

若不存在，说明理由．

变式迁移4　已知过点A（0,1）且斜率为的直线l与圆：

（x－2）2＋（－3）2＝1相交于、N两点．

（1）求实数的取值范围；

（2）若为坐标原点，且→&

N→＝12，求的值．1．求切线方程时，若知道切点，可直接利用公式；

若过圆外一点求切线，一般运用圆心到直线的距离等于半径求，但注意有两条．

2．解决与弦长有关的问题时，注意运用由半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形，也可以运用弦长公式．这就是通常所说的“几何法”和“代数法”．

3．判断两圆的位置关系，从圆心距和两圆半径的关系入手．（满分：

7分）

一、选择题（每小题分，共2分）

1．直线l：

－1＝（x－1）和圆x2＋2－2＝0的位置关系是（　　）

A．相离B．相切或相交

．相交D．相切

2．（2011&

珠海模拟）直线3x－＋＝0与圆x2＋2－2x－2＝0相切，则实数等于（　　）

A3或－3B．－3或33

．－33或3D．－33或33

3．过原点且倾斜角为60°

的直线被圆x2＋2－4＝0所截得的弦长为（　　）

A3B．2

6D．23

4．若圆（x－3）2＋（＋）2＝r2上有且仅有两个点到直线4x－3－2＝0的距离为1，则半径r的取值范围是（　　）

A．（4,6）B．[4,6）

．（4,6]D．[4,6]

．（2010&

全国Ⅰ）已知圆的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么PA→&

PB→的最小值为（　　）

A．－4＋2B．－3＋2

．－4＋22D．－3＋22

二、填空题（每小题4分，共12分）

6．若圆x2＋2＝4与圆x2＋2＋2a－6＝0（a&

0）的公共弦的长为23，则a＝________

7．（2011&

三明模拟）已知点A是圆：

x2＋2＋ax＋4－＝0上任意一点，A点关于直线x＋2－1＝0的对称点也在圆上，则实数a＝________

8．（2011&

杭州高三调研）设直线3x＋4－＝0与圆1：

x2＋2＝4交于A，B两点，若圆2的圆心在线段AB上，且圆2与圆1相切，切点在圆1的劣弧上，则圆2的半径的最大值是________．

三、解答题（共38分）

9．（12分）圆x2＋2＝8内一点P（－1,2），过点P的直线l的倾斜角为α，直线l交圆于A、B两点．

（1）当α＝3π4时，求AB的长；

（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．

10．（12分）（2011&

湛江模拟）自点A（－3,3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋2－4x－4＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程．

11．（14分）已知两圆x2＋2－2x－6－1＝0和x2＋2－10x－12＋＝0求：

（1）取何值时两圆外切？

（2）取何值时两圆内切？

（3）＝4时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．

学案0　直线、圆的位置关系

自主梳理

1．相切　相交　相离　

（1）相交　相切　相离　

（2）相交　相切　相离　2x0x＋0＝r2　（x0－a）（x－a）＋（0－b）（－b）＝r2　4

（1）相离　外切　相交　内切　内含　相离　外切　相交　内切　内含　

（2）（x2＋2＋D1x＋E1＋F1）＋λ（x2＋2＋D2x＋E2＋F2）＝0

自我检测

1．A　2D　3B　4B　B

堂活动区

例1　解题导引　

（1）过点P作圆的切线有三种类型：

当P在圆外时，有2条切线；

当P在圆上时，有1条切线；

当P在圆内时，不存在．

（2）利用待定系数法设圆的切线方程时，一定要注意直线方程的存在性，有时要进行恰当分类．

（3）切线长的求法：

过圆外一点P作圆的切线，切点为，半径为R，

则|P|＝|P|2－R2

解　

（1）将圆配方得（x＋1）2＋（－2）2＝2

①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为＝x，

由|＋2|1＋2＝2，解得＝2±

6，得＝（2±

6）x

②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，

设直线方程为x＋－a＝0，

由|－1＋2－a|2＝2，

得|a－1|＝2，即a＝－1，或a＝3

∴直线方程为x＋＋1＝0，或x＋－3＝0

综上，圆的切线方程为＝（2＋6）x，或＝（2－6）x，

或x＋＋1＝0，或x＋－3＝0

（2）由|P|＝|P|，

得x21＋21＝（x1＋1）2＋（1－2）2－2，

整理得2x1－41＋3＝0

即点P在直线l：

2x－4＋3＝0上．

当|P|取最小值时，即P取得最小值，直线P⊥l，

∴直线P的方程为2x＋＝0

解方程组2x＋＝0，2x－4＋3＝0，得点P的坐标为－310，3

变式迁移1　解　设圆切线方程为－3＝（x－2），

即x－＋3－2＝0，∴1＝|＋2－2|2＋1，

∴＝34，另一条斜率不存在，方程为x＝2

∴切线方程为x＝2和3x－4＋6＝0

圆心为（1,1），∴P＝3－12－1＝2，

∴过两切点的直线斜率为－12，又x＝2与圆交于（2,1），

∴过切点的直线为x＋2－4＝0

例2　解题导引　

（1）有关圆的弦长的求法：

已知直线的斜率为，直线与圆相交于A（x1，1），B（x2，2）两点，点到l的距离为d，圆的半径为r

方法一　代数法：

弦长|AB|＝1＋2|x2－x1|

＝1＋2&

&

x1＋x2&

2－4x1x2；

方法二　几何法：

弦长|AB|＝2r2－d2

（2）有关弦的中点问题：

圆心与弦的中点连线和已知直线垂直，利用这条性质可确定某些等量关系．

解　

（1）方法一　如图所示，|AB|＝43，取AB的中点D，连接D，则D⊥AB，连接A、B，

则|AD|＝23，|A|＝4，

在Rt△AD中，可得|D|＝2

当直线l的斜率存在时，设所求直线的斜率为，则直线的方程为－＝x，即x－＋＝0

由点到直线AB的距离公式，得|－2－6＋|2＋&

－1&

2＝2，

解得＝34

当＝34时，直线l的方程为3x－4＋20＝0

又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0

∴所求直线的方程为3x－4＋20＝0或x＝0

方法二　当直线l的斜率存在时，

设所求直线的斜率为，

则直线的方程为－＝x，即＝x＋

联立直线与圆的方程＝x＋，x2＋2＋4x－12＋24＝0，

消去，得（1＋2）x2＋（4－2）x－11＝0①

设方程①的两根为x1，x2，

由根与系数的关系，得x1＋x2＝2－41＋2，x1x2＝－111＋2②

由弦长公式，得1＋2|x1－x2|

2－4x1x2]＝43

将②式代入，解得＝34，

此时直线方程为3x－4＋20＝0

又不存在时也满足题意，此时直线方程为x＝0

∴所求直线的方程为x＝0或3x－4＋20＝0

（2）设过P点的圆的弦的中点为D（x，），

则D⊥PD，即D→&

PD→＝0，

（x＋2，－6）&

（x，－）＝0，

化简得所求轨迹方程为x2＋2＋2x－11＋30＝0

变式迁移2　

（1）证明　由x－－4＋3＝0，

得（x－4）－＋3＝0

∴直线x－－4＋3＝0过定点P（4,3）．

由x2＋2－6x－8＋21＝0，

即（x－3）2＋（－4）2＝4，

又（4－3）2＋（3－4）2＝2&

4

∴直线和圆总有两个不同的交点．

（2）解　P＝3－44－3＝－1

可以证明与P垂直的直线被圆所截得的弦AB最短，因此过P点斜率为1的直线即为所求，其方程为－3＝x－4，即x－－1＝0|P|＝|3－4－1|2＝2，

∴|AB|＝2|A|2－|P|2＝22

例3　解题导引　圆和圆的位置关系，从交点个数也就是方程组解的个数判断，有时得不到确切的结论，通常还是从圆心距d与两圆半径和、差的关系入手．

解　对于圆1与圆2的方程，经配方后

1：

（x－）2＋（＋2）2＝9；

2：

（x＋1）2＋（－）2＝4

（1）如果1与2外切，

则有&

＋1&

2＋&

－2－&

2＝3＋2

（＋1）2＋（＋2）2＝2

2＋3－10＝0，解得＝－或＝2

（2）如果1与2内含，

＋2&

2&

3－2

（＋1）2＋（＋2）2&

1，2＋3＋2&

0，

得－2&

－1，

∴当＝－或＝2时，圆1与圆2外切；

当－2&

－1时，圆1与圆2内含．

变式迁移3　解　

（1）两圆方程相减得公共弦方程

2（a＋1）x＋2（b＋1）－a2－1＝0①

依题意，公共弦应为⊙A的直径，

将（－1，－1）代入①得a2＋2a＋2b＋＝0②

设圆B的圆心为（x，），∵x＝a＝b，

∴其轨迹方程为x2＋2x＋2＋＝0

（2）⊙B方程可化为（x－a）2＋（－b）2＝1＋b2

由②得b＝－12[（a＋1）2＋4]≤－2，

∴b2≥4，b2＋1≥当a＝－1，b＝－2时，⊙B半径最小，

∴⊙B方程为（x＋1）2＋（＋2）2＝

例4　解题导引　这是一道探索存在性问题，应先假设存在圆上两点关于直线对称，由垂径定理可知圆心应在直线上，以AB为直径的圆经过原点，应联想直径所对的圆周角为直角利用斜率或向量解决．因此能否将问题合理地转换是解题的关键．

解　圆的方程可化为（x－1）2＋（＋2）2＝9，

圆心为（1，－2）．

假设在圆上存在两点A、B，则圆心（1，－2）在直线＝x－1上，即＝－1

于是可知，AB＝1

设lAB：

＝x＋b，代入圆的方程，

整理得2x2＋2（b＋1）x＋b2＋4b－4＝0，Δ＝4（b＋1）2－8（b2＋4b－4）&

0，b2＋6b－9&

解得－3－32&

b&

－3＋32

设A（x1，1），B（x2，2），

则x1＋x2＝－b－1，x1x2＝12b2＋2b－2

由A⊥B，知x1x2＋12＝0，

也就是x1x2＋（x1＋b）（x2＋b）＝0，

∴2x1x2＋b（x1＋x2）＋b2＝0，

∴b2＋4b－4－b2－b＋b2＝0，化简得b2＋3b－4＝0，

解得b＝－4或b＝1，均满足Δ&

即直线AB的方程为x－－4＝0，或x－＋1＝0

变式迁移4　解　

（1）方法一　∵直线l过点A（0,1）且斜率为，

∴直线l的方程为＝x＋1

将其代入圆：

（x－2）2＋（－3）2＝1，

得（1＋2）x2－4（1＋）x＋7＝0①

由题意：

Δ＝[－4（1＋）]2－4×

（1＋2）×

7&

得4－73&

4＋73

方法二　同方法一得直线方程为＝x＋1，

即x－＋1＝0

又圆心到直线距离d＝|2－3＋1|2＋1＝|2－2|2＋1，

∴d＝|2－2|2＋1&

1，解得4－73&

（2）设（x1，1），N（x2，2），则由①得x1＋x2＝4＋41＋2x1x2＝71＋2，

∴→&

N→＝x1x2＋12＝（1＋2）x1x2＋（x1＋x2）＋1

＝4&

1＋&

1＋2＋8＝12&

#868;

＝1（经检验符合题意），∴＝1

后练习区

1．　2　3D　4A　D

6．1　7－10　81

9．解　

（1）当α＝3π4时，AB＝－1，

直线AB的方程为－2＝－（x＋1），即x＋－1＝0（3分）

故圆心（0,0）到AB的距离d＝|0＋0－1|2＝22，

从而弦长|AB|＝28－12＝30（6分）

（2）设A（x1，1），B（x2，2），

则x1＋x2＝－2，1＋2＝4由x21＋21＝8，x22＋22＝8，

两式相减得（x1＋x2）（x1－x2）＋（1＋2）（1－2）＝0，

即－2（x1－x2）＋4（1－2）＝0，

∴AB＝1－2x1－x2＝12（10分）

∴直线l的方程为－2＝12（x＋1），

即x－2＋＝0（12分）

10解　已知圆：

x2＋2－4x－4＋7＝0关于x轴对称的圆为1：

（x－2）2＋（＋2）2＝1，其圆心1的坐标为（2，－2），半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆1相切．（4分）

设l的方程为－3＝（x＋3），则

|＋2＋3|12＋2＝1，（8分）

即122＋2＋12＝0∴1＝－43，2＝－34

则l的方程为4x＋3＋3＝0或3x＋4－3＝0

（12分）

11．解　两圆的标准方程分别为

（x－1）2＋（－3）2＝11，（x－）2＋（－6）2＝61－，

圆心分别为（1,3），N（,6），

半径分别为11和61－

（1）当两圆外切时，&

6－3&

2＝11＋61－

解得＝2＋1011（4分）

（2）当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心间距离，故只有61－－11＝

解得＝2－1011（8分）

（3）两圆的公共弦所在直线的方程为

（x2＋2－2x－6－1）－（x2＋2－10x－12＋4）＝0，

即4x＋3－23＝0（12分）

由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为

2×

&

11&

2－|4＋3×

3－23|42＋322＝27（14分）