九年级二次函数代几综合一教师版.docx
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九年级二次函数代几综合一教师版
二次函数代几综合
（一）
1.（粮道街中学12月月考）已知二次函数y＝x2＋bx－3（b为常数）的图象经过点A（－1，0）
（1）若直线y＝3x＋n与该抛物线交于点A和点B，求点B的坐标
（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为Q
①当点Q落在该抛物线上时，求m的值
②当点Q落在第二象限内，QA的平方取得最小值时，求m的值
二次函数代几综合问题考察的分类大致有：
线段问题、角度问题、面积问题、特殊图形存在性问题（较少出现）。
中考的压轴题都是二次函数的代几综合，需要引起重视！
知识点一（线段问题）
【知识梳理】
1、二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：
一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.
图象与轴的交点个数：
①当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．.
②当时，图象与轴只有一个交点；
③当时，图象与轴没有交点.
当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
2、抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；
3、二次函数与不等式
解不等式步骤：
（1）检验二次项系数是否为正；
（2）判断一元二次方程的判别式是否>0,<0,=0；（3）解出一元二次方程的根；（4）写出一元二次不等式的解集
当时，不等式或，也可以用二次函数图象来求解。
【例题精讲】
1.（元调24题）如图，抛物线y＝（x＋m）2＋m，与直线y＝－x相交于E、C两点（点E在点C的左边），抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边）．△ABC的外接圆⊙H与直线y＝－x相交于点D。
（1）若抛物线与y轴的交点坐标为（0，2），求m的值；
（2）求证：
⊙H与直线y＝1相切；
（3）若DE＝2EC，求⊙H的半径。
2.（2017元调24题）已知抛物线y＝x2＋mx－2m－2与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C。
（1）当m＝1时，求点A和点B的坐标；
（2）抛物线上有一点D（－1，n），若△ACD的面积为5，求m的值；
（3）P为抛物线上A、B之间一点（不包括A、B），PM⊥x轴于点M，求的值。
3.（2018元调）已知抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，一次函数y＝kx＋b的图象l经过抛物线上的点C（m，n）。
（1）求抛物线的解析式；
（2）若m＝3，直线l与抛物线只有一个公共点，求k的值；
（3）若k＝－2m＋2，直线l与抛物线的对称轴相交于点D，点P在对称轴上．当PD＝PC时，求点P的坐标。
【课堂练习】
1.（2018新观察元调交流卷一）已知抛物线y＝x2
（1）在抛物线上有一点A（1，1），过点A的直线l与抛物线只有一个公共点，直接写出直线l的解析式
（2）如图，抛物线有两点F、G，连接FG交y轴于M，过G作x轴的垂线，垂足为H，连接HM、OF，求证：
OF∥MH
（3）将抛物线y＝x2沿直线移动，新抛物线的顶点C，与直线的另一个交点为B，与y轴的交点为D，作直线x＝4与直线CD、BD交于点N、E，求EN的长。
（1）y=2x-1
（2）设F（a，a²），G（b，b²），所以直线FG的解析式为y=（a+b）x-ab，M（0，-ab），H（b，0），所以直线MH的解析式为y=ax-ab，直线OF的解析式为y=ax，所以OF∥MH
（3）设新抛物线的解析式为y=（x-4m）2+3m，联立y=（x-4m）2+3m与得XC=4m，XB=4m+，D（0，16m2+3m），所以直线BD的解析式为y=（-4m）x+16m2+3m，直线CD的解析式为
y=-4mx+16m2+3m，当x=4时，yE=-13m+16m2+3，yN=-13m+16m²，所以EN=3
2.（2018年七一华源12月月考）如图，抛物线与x轴交于点A、B（3，0），与y轴交于点C，其顶点D的坐标为（1，－4），P为抛物线上x轴下方一点。
（1）求抛物线的解析式；
（2）若∠PCB＝∠ACB，求点P的坐标；
（3）过点P的直线交抛物线于点E，F为抛物线上点E的对称点，直线EP、FP分别交对称轴于点M、N，试探究DM与DN的数量关系，并说明理由。
3.（2018年华一寄元调模拟卷）已知抛物线，
（1）无论m取何值，抛物线必经过第三象限一定点，则该定点的坐标为.（不影响后两问解答）
（2）当m=0，不与坐标轴平行的直线l1与抛物线有且只有一个交点P（2，a），求直线l1的解析式
（3）在
（2）的条件下，直线y=kx+b，交抛物线于M、N两点，（M在N的右侧），PQ∥y轴交MN于点Q，若MQ=NQ，求K的值
解：
（1）y=m（x2+x）+x2－2x－3，x2+x=0，即x=0或x=时，y的值与m无关，当x=0时，y=－3；当x=－时，y=－，∴该定点为（－，－）·····3分
（2）m=0时，y=x2－2x－3，∵P（2，a），∴22－2×2－3=a，∴P（2，－3），设的解析式为y=kx+b，∴2k+b=－3，∴b=－2k－3，∴：
y=kx－2k－3，联立得x2－（2+k）x+2k=0，∵△=0，∴[－2（2+k）]2－4×1×2k=0，∴k=2，：
y=2x－7·····7分
（3）过点Q作直线l//x轴，过M作ME⊥l于点E，过N作NF⊥l于点F，∵MQ=NQ，∴△MQE≌△NQF，∴QE=QF，∴－=－，即－=－，∴+=2=2×2=4，联立得x2－（k+2）x－3－b=0，∴+=k+2，∴k+2=4，∴k=2·····12分
1.（2018年黄陂12月月考）已知抛物线线的顶点在定直线上运动。
（1）求直线的解析式；
（2）抛物线线与直线的另一交点为求△POQ的面积；[来源:
学,科,网]
（3）将抛物线线平移，得到新抛物线，的顶点为原点，点为抛物线上一点，过点A作直线与抛物线有且只有一个交点，A、C两点关于轴对称，E、F两点在抛物线上，EF∥AB,EC、CF交轴于M、N，求的值
2.（2018年硚口区模拟卷二）已知抛物线的顶点H（2，0），经过点A（1，1），与y轴交于点C
（1）求抛物线的解析式
（2）如图1，在线段OC（端点除外）上是否存在一点N，直线NA交抛物线于另一点B，满足BC＝BN？
若存在，请求带你N的坐标；若不存在，请说明理由
（3）如图2，过点P（－3，0）作直线交抛物线于点F、G，FM⊥x轴于M，GN⊥x轴于N，求PM·PN的值
1.（2017年新观察元调复习交流卷1）如图1，已知抛物线与x轴交于A、B两点，以B为直角顶点作等腰直角三角形ABP，且P在第三象限
（1）求点P的坐标
（2）若点Q为抛物线上的动点，且S△PAQ＝5，求点Q的横坐标n的值
（3）如图2，直线AC交抛物线于C，交y轴于M，连CP交抛物线于E，连AE交y轴于N，求OM·ON的值
（2）如图1中，设点k的坐标为（0，m），△APK的面积为8，过点K作PA的平行线交抛物线于Q1、Q2．则△Q1AP为8，△Q2AP的面积为8．
2.（2018年六初元调模拟卷）抛物线y＝ax2－2ax＋c与y轴交于点，其顶点A在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线BC的解析式为：
，交抛物线于点B，点P为BC上一动点，PM⊥x轴于点M，PN⊥AB于点N，当PM·PN的值最大时，求点P的坐标；
（3）将抛物线平移，平移后的抛物线顶点与坐标原点重合，点P为y轴负半轴一动点，过点P的直线与平移后的抛物线只有唯一的公共点Q（点Q在第一象限），连接QC并延长，交抛物线于另一点T，若PC＝2CT时，求点P的坐标．
（1）；
（2）作PQ∥x轴交AB于Q，B（3，2），A（1，0），∠BAM＝45°，设，
AB：
y＝x－1，，
，t＝1，P（1，1）；
（3）设PQ：
y＝kx＋b，与，
Δ＝0，k2＋2b＝0，，，，，PC＝QC，CT／QC＝1／2，设QT：
，与，
，，，Q＝k，，k2＝2，P（0，－1）．
3.（2018年外国语学校期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：
y＝mx2－（1＋3m）x＋3恒过定点P，C（0，3）
（1）直接写出点P的坐标
（2）如图1，当m＝1时，抛物线C1与x轴交于D点，与y轴交于C点，将直线CD沿y轴向上平移交抛物线于M、N，交y轴于Q点，求证：
QM－QN是定值；
（3）如图2，若m＝2，抛物线C1的顶点为G，A（5，0）、B（0，－5），平移线段AB至A′B′（点A的对应点为A′，点B的对应点为B′），使直线A′B′经过点G，求点A′到直线OB′距离最大时A′、B′两点的坐标。
4.（2018年第八十一中学10月月考）如图,已知抛物线与轴交于A（－4，0）和B（1，0）两点，与轴交于C点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设E是线段AB上的动点，作EF//AC交BC于F，连接CE，当△CEF的面积是△BEF面积的2倍时，求E点的坐标；
（3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作PH⊥AC于H，当P点运动到什么位置时，线段PH的值最大，并求此时P点的坐标．
5.（2018年武昌元调）如图，已知抛物线交轴于点、点，交轴于点C，且S△ABC=6.
（1）求两点的坐标；
（2）求△ABC的外接圆与抛物线的对称轴的交点坐标；
（3）点E为抛物线上的一动点（点异于，且在对称轴右侧），直线交对称轴于N，直线BE交对称轴于，对称轴交轴于，试确定、的数量关系并说明理由。
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