概率论与数理统计复习资料要点总结Word文档下载推荐.docx

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（6）；

（7）独立时，

2、方差

（1）方差，标准差；

（3）；

（4）独立时，

3、协方差

（1）；

（4）时，称不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；

（5）

4、相关系数；

有，

5、阶原点矩，阶中心矩

第五章大数定律与中心极限定理

1、Chebyshev不等式或

2、大数定律

3、中心极限定理

（1）设随机变量独立同分布，则，或或，

（2）设是次独立重复试验中发生的次数，，则对任意，有或理解为若，则

第六章样本及抽样分布

1、总体、样本

（1）简单随机样本：

即独立同分布于总体的分布（注意样本分布的求法）；

（2）样本数字特征：

样本均值（，）；

样本方差（）样本标准差样本阶原点矩，样本阶中心矩

2、统计量：

样本的函数且不包含任何未知数

3、三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义）

（1）分布，其中独立同分布于标准正态分布，若且独立，则；

（2）分布，其中且独立；

（3）分布，其中且独立，有下面的性质

4、正态总体的抽样分布

（1）；

（3）且与独立；

（4）；

（5），（6）

第七章参数估计

1、矩估计：

（1）根据参数个数求总体的矩；

（2）令总体的矩等于样本的矩；

（3）解方程求出矩估计

2、极大似然估计：

（1）写出极大似然函数；

（2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数；

（4）令导数或偏导数为0，解出极大似然估计（如无解回到

（1）直接求最大值，一般为min或max）

3、估计量的评选原则

（1）无偏性：

若，则为无偏；

有效性：

两个无偏估计中方差小的有效；

4、参数的区间估计（正态）参数条件估计函数置信区间已知未知未知复习资料

1、填空题（15分）题型一：

概率分布的考察【相关公式】

（P379）分布参数分布律或概率密度数学期望（E）方差（D）（0—1）分布二项分布负二项分布几何分布超几何分布泊松分布均匀分布【相关例题】

1、设，，，则求a，b的值。

2、已知,则求n，p的值。

题型二：

正态总体均值与方差的区间估计【相关公式】

（P163）【相关例题】

1、（样本容量已知）

2、（样本容量未知）题型三：

方差的性质【相关公式】

（P103）【相关例题】

1、题型四：

【相关公式】

（P140、P138）【相关例题】

1、

2、题型五：

互不相容问题【相关公式】

（P4）【相关例题】

2、选择题（15分）题型一：

（见上，略）【相关例题】

（见上，略）题型二：

考察统计量定义（不能含有未知量）题型三：

考察概率密度函数的性质（见下，略）题型四：

和、乘、除以及条件概率密度（见下，略）题型五：

对区间估计的理解（P161）题型六：

正态分布和的分布【相关公式】

（P105）【相关例题】

题型七：

概率密度函数的应用【相关例题】

设已知

3、解答题（70分）题型一：

古典概型：

全概率公式和贝叶斯公式的应用。

【相关公式】

v全概率公式：

v贝叶斯公式：

【相关例题】

★

1、P19例5某电子设备制造厂设用的元件是有三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：

元件制造厂次品率提供原件的份额10、020、1520、010、8030、030、05设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区分标志。

问：

（1）在仓库中随机取一只元件，求它的次品率；

（2）在仓库中随机抽取一只元件，为分析此次品出自何厂，需求出此次品有三家工厂生产的概率分别是多少，试求这些概率。

（见下）

2、袋中装有m枚正品硬币，n枚次品硬币（次品硬币两面均有国徽），在袋中任意取一枚，将他掷r次，已知每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？

3、设根据以往记录的数据分析，某船只运输的某种物品损坏的情况共有三种：

损坏2%（这一事件记为A1），损坏10%（这一事件记为A2），损坏90%（这一事件记为A3），且知P（A1）=0、8，P（A2）=0、15，P（A3）=0、05、现在从已经运输的物品中随机取3件，发现这三件都是好的（这一事件记为B），（见下）

4、将A、B、C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为ɑ，而输出其他字母的概率都是（1-ɑ）/

2、今将字母串AAAA、BBBB、CCCC之一输入信道，输入AAAA、BBBB、CCCC的概率分别为p

1、p

2、p3（p1+p2+p3=1），已知输出为ABCA。

问输入AAAA的概率是多少？

（设信道传输各字母的工作是相互独立的。

）题型二：

1、求概率密度、分布函数；

2、正态分布

1、求概率密度【相关公式】

已知分布函数求概率密度在连续点求导；

已知概率密度f（x）求分布函数抓住公式：

，且对于任意实数，有：

。

【相关例题】

（1）设随机变量X的分布函数为：

FX（X）=12（见下）

（2），是确定常数A。

（3）设随机变量X具有概率密度f（x）=，求X的分布函数。

0,其他解：

0，x<

2、正态分布（高斯分布）

（1）公式其中：

（2）若（3）相关概率运算公式：

1、（P5827）某地区18岁女青年的血压（收缩压：

以mmHg计）服从N~（110,122），在该地任选一名18岁女青年，测量她的血压X，求：

（1）

（2）确定最小的

2、由某机器生产的螺栓的长度（cm）服从参数的正态分布，规定长度在范围内为合格品，求一螺栓为不合格的概率。

（见下）题型三：

二维随机变量的题型【相关公式】

1、（P843）设随机变量（X,Y）的概率密度为：

yx0442y=4-x（见下）

2、（P8618）设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在区间（0,1）上服从均匀分布，Y的概率密度为：

1,0<

x<

10,其他

3、（P8725）设随机变量X，Y相互独立，且具有相同的分布，它们的概率密度均为0，其他求Z=X+Y的概率密度。

4、（P8726）设随机变量X,Y相互独立，它们的概率密度为0，其他求Z=Y/X的概率密度。

题型四：

最大似然估计的求解【相关公式】

1、设概率密度为：

2、（P1748）的总体的样本，θ未知，求θ的最大似然估计。

题型五：

正态总体均值的假设检验、正态总体方差的假设检验【相关公式】

1、（P2183）某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定（%）

3、25

3、27

3、24

3、26

3、24设测定值总体服从正态分布，但参数均未知，问在α=0、01下能否接受假设，这批矿砂的镍含量的均值为

3、25、

2、（P22012）某种导线，要求电阻的标准差不得超过0、005Ω，尽在一批导线中取样品9根，测得s=0、007Ω，设总体为正态分布，参数值均未知，问在显著水平α=0、05下能否认为这批导线的标准差显著偏大？

模拟试题一

一、填空题（每空3分，共45分）

1、已知P（A）

=0、92,P（B）

=0、93,P（B|）

=0、85,则P（A|）

=P（A∪B）

=

2、设事件A与B独立，A与B都不发生的概率为，A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相等，则A发生的概率为：

；

3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率：

没有任何人的生日在同一个月份的概率；

4、已知随机变量X的密度函数为：

则常数A=,分布函数F（x）=,概率；

5、设随机变量X~B（2，p）、Y~B（1，p），若，则p=，若X与Y独立，则Z=max（X,Y）的分布律：

6、设且X与Y相互独立，则D（2X-3Y）=,COV（2X-3Y,X）=；

7、设是总体的简单随机样本，则当时，；

8、设总体为未知参数，为其样本，为样本均值，则的矩估计量为：

。

9、设样本来自正态总体，计算得样本观察值，求参数a的置信度为95%的置信区间：

二、计算题（35分）

1、（12分）设连续型随机变量X的密度函数为：

求：

1）；

2）的密度函数；

3）；

2、（12分）设随机变量（X,Y）的密度函数为1）求边缘密度函数；

2）问X与Y是否独立？

是否相关？

3）计算Z=X+Y的密度函数；

3、（11分）设总体X的概率密度函数为：

X1,X2,…,Xn是取自总体X的简单随机样本。

1）求参数的极大似然估计量；

2）验证估计量是否是参数的无偏估计量。

三、应用题（20分）

1、（10分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10，1/5，1/10和2/5。

如果他乘飞机来，不会迟到；

而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是1/4，1/3，1/2。

现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大？

2、（10分）环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超过0、5‰，假定有害物质含量X服从正态分布。

现在取5份水样，测定该有害物质含量，得如下数据：

0、530‰，0、542‰，0、510‰，0、495‰，0、515‰能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定（）？

附表：

模拟试题二

一、填空题（45分，每空3分）

1、设则

2、设三事件相互独立，且，若，则。

3、设一批产品有12件，其中2件次品，10件正品，现从这批产品中任取3件，若用表示取出的3件产品中的次品件数，则的分布律为。

4、设连续型随机变量的分布函数为则，的密度函数。

5、设随机变量，则随机变量的密度函数

6、设的分布律分别为3Y）=43、92,COV（2X-3Y,X）=

3、96；

7、当时，；

8、的矩估计量为：

9、[

9、216，10、784]；

五、计算题（35分）

1、解1）2）3）

2、解：

1）2）显然，，所以X与Y不独立。

又因为EY=0，EXY=0，所以，COV（X,Y）=0，因此X与Y不相关。

3）

3、解1）令解出：

2）的无偏估计量。

六、应用题（20分）1解：

设事件A1，A2，A3，A4分别表示交通工具“火车、轮船、汽车和飞机”，其概率分别等于3/10，1/5，1/10和2/5，事件B表示“迟到”，已知概率分别等于1/4，1/3，1/2，0则，，由概率判断他乘火车的可能性最大。

2、解：

（‰），拒绝域为：

计算，所以，拒绝，说明有害物质含量超过了规定。

答案（模拟试题二）

2、

3、0126/119/221/22

4、，

5、

6、01-1011/4001/21/40

7、

8、；

9、；

10、

二、计算题（27分）

1、

（1）

（2）不独立（3）

2、

（1）计算根据矩估计思想，解出：

；

（2）似然函数显然，用取对数、求导、解方程的步骤无法得到的极大似然估计。

用分析的方法。

因为，所以，即所以，当时，使得似然函数达最大。

极大似然估计为。

三、

1、解：

（1）设表示“第一次从甲箱中任取3件，其中恰有i件次品”，（i=0,1,2,3）设表示“第二次从乙箱任取一件为次品”的事件；

（‰），拒绝域为：

…根据条件，，计算并比较所以，接受，可以认为平均成绩为70分。

3、（8分）证明：

因为相互独立答案（模拟试题三）

一、填空题（每题3分，共42分）

1、0、5；

2/7；

0、5。

2、；

3、；

15/16；

4、，2/9，1/9，17/3。

5、6，0、4。

6、。

7、（

2、6895,

2、7205）

二、解：

（1）

（2）（3）Y的分布函数

三、解：

（1），

（2）（3）不独立；

（4）（5）

四、解：

（1）令，即解得。

（2），解得

五、解：

设={某机床为车床}，；

={某机床为钻床}，；

={某机床为磨床}，；

={某机床为刨床}，；

={需要修理}，，，，则。

六、解：

拒绝域为：

计算得，查表得样本值落入拒绝域内，因此拒绝。

答案（模拟试题四）

1、0、4；

0、8421。

2、0、12。

3、，。

4、，，。

5、3，5，0、6286。

6、

2、333。

7、,3/5。

二、

1、解（18分）

（1）

（2）不独立（3）

2、解

（1）求的分布律；

（2）的联合分布律：

0101（3）当时，X与Z独立。

三、应用题（24分）

设表示一周5个工作日机器发生故障的天数，则～，分布律为：

设（万元）表示一周5个工作日的利润，根据题意，的分布律则（万元）。

设分别表示输入，，的事件，表示输出为的随机事件。

由贝叶斯公式得：

07试题

一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，总计18分）

1、设为随机事件,,,则

2、10件产品中有4件次品,从中任意取2件,则第2件为次品的概率为

3、设随机变量在区间上服从均匀分布,则的概率密度函数为

4、设随机变量的期望,方差,则期望

5、设随机变量服从参数为2的泊松分布,则应用切比雪夫不等式估计得、

6、设是来自正态总体~的样本,则当时,~、

二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共6个小题，每小题3分，总计18分）

1、设为对立事件,,则下列概率值为1的是（）

（A）

;

（B）

（C）

（D）

2、设随机变量~,概率密度为,分布函数,则下列正确的是（）

;

3、设是随机变量的概率密度,则一定成立的是（）

定义域为;

非负;

的值域为;

连续

4、设,,则（）

5、设随机变量的方差,,相关系数,则方差（）

40;

34;

17、6;

25、6

6、设是正态总体~的样本,其中已知,未知,则下列不是统计量的是（）

三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，共计60分）

1、甲乙丙三个同学同时独立参加考试,不及格的概率分别为:

0、2,0、3,0、4,

（1）

求恰有2位同学不及格的概率；

若已知3位同学中有2位不及格,求其中1位是同学乙的概率、

2、已知连续型随机变量的分布函数为,求:

（1）

常数的值;

随机变量的密度函数;

（3）

3、设随机变量与相互独立,概率密度分别为:

,求随机变量的概率密度

4、设二维随机变量的密度函数：

（1）求常数的值；

（2）求边缘概率密度；

（3）和是否独立?

5、设二维随机变量的概率密度函数：

求

（1）数学期望与；

（2）与的协方差6、设总体概率密度为，未知，为来自总体的一个样本、求参数的矩估计量和极大似然估计量、

四、证明题（本大题共1小题，每小题4分，共4分）

1、设任意三个事件,试证明:

06试题

一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）

1、设为随机事件,,,,则

2、设10把钥匙中有2把能打开门,现任意取两把,能打开门的概率是

3、设~~,且与相互独立,则

4、设随机变量上服从均匀分布,则关于未知量的方程有实根的概率为_________

5、设随机变量的数学期望,方差,用切比雪夫不等式估计得、

二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小题，每小题4分，总计20分）

1、设事件相互独立,且,,，则有（A）

2、设~,那么概率（A）

随增加而变大;

随增加而减小；

随增加而不变;

随增加而减小

3、设,,则（A）

4、设相互独立，服从上的均匀分布，的概率密度函数为，则＿＿＿＿（A）

5、设总体,是取自总体的一个样本,为样本均值，则不是总体期望的无偏估计量的是（A）

三、计算题（本大题共5小题，每小题10分，共计50分）

1、某产品整箱出售，每一箱中20件产品，若各箱中次品数为0件，1件，2件的概率分别为80％，10％，10％，现在从中任取一箱，顾客随意抽查4件，如果无次品，则买下该箱产品，如果有次品，则退货，求:

顾客买下该箱产品的概率；

（2）

在顾客买下的一箱产品中，确实无次品的概率、

2、已知随机变量的密度为,且,求:

随机变量的分布函数

3、设二维随机变量有密度函数：

（1）求边缘概率密度；

（2）求条件密度；

（3）求概率、4、设随机变量独立同分布，都服从参数为的泊松分布，设,,求随机变量与的相关系数5、设总体~为二项分布，未知，为来自总体的一个样本、求参数的矩估计量和极大似然估计量。

四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

1、设事件相互独立,证明事件与事件也相互独立

2、设总体为,期望,方差,是取自总体的一个样本,样本均值,样本方差,证明:

是参数的无偏估计量06答案

1、2/3

2、17/45

3、35

4、5/6

5、4/5

1、（B）

2、（D）

3、（C）

4、（D）

5、（D）

1、解:

设表示“顾客买下该箱产品”，分别表示“箱中次品数为0件，1件，2件”则80％，10％10％，，1，，，（3分）

由全概率公式得：

448/475，（7分）

95/112（10分）

2、解:

由,解得（4分）

当时,，当时,,当时,，所以（10分）

3、解:

（1）（4分）

当时,=当时,（8分）

（10分）

4、解:

,,,,（8分）

=3/5（10分）

5、解：

由，得的矩估计量（4分）

似然函数为，由，得极大似然估计量（10分）

1、证明：

由于事件相互独立，所以，，，，（2分）所以即,所以事件与也相互独立（5分）

2、证明：

，，是取自总体的一个样本，所以，，所以，即是参数的无偏估计量（5分）

07答案

一、填空题（