学年高中数学苏教版必修四教学案第1章 11 任意角弧度含答案.docx

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学年高中数学苏教版必修四教学案第1章11任意角弧度含答案

第1课时

如图∠AOB.

问题1：

∠AOB能否看成射线OA绕O点旋转到OB而成的呢？

提示：

可以．

问题2：

射线OA按顺时针方向、逆时针方向都能转到OB吗？

提示：

都可以转到OB.

问题3：

两者所得到的角相同吗？

提示：

不相同．

1．角的概念

一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边．

2．角的分类

（1）正角——按逆时针方向旋转所形成的角；

（2）负角——按顺时针方向旋转所形成的角；

（3）零角——射线没有作任何旋转所形成的角.

若∠AOB的顶点O为坐标原点，始边OA在x轴的正半轴上，则∠AOB分别等于300°，－300°，－160°，220°时，终边OB落在第几象限？

∠AOB分别等于－90°，180°，0°，270°，90°，－180°时，终边又落在何处？

提示：

当∠AOB分别等于300°，－300°，－160°，220°时，终边OB分别落在第四、一、三、三象限；当∠AOB分别等于－90°，180°，0°，270°，90°时，终边OB分别落在y轴的负半轴、x轴的负半轴、x轴的正半轴、y轴的负半轴、y轴的正半轴上．

1．象限角

以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角．

2．轴线角

如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角.

如图，在同一坐标系中作出60°，420°角．

问题1：

两角的终边有何特点？

提示：

终边相同．

问题2：

两角的角度有什么等式关系？

提示：

420°＝60°＋360°.相差360°.

问题3：

－300°与60°的终边有何特点？

两角的角度又有什么等式关系？

提示：

两角终边也相同，－300°＝60°－360°.

相差－360°.

问题4：

试再写几个与60°终边相同的角，计算出它们与60°相差的角度，并观察这些角度有什么共同特点．

提示：

780°，1140°，－660°等，与60°相差720°，1080°，－720°，相差的角度都是360°的整数倍．

终边相同的角

一般地，与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．

1．角的三要素：

顶点、始边、终边．

2．象限角及轴线角的前提：

角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，否则不能判断该角为哪一个象限角．

3．终边相同的角与相等的角是两个不同的概念，两角相等，终边一定相同，但是两角终边相同时，两角不一定相等，它们相差360°的整数倍．

[例1]　下列结论：

①第一象限角是锐角；②锐角是第一象限角；③第二象限角大于第一象限角；④钝角是第二象限角；⑤小于90°的角是锐角；⑥第一象限角一定不是负角．

其中正确的结论是________（填序号）．

[思路点拨]　根据任意角、象限角的概念进行判断，正确区分第一象限角、锐角和小于90°的角．

[精解详析]　①400°角是第一象限角，但不是锐角，故①不正确；②锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，②正确；③120°角是第二象限角，400°角是第一象限角，故第二象限角不一定大于第一象限角，③不正确；④钝角是大于90°且小于180°的角，终边落在第二象限，故是第二象限角，④正确；⑤0°角是小于90°的角，但不是锐角，故⑤不正确；⑥－300°角是第一象限角，但－300°角是负角，故⑥不正确．

[答案]　②④

[一点通]　解决此类问题的关键在于正确理解象限角及锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，另外需要掌握判断命题真假的技巧，判断命题为真，需要证明，而判断命题为假，只要举出反例即可．

1.如图，则α＝________，β＝________.

答案：

240°　－120°

2．经过2个小时，钟表上的时针旋转的角度为________．

解析：

钟表的时针旋转一周是－360°，其中每小时旋转－＝－30°，所以经过2个小时应旋转－60°.

答案：

－60°

3．下列命题正确的是________（填序号）．

①三角形的内角必是第一、二象限角

②始边相同而终边不同的角一定不相等

③第四象限角一定是负角

④钝角比第三象限角小

解析：

只有②正确．对于①，如∠A＝90°不在任何象限；对于③，如330°在第四象限但不是负角；对于④，钝角不一定比第三象限角小．

答案：

②

　　[例2]　在0°～360°之间，求出与下列各角终边相同的角，并判断是第几象限角．

（1）－736°；

（2）904°18′.

[思路点拨]　首先写出与α终边相同的角的集合，然后取适当的整数k即可求出满足条件的角．可利用0°～360°之间与该角终边相同的角来判断角的象限．

[精解详析]　

（1）－736°＝－3×360°＋344°，344°是第四象限角．

∴344°与－736°是终边相同的角，且－736°为第四象限角．

（2）904°18′＝2×360°＋184°18′，184°18′是第三象限角．

∴184°18′与904°18′是终边相同的角，且904°18′为第三象限角．

[一点通]　

（1）把任意角化为α＋k·360°（k∈Z且0°≤α<360°）的形式，关键是确定k.可以用观察法（α的绝对值较小），也可用除法．要注意：

正角除以360°，按通常的除法进行；负角除以360°，商是负数，其绝对值比被除数为其相反数时的商大1，使余数为正值．

（2）要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．

4．在与角10030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．

（1）最大的负角；

（2）最小的正角；（3）360°～720°的角．

解：

可设与10030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10030°（k∈Z）．

（1）由－360°＜k·360°＋10030°＜0°，

得－10390°＜k·360°＜－10030°，

解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.

（2）由0°＜k·360°＋10030°＜360°，

得－10030°＜k·360°＜－9670°，

解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.

（3）由360°＜k·360°＋10030°＜720°，

得－9670°＜k·360°＜－9310°，

解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.

5．已知角α的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角α的取值范围．

解：

终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝，

终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝，因此终边在图中阴影部分的角α的取值范围为

.

[例3]　已知α为第二象限角，问2α，分别是第几象限角？

[思路点拨]　由角α为第二象限角，则α的范围为90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°，k∈Z，在此基础上可以写出2α，的范围，进而可以判断出它们所在的象限．

[精解详析]　∵α是第二象限角，

∴90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°.

∴180°＋2k·360°＜2α＜360°＋2k·360°.

∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上的角．

同理45°＋·360°＜＜90°＋·360°.

当k为偶数时，不妨令k＝2n，n∈Z，则45°＋n·360°＜＜90°＋n·360°，此时，为第一象限角；

当k为奇数时，令k＝2n＋1，n∈Z，则225°＋n·360°＜＜270°＋n·360°，此时，为第三象限角．

∴为第一或第三象限角．

[一点通]　已知角α终边所在象限，

（1）确定nα终边所在的象限，直接转化为终边相同的角即可．

（2）确定终边所在象限常用的步骤如下：

①求出的范围；

②对n的取值分情况讨论：

被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n－1；

③下结论．

6．若α是第三象限角，则180°－α是第________象限角．

解析：

∵α是第三象限角，

∴k·360°＋180°<α

∴k·360°－90°<180°－α

∴180°－α为第四象限角．

答案：

四

7．已知角2α的终边落在x轴上方，那么α是第________象限角．

解析：

：

由题知k·360°＜2α＜180°＋k·360°，k∈Z，

∴k·180°＜α＜90°＋k·180°，k∈Z.

当k为偶数时，α是第一象限角；当k为奇数时，α为第三象限角，∴α为第一或第三象限角．

答案：

一或三

8．已知α是第三象限角，求，2α终边所在的象限．

解：

因为α是第三象限角，

所以k·360°＋180°<α

所以的范围为

k·180°＋90°<

所以终边落在第二或第四象限．

2α的范围为k·720°＋360°<2α

所以2α终边落在第一或第二象限或y轴的正半轴．

1．轴线角的集合

角α终边位置

角α的集合

在x轴非负半轴上

{α|α＝k·360°，k∈Z}

在x轴非正半轴上

{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}

在y轴非负半轴上

{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}

在y轴非正半轴上

{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}

在x轴上

{α|α＝k·180°，k∈Z}

在y轴上

{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}

在坐标轴上

{α|α＝k·90°，k∈Z}

2．象限角的集合

象限角

象限角α的表示

第一象限的角

{α|k·360°<α

第二象限的角

{α|k·360°＋90°<α

第三象限的角

{α|k·360°＋180°<α

第四象限的角

{α|k·360°＋270°<α

3．终边相同的角

关于与角α终边相同的角的一般形式k·360°＋α应着重理解以下几点：

（1）k∈Z.

（2）α是任意角．

（3）k·360°＋α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋（－α）．

课下能力提升

（一）

一、填空题

1．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，再顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝________.

解析：

根据角的定义∠AOC＝120°＋（－270°）＝－150°.

答案：

－150°

2．－1445°是第________象限角．

解析：

∵－1445°＝－5×360°＋355°，

∴－1445°是第四象限角．

答案：

四

3．集合A＝，B＝{β|－180°＜β＜180°}，则A∩B＝________.

解析：

由－180°＜k·90°－36°＜180°，k∈Z，

得－144°＜k·90°＜216°，k∈Z，

所以－＜k＜，k∈Z，所以k＝－1,0,1,2.

所以A∩B＝.

答案：

{－126°，－36°，54°，144°}

4．已知角α，β的终边相同，那么α－β的终边在________．

解析：

∵角α，β的终边相同，

∴α＝k·360°＋β，k∈Z.

作差α－β＝k·360°＋β－β＝k·360°，k∈Z.

∴α－β的终边在x轴的正半轴上．

答案：

x轴的正半轴上

5．已知α是第二象限角，且7α与2α的终边相同，则α＝________.

解析：

7α＝2α＋k·360°（k∈Z），