完整版余弦定理练习含答案.docx
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完整版余弦定理练习含答案
课时作业2余弦定理
时间：
45分钟满分：
100分
课堂训练
1.在△ABC中，已知a=5,b=4,ZC=120°.则c为（）
A.41B.,61
C.41或61D.,21
【答案】B
【解析】c=”a2+b2—2abcosC
=52+42—2X5X4X—2=61.
2.^ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,若a,b,c满足b2=ac，且c=2a,则cosB=（）
A*
3
B.3
C.
【答案】B
【解析】由b2=ac，又c=2a,由余弦定理
3.在厶ABC中，三个角A、B、C的对边边长分别为a=3、b=4、
c=6,贝卩bccosA+cacosB+abcosC=
b2+c2—a2
【解析】
bccosA+cacosB+abcosC=bc•
c2+a2—b2a2+b2—c2111
ca-20c+ab•2ab=2（b2+c2—a2）+2（c2+a2—b2）+^（a2+
161
b2—c2）=2（a2+b2+c2）=亍
4.在△ABC中：
（1）a=1,b=1,ZC=120°求c;
（2）a=3,b=4,c=37,求最大角；
（3）a:
b:
c=1:
3:
2,求/A、/B、/C.
【分析】
（1）直接利用余弦定理即可；
（2）在三角形中，大边对大角；
（3）可设三边为x，3x,2x.
【解析】
（1）由余弦定理，得c2=a2+b2—2abcosC
1
=12+12—2X1x1x（—刁=3,「・c=3.
（2）显然/C最大，
a2+b2—c232+42—371
/cosC=—2ab—=2x3x4=—2.AzC=120°
（3）由于a:
b:
c=1:
3:
2,可设a=x,b=V3x,c=2x（x>0）.
b2+c2—a23x2+4/—x2百
由余弦定理，得cosA=—2bc—=2•3x2x=~2,
/./\=30°
1
同理cosB=2cosC=O.「./3=60,ZC=90.
【规律方法】
1.本题为余弦定理的最基本应用，应在此基础上熟练地掌握余弦
定理的结构特征.
2.对于第（3）小题，根据已知条件，设出三边长，由余弦定理求
出/A,进而求出其余两角，另外也可考虑用正弦定理求/B,但要注
意讨论解的情况.
课后作业
一、选择题（每小题5分，共40分）
ABC中，下列结论：
1a2>b2+&,则厶ABC为钝角三角形;
2a2=b2+c2+be,则/A为60°
3a2+b2>e2，则△ABC为锐角三角形;
4若/A:
ZB:
/C=1:
2:
3，贝卩a:
b:
e=1:
2:
3,其中正确的个数为（）
A.1B.2
C.3D.4
【答案】A
•••么为钝角，正确;
b2+e2—a2
②eosA=—2be—
a2+b2—c2
③cosC=2ab>0，
•••©为锐角，但/A或/B不一定为锐角，错误;
④ZA=30°ZB=60°ZC=90°
a:
b:
c=1:
3:
2,错误.故选A.
2.AABC的三内角A、B、C所对边长分别为a、b、c,设向量p
=（a+c,b）,
q=（b—a,c—a）.若p//q,则/C的大小为（）
人n
A~
6
n
B.3
n
c.2
【答案】
B
【解析】
Tp=（a+c,b）,q=（b—a,c—a）且p〃q,
•.（a+c）（c—a）—b（b—a）=0
n
zC=3.
冗,△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,/A=3a
=7,b=1,则c等于（）
A.22B.3
C/3+1D.23
【答案】B
【解析】由余弦定理得，a2=b2+c2—2bccosA,
所以（7）=1+c2—2x1xexcog.
即c2—c—6=0,解得c=3或c=—2（舍）.故选B.
4.在不等边三角形ABC中，a为最大边，且a2vb2+c2,则/A的取值范围是（）
A.（扌，n）B.（n,n
C.（n，f）D.（0,n
【答案】C
【解析】因为a为最大边，所以/A为最大角，即/A>ZB,/
A>ZC,故2ZA>/B+/C.又因为ZB+ZC=n-ZA,所以2ZA>n—ZA,即ZAg因为a20,所以0<从W综上,
n/an
35.在△ABC中，已知a=4,b=6,ZC=120°则sinA的值为（）
A语
D「I?
【解析】
【答案】
由余弦定理得c=a2+b2—2abcosC=42+62—
2X4X6（—2）=76,
4sin120。
姮-SinA=：
76=百.
6.AABC中，a、b、c分别为ZA、ZB、ZC的对边，且2b=a
3
+c,
ZB=30°△ABC的面积为刁那么b等于（）
a4
2
c2^3
c.2
【答案】
113
2acsinB=2acsin30=2，解得ac=6,
由余弦定理：
b2=a2+c2—2accosB
=（a+c）2—2ac—2accos30=4b2—12—63,
即b2=4+23，由b>0解得b=1+3.
7.在△ABC中，若acosA+bcosB=ccosC，则这个三角形一定是
）
A.锐角三角形或钝角三角形
B.以a或b为斜边的直角三角形
C.以c为斜边的直角三角形
D.等边三角形
【答案】B
_b2+c2—a2
【解析】由余弦定理acosA+bcosB=ccosC可变为a
a2+c2—b2a2+b2—c2
+b•~2ac-=c：
~2ab~，
a2（b2+c2—a2）+b2（a2+c2—b2）=c2（a2+b2—c2）
a2b2+a2c2—a4+b2a2+b2c2—b4=Ea2+Eb2—c4
2a2b2—a4—b4+c4=0,
（c2—a2+b2）（c2+a2—b2）=0,
「•c2+b2=a2或a2+c2=b2,
•••以a或b为斜边的直角三角形.
8若厶ABC的周长等于20,面积是1^/3,/A=60°则BC边的长是（）
A.5B.6
C.7D.8
【答案】C
1
【解析】依题意及面积公式S=2bcsinA,
得10a/3=qbcxsin60,即bc=40.
又周长为20,故a+b+c=20,b+c=20—a.
由余弦定理，得a2=b2+c2—2bccosA=b2+c2—2bccos60=b2+
c2—bc=（b+c）2—3bc,
故a2=（20—a）2—120,解得a=7.
二、填空题（每小题10分，共20分）
9.在△ABC中，三边长AB=7,BC=5,AC=6,则ABBC的值
为.
【答案】—19
19
【解析】由余弦定理可求得cosB=35,-ABbC=|AdB||BC|•cos（n
—B）=—|AB||BC|cosB=—19.
10.已知等腰三角形的底边长为a,腰长为2a,则腰上的中线长
为.
【答案】申a
【解析】如图，AB=AC=2a,BC=a,BD为腰AC的中线，
EC1
过A作AE丄BC于E,在△KEC中，cosC=AC=4,在^BCD中，由余
弦定理得BD2=BC2+CD2—2BCCDcosC,即BD2=a2+a2—
三、解答题（每小题20分，共40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
11.在△ABC中，已知b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，试判断三角形的形状.
【分析】解决本题，可分别利用正弦定理或余弦定理，把问题
转化成角或边的关系求解.
abc
【解析】方法一：
由正弦定理sinA=sinB=sinc=2R，R为^bc
外接圆的半径，将原式化为
8R2sin2Bsin2C=8R2sinBsinCcosBcosC.
TsinBsinCz0,sinBsinC=cosBcosC,
即cos（B+C）=0,.••启+/C=90°ZA=90°故△ABC为直角三
角形.
方法二：
将已知等式变为b2（1—coWC）+c2（1—co^B）=
2bccosBcosC.
ccca2+b2—c2cca2+c2—b2o由余弦定理可得：
b2+c2—b2•20b—）2—c2（2ac—）2=
a2+b2—c2a2+c2—b2
2bc：
—2ab—•—2ac—.
即b2+c2
[a2+b2—c2+a2+c2—b2]2
4a2
也即b2+c2=a2，故△ABC为直角三角形.
【规律方法】在利用正弦定理实施边角转化时，等式两边a,b,
c及角的正弦值的次数必须相同，否则不能相互转化.
12.（2013全国新课标I,理）如图，在△ABC中，/ABC=90°,
AB=3,BC=1,PABC内一点，/BPC=90°
1
（1）若PB=2,求PA；
（2）若/APB=150°求tan/PBA.
【解析】
（1）由已知得，/PBC=60°a/PBA=30°
117
在APBA中，由余弦定理得FA=3+4-2COS30=4,^FA
3sina
在APBA中，由正弦定理得sin150-.3,化简得，V3cosa
Sin30a
=4sina,
•••tana=；43,Atan/PBAu^.
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